Анализ совершенствования деятельности гпс в городе

 

Определение требуемого числа основных пожарных автомобилей

 

В условиях существующих ограничений  на объемы материальных и трудовых ресурсов ПО производится корректировка  найденного на базе нормативного подхода количества оперативных отделений на основных ПА для города. С этой целью на основе моделирования процесса занятости того или иного числа оперативных отделений на основных ПА обслуживанием вызовов в городе производится обоснование минимального количества оперативных отделений на основных ПА, которое необходимо включить в боевой расчет городских ПЧ для обеспечения достаточно надежной противопожарной защиты города.

Для моделирования процесса обслуживания вызовов ПП в городе будем использовать следующие параметры:

- средняя длительность времени обслуживания вызова ПП в городе; = 47,5 мин/вызов = 0,792 ч/вызов (значение берем из табл. 9 исходных данных);

λ – плотность потока вызовов, т.е. среднее число вызовов, поступающих за единицу времени.

Для определения величины λ необходимо вычислить ожидаемое число вызовов ПП в городе для следующего года. Согласно расчетам, проведенным в разделе 3.1, в следующем году можно ожидать около 330 пожаров. При этом доля пожаров в общем числе вызовов в городе составляет 75% (см. раздел 3.4). Тогда, решая пропорцию, общее число вызовов в следующем году составит приблизительно

n = 330·100 / 75 = 440 вызовов.

Принимая  за период времени наблюдения невисокосный год (T_набл = 1 год = 365 сут = 8760 ч), вычислим плотность потока вызовов как среднее арифметическое с размерностью вызовов/час:

(вызовов/ч).                          (30)

Вычисляем приведенную плотность  потока вызовов по формуле

                                                     (31)

Так как α – величина безразмерная, то при проведении вычислений по формуле (31) размерность единиц измерения времени в величинах λ и должна быть согласована:

Введем  в рассмотрение возникающую в  процессе оперативной деятельности ПП ситуацию {k}, в которой обслуживанием вызовов в городе одновременно занято некоторое число k ПА (k = 0, 1, 2,…).

Вероятность того, что в произвольный момент времени все ПА в городе свободны от обслуживания вызовов, т.е. находятся в состоянии ожидания очередного вызова (имеет место ситуация {0}) вычисляем по формуле

                                                  (32)

где e – основание натурального логарифма.

Вероятность p{k} того, что в произвольный момент времени обслуживанием вызовов в городе будут одновременно заняты k ПА (т.е. имеет место ситуация {k}), вычисляем последовательно для k = 1, 2, 3,… с помощью рекуррентной формулы

    (k = 1, 2, 3, …),                       (33)

где ω_l  - относительная частота (частость) привлечения определенного числа l ПА для обслуживания вызова в городе, которая вычисляется по формуле (28) в разделе 3.5.

Производя расчеты по формуле (33) получаем:

p{1} = α ω₁ p{0} = 0,03976·0,302·0,961297 = 0,011543;

p{2} = α/2 [ω₁ p{1} + 2ω₂ p{0}] = 0,03976/2 [0,302·0,011543 +

+ 2·0,255·0,961297] = 0,009816;

p{3} = α/3 [ω₁ p{2} + 2ω₂ p{1} + 3ω₃ p{0}] =

= 0,03976/3 [0,302·0,009816 + 2·0,255·0,011543 + 3·0,248·0,961297] =

= 0,009596

p{4} = α/4 [ω₁ p{3} + 2ω₂ p{2} + 3ω₃ p{1} + 4ω₄ p{0}] =

= 0,03976/4 [0,302·0,009596 + 2·0,255·0,009816 + 3·0,248·0,011543 +

+ 4·0,089·0,961297] = 0,003538

p{5} = α/5 [ω₁ p{4} + 2ω₂ p{3} + 3ω₃ p{2} + 4ω₄ p{1}} + 5ω₅ p{0}] =

= 0,03976/5 [0,302·0,003538 + 2·0,255·0,009597 + 3·0,248·0,009816 +

+ 4·0,089·0,011543 + 5·0,045·0,961297] = 0,001858

p{6} = α/6 [ω₁ p{5} + 2ω₂ p{4} + 3ω₃ p{3} + 4ω₄ p{2}} + 5ω₅ p{1} +

+ 6ω₆ p{0}] = 0,03976/6 [0,302·0,001858 + 2·0,255·0,003538 +

+ 3·0,248·0,009596 + 4·0,089·0,009816 + 5·0,045·0,011543 +

+ 6·0,028·0,961297] = 0,001173

p{7} = α/7 [ω₁ p{6} + 2ω₂ p{5} + 3ω₃ p{4} + 4ω₄ p{3}} + 5ω₅ p{2} +

+ 6ω₆ p{1} + 7ω₇ p{0}] = 0,03976/7 [0,302·0,001173 + 2·0,255·0,001858 +

+ 3·0,248·0,003538 + 4·0,089·0,009596 + 5·0,045·0,009816 +

+ 6·0,028·0,011543 + 7·0,019·0,961297] = 0,000791

p{8} = α/8 [ω₁ p{7} + 2ω₂ p{6} + 3ω₃ p{5} + 4ω₄ p{4}} + 5ω₅ p{3} +

+ 6ω₆ p{2} + 7ω₇ p{1} + 8ω₈ p{0}] = 0,03976/8 [0,302·0,000791 +

+ 2·0,255·0,001176 + 3·0,248·0,001858 + 4·0,089·0,003538 +

+ 5·0,045·0,009596 + 6·0,028·0,009816 + 7·0,019·0,011543 +

+ 8·0,014·0,961297] = 0,000579

Значения вероятностей p{k} для k = 0, 1, 2,… связаны между собой соотношением

                                                     (34)

Вычисляем суммарную продолжительность времени T{k} пребывания в ситуации {k} за период времени наблюдения T_набл по формуле

   (k = 0, 1, 2,…).                                (35)

Значения T{k} для k = 0, 1, 2,… связаны соотношением

                                                  (36)

T₀ = T_набл * p{0} = 8760 * 0,961297 = 8420,9

T₁ = T_набл * p{1} = 8760 * 0,011543 = 101,1

T₂ = T_набл * p{2} = 8760 * 0,009816 = 85,9

T₃ = T_набл * p{3} = 8760 * 0,009596 = 84,1

T₄ = T_набл * p{4} = 8760 * 0,003538 = 30,9

T₅ = T_набл * p{5} = 8760 * 0,001858 = 16,3

T₆ = T_набл * p{6} = 8760 * 0,001173 = 10,2

T₇ = T_набл * p{7} = 8760 * 0,000791 = 6,9

T₈ = T_набл * p{8} = 8760 * 0,000579 = 5,1

Вычисляем частоту f{k} (среднее число случаев за единицу времени) возникновения ситуации {k} в результате поступления вызовов по формуле

    (k = 1, 2, 3,…),                           (37)

где λ - плотность потока вызовов с  размерностью вызовов/год.

При λ = 440,0 вызовов/год получаем:

f{1} = λ ω₁ p{0} = 440,0·0,302·0,961297 = 127,7 (случ./год);

f{2} = λ [ω₁ p{1} + ω₂ p{0}] = 440,0·[0,302·0,011543 + 0,255·0,961297]     

        = 109,4 (случ./год);

f{3} = λ [ω₁ p{2} + ω₂ p{1} + ω₃ p{0}] = 440,0 [0,302·0,009816 +

+ 0,255·0,011543 + 0,248·0,961297] = 107,5 (случ./год)

f{4} = λ [ω₁ p{3} + ω₂ p{2} + ω₃ p{1} + ω₄ p{0}] = 440,0 [0,302·0,009596 +

+ 0,255·0,009816 + 0,248·0,011543 + 0,089·0,961297] = 41,28 (случ./год)

f{5} = λ [ω₁ p{4} + ω₂ p{3} + ω₃ p{2} + ω₄ p{1} + ω₅ p{0}] =

= 440,0 [0,302·0,003538 + 0,255·0,009596 + 0,248·0,009816 +

+ 0,089·0,011543 + 0,045·0,961297] = 22,1 (случ./год)

f{6} = λ [ω₁ p{5} + ω₂ p{4} + ω₃ p{3} + ω₄ p{2} + ω₅ p{1} + ω₆ p{0}] =

= 440,0 [0,302·0,001858 + 0,255·0,003538 + 0,248·0,009596 +

+ 0,089·0,009816 + 0,045·0,011543 + 0,028·0,961297] = 14,15 (случ./год)

f{7} = λ [ω₁ p{6} + ω₂ p{5} + ω₃ p{4} + ω₄ p{3} + ω₅ p{2} + ω₆ p{1} +

+ ω₇ p{0}] = 440,0 [0,302·0,001173 + 0,255·0,001858 + 0,248·0,003538 +

+ 0,089·0,009596 + 0,045·0,009816 + 0,028·0,011543 +

+ 0,019·0,961297] = 9,5 (случ./год)

f{8} = λ [ω₁ p{7} + ω₂ p{6} + ω₃ p{5} + ω₄ p{4} + ω₅ p{3} + ω₆ p{2} +

+ ω₇ p{1} + ω₈ p{0}] = 440,0 [0,302·0,000791 + 0,255·0,001173 +

+ 0,248·0,001858 + 0,089·0,003538 + 0,045·0,009596 + 0,028·0,009816 +

+ 0,019·0,011543 + 0,014·0,961297] = 6,9 (случ./год)

Значения f{k} для k = 1, 2, 3,… связаны соотношением

                                                (38)

Результаты  расчетов заносим в таблицу 18.

Таблица 18

Теоретические значения характеристик  одновременной занятости того или  иного числа k оперативных отделений на основных пожарных автомобилях обслуживанием вызовов в городе

Число ПА k	Вероятность p{k}	Суммарная дли-тельность времени T{k}, ч/год	Частота f{k}, cлуч./год
0	0,961297	8420,9	-
1	0,011543	101,1	127,7
2	0,009816	85,9	109,4
3	0,009596	84,1	107,5
4	0,003538	30,9	41,28
5	0,001858	16,3	22,1
6	0,001173	10,2	14,15
7	0,000791	6,9	9,5
8	0,000579	5,1	6,9
Всего	≈ 1,000000	≈ 8760,0	≈ λ = 440,0

 

По  результатам расчетов делаем вывод: из расчетов следует, что с увеличением  числа k ПА значения вероятностных, временных и частотные характеристик одновременной занятости отделений обслуживанием вызовов монотонно уменьшаются. Важно заметить, что примерно 96% времени оперативные отделения находятся в ситуации {0}, т.е. ожидают поступления очередного вызова (p{0}=0,961297).

Зная  вероятностные характеристики одновременной  занятости оперативных отделений  обслуживанием вызовов, можно обосновать количество N оперативных отделений на основных ПА в составе дежурных караулов городских ПЧ достаточное для того, чтобы обеспечить безотказное обслуживание вызовов.

Отказ понимается как событие, которое состоит в том, что по очередному вызову не может выехать требуемое число ПА вследствие их занятости обслуживанием ранее поступивших вызовов (недостающее число ПА приходится дополнительно привлекать из объектовых ПЧ либо извне города, что нежелательно). Отказ называется полным, если по вызову не может выехать ни один ПА. Отказ называется частичным, если по вызову может выехать число ПА, меньшее требуемого для его обслуживания.

Вероятность p{>N} того, что в произвольный момент времени заданного числа N ПА окажется недостаточно для обслуживания вызовов в городе (т.е. имеет место ситуация {>N}, в которой обслуживанием вызовов одновременно занято число ПА, превышающее заданное значение N), вычисляем по формуле

    (N = 0, 1, 2,…),                           (39)

где p{k} – вычисляемая по формулам (32) и (33) вероятность того, что в произвольный момент времени обслуживанием вызовов в городе будут одновременно заняты k оперативных отделений на основных ПА.

Производя расчеты по формуле (39) для рассматриваемого примера, получаем:

p{>0} = 1 – p{0} = 1- 0,961297 = 0,038703;

p{>1} = 1 – p{0} – p{1} = p{>0}- p{1} =  0,038703 - 0,011543 =

= 0,02716;

p{>2} = 1 – p{0} – p{1} – p{2} = p{>1}- p{2} = 0,02716 - 0,009816 =

= 0,017344

p{>3} = 1 – p{0} – p{1} – p{2} - p{3} = p{>2}- p{3} = 0,017344 - 0,009596 =

= 0,007748

p{>4} = p{>3}- p{4} = 0,007748 - 0,003538 = 0,00421

p{>5} = p{>4}- p{5} = 0,00421 - 0,001858 = 0,002352

p{>6} = p{>5}- p{6} = 0,002352 - 0,001173 = 0,001179

p{>7} = p{>6}- p{7} = 0,001179 - 0,000791 = 0,000588

p{>8} = p{>7}- p{8} = 0,000588 - 0,000579 = 0,000009

Ожидаемая за период времени наблюдения T_набл суммарная продолжительность T{>N} одновременной занятости обслуживанием вызовов в городе числа ПА, превышающего заданное значение N (т.е. с привлечением дополнительных ПА), оценивается по формуле

                            (40)

T{>0} = T_набл p{>0} = 8760 * 0,038703 = 339

T{>1} = T_набл p{>1} = 8760 * 0,02716 = 237,9

T{>2} = T_набл p{>2} = 8760 * 0,017344 = 151,9

T{>3} = T_набл p{>3} = 8760 * 0,007748 = 67,9

T{>4} = T_набл p{>4} = 8760 * 0,00421 = 36,9

T{>5} = T_набл p{>5} = 8760 * 0,002352 = 20,6

T{>6} = T_набл p{>6} = 8760 * 0,001179 = 10,3

T{>7} = T_набл p{>7} = 8760 * 0,000588 = 5,2

T{>8} = T_набл p{>8} = 8760 * 0,000009 = 0,1

Частота возникновения отказов (как  полных, так и частичных) f_отк(N) в обслуживании вызовов в городе при заданном числе N ПА вычисляется по формулам

                                                                                  (41)

      (42)

где f{k} – вычисляемая по формуле (37) частота возникновения ситуации одновременной занятости k ПА в результате поступления вызовов.

f_отк(0) = λ = 440,0 (случ./год);

f_отк(1) = λ - f(1) = 440,0 – 127,7 = 312,3 (случ./год);

f_отк(2) = λ - f(1) - f(2) = f_отк(1) - f(2) = 312,3 – 109,4 = 202,9 (случ./год);

f_отк(3) = λ - f(1) - f(2) - f(3) = f_отк(2) - f(3) = 202,9 – 107,5 = 95,4 (случ./год)

f_отк(4) = λ - f(1) - f(2) - f(3) - f(4) = f_отк(3) - f(4) = 95,4 – 41,28 = 54,1 (случ./год)

f_отк(5) = f_отк(4) - f(5) = 54,1 – 22,1 = 32,0 (случ./год)

f_отк(6) = f_отк(5) - f(6) = 32,0 – 14,15 = 17,6 (случ./год)

f_отк(7) = f_отк(6) - f(7) = 17,6 – 9,5 = 8,1 (случ./год)

f_отк(8) = f_отк(7) - f(8) = 8,1 – 6,9 = 1,2 (случ./год)

Частота возникновения полных отказов f_п.о(N) в обслуживании вызовов в городе при заданном числе N ПА вычисляется по формулам

                                                                          (43)

                          (44)

f_п.о.(0) = l =440

f_п.о.(1) = l * p{0} = 440 * 0,038703 = 17,0

f_п.о.(2) = l * p{1} = 440 * 0,02716 = 11,9

f_п.о.(3) = l * p{2} = 440 * 0,017344 = 7,6

f_п.о.(4) = l * p{3} = 440 * 0,007748 = 3,4

f_п.о.(5) = l * p{4} = 440 * 0,00421 = 1,9

f_п.о.(6) = l * p{5} = 440 * 0,002352 = 1,0

f_п.о.(7) = l * p{6} = 440 * 0,001179 = 0,5

f_п.о.(8) = l * p{7} = 440 * 0,000588 = 0,3

Частота возникновения частичных  отказов f_ч.о(N) в обслуживании вызовов в городе при заданном числе N ПА вычисляется по формуле

                        (45)

Результаты расчетов величин p{>N}, T{>N}, f_отк(N), f_п.о(N) и f_ч.о(N) сводим в табл. 19.

Таблица 19

Расчетные значения критериев для  обоснования числа N оперативных отделений

на основных пожарных автомобилях  в городе

Число ПА	Вероятность p{>N}	Продолжит. времени	Частота отказов, cлуч./год
N		T{>N}, (ч/год)	fотк(N)	fп.о(N)	fч.о(N)
0	0,038703	339,0	440	440	0,0
1	0,02716	237,9	312,3	17,0	295,3
2	0,017344	151,9	202,9	11,9	191,0
3	0,007748	67,9	95,4	7,6	87,8
4	0,00421	36,9	54,1	3,4	50,7
5	0,002352	20,6	32,0	1,9	30,1
6	0,001179	10,3	17,6	1,0	16,6
7	0,000588	5,2	8,1	0,5	7,6
8	0,000009	0,1	1,2	0,3	0,9