Управление техническими системами

Нестационарными системами называют системы автоматического управления, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями или системами уравнений с переменными коэффициентами.

Сосредоточенными, или системами с сосредоточенными параметрами, называются системы, поведение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Распределенные системы — это системы, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.

2. Способы получения математического описания.

 

Экспериментальный метод (кибернетический метод, метод черного ящика) применяют в случае, если объект сложен, либо мало изучен теоретически. Объект представляют в виде «черного ящика», внутренняя структура и внутренние параметры которого неизвестны, а наблюдению доступны только входные  и выходные параметры.

Рисунок 3.1 Схема моделируемого объекта в виде “черного ящика”

 

Экспериментальные методы предполагают проведение серии экспериментов на реальном объекте.

Эксперимент - процедура организации наблюдений каких-то явлений, которые осуществляют в условиях, близких к естественным, либо имитируют их.

Математическая модель строится на основе результатов наблюдений , полученных при эксперименте, и представляет собой эмпирическое уравнение или систему эмпирических уравнений, которые формально описывают зависимость между и .

Такая модель, как правило, имеет простую структуру и  высокую точность, последняя, однако, ограничена рамками диапазона значений входных параметров объекта, в котором  проводился эксперимент. Модель не дает представления о внутренней структуре исследуемого объекта, а ее коэффициенты не имеют физического смысла, что является основным недостатком экспериментального метода. Проведение эксперимента требует материальных затрат.

Аналитический метод базируется на теоретическом исследовании физических процессов, протекающих в исследуемом объекте. Математическое описание получают, исходя из законов сохранения вещества и энергии (уравнения материального и энергетического баланса). При получении таких описаний обычно оперируют с дифференциальными уравнениями в частных производных, т.к. переменные изменяются как во времени, так и в пространстве. Системы таких уравнений часто не имеет аналитического решения, а применение численных методов требует значительных затрат компьютерного времени. Попытки упростить аналитическое описание приводят к снижению точности решения. Достоинством метода является универсальность математического описания, которое пригодно для широкого класса аналогичных объектов.

Комбинированный метод является наиболее эффективным при построении математической модели, когда, используя аналитически полученную структуру модели, ее параметры определяют в ходе натурных экспериментов.

2. Математическое описание линейных стационарных систем.

1. Статические характеристики.

 

СХ объекта - функциональная зависимость выходных параметров от входных в установившемся (т.е. статическом) режиме работы.

СХ не учитывает изменение  параметров объекта во времени.

СХ делятся на линейные и нелинейные.

1) Линейные СХ описываются  алгебраическим уравнением вида: х_вых =а + kх_вх или уравнением, которое можно привести к этому виду.

Линейная СХ так же может быть описана в форме  приращения координат: Dх_вых =kDх_вх что удобнее, так как отсутствует свободный член уравнения.

Графически линейные СХ можно представить следующим образом:

2) Нелинейные СХ.

Описываются нелинейными  алгебраическими уравнениями.

Типичная нелинейная зависимость характерна для релейных устройств, широко применяемых в системах автоматизации. Реле преобразуют плавное изменение входной величины в скачкообразное изменение выходной.

Например, СХ  двухпозиционного нейтрального реле имеет следующий  вид. При изменении входного сигнала  от 0 до х₂ реле не меняет своего состояния, то есть . При достижении входным сигналом значения х₂ ( параметр срабатывания) выходной сигнал скачкообразно возрастает до . При дальнейшем увеличении входного сигнала величина выходного сигнала не изменяется . При уменьшении входного сигнала до х₁ выходной сигнал не меняется, а при достижении х₁ (параметр отпускания) выходной сигнал скачкообразно уменьшается до .

3. Динамические характеристики объектов и систем управления

При проектировании и  эксплуатации систем управления наиболее эффективные решения могут быть приняты на основании данных о статических и динамических свойствах объекта и системы управления.

Динамическая характеристика ОУ или СУ – это зависимость, определяющая характер и продолжительность изменения во времени выходного параметра объекта управления в результате изменения входного параметра,

Процесс изменения параметра  объекта (системы) во времени называется переходным, поскольку при этом объект переходит из одного устойчивого  состояния в другое.

ДХ могут быть представлены в форме:

1. дифференциальных уравнений динамики;
2. передаточных функций;
3. временных характеристик;
4. частотных характеристик.

4. Дифференциальное уравнение динамики

 

Для описания объектов и  систем с сосредоточенными параметрами  используют ОДУ с производной по времени.

Общий вид ДУД (неоднородное дифференциальное уравнение):

Решить данное уравнение – значит найти неизвестные функции y(t) x(t) при заданных начальных условиях:

Обычно в АСР переходные процессы исследуют начиная со времени . При этом принимают, что до система находилась в состоянии равновесия (т.е. в статическом режиме), поэтому значение y(t) x(t), а также их производных до (п-1) включительно, равны 0, то есть принимаются нулевые НУ.

Операторный метод решения  ДУД

Как правило, система  автоматизации включает в себя много  элементов. Чем больше элементов, тем  сложнее ДУД, то есть выше его порядок. Поэтому составление и решение  такого уравнения - очень сложная задача. Чтобы ее упростить, применяют операторный метод решения ДУ.

Последовательность операторного метода решения ДУД:

1. Посредством интегрального преобразования от ДУД переходят к вспомогательному алгебраическому уравнению динамики (АУД).
2. Находят решение АУД.
3. Из решение АУД при помощи обратного преобразования получают решение исходного ДУД.

В теории автоматического  управления (ТАУ) в качестве интегрального  преобразования используют прямое и обратное преобразование Лапласа, при котором переменная ДУД x(t) замещается однозначно соответствующей ей переменной Х(р), где Р — комплексная переменная, называемая оператором Лапласа;

x(t) — оригинал;

Х(р) — изображение переменной x(t).

Изображение и оригинал связаны зависимостью:

Операция перехода от x(t) к Х(р) называется прямым преобразованием Лапласа и записывается как:

Операция перехода от Х(Р) к x(t) называют обратным преобразованием Лапласа и записывают как:

При переходе от дифференциального  уравнения к алгебраическому  посредством прямого преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях операция дифференцирования заменяется операцией умножения, а операция интегрирования – операцией деления. Таким образом, уравнение значительно упрощается.

Дифференциальное уравнение, преобразованное по Лапласу, имеет следующий вид:

Решение упрощенного  алгебраического уравнения переводят  в пространство оригиналов, используя  обратное преобразование Лапласа. При  этом используют специальные таблицы  оригиналов и соответствующих им изображений.

5. Частотные характеристики

 

Если на вход линейной непрерывной системы (или отдельного звена) подать синусоидальные (гармонические) колебания с постоянными амплитудой и частотой, то после затухания переходных процессов на выходе также возникают синусоидальные колебания c той же частотой, но с другой амплитудой и сдвинутые по фазе относительно входных колебаний.

Изменение частоты приведет к изменению величины и расположения вектора на комплексной плоскости, а конец вектора опишет некоторую  траекторию. Геометрическое место концов векторов комплексной частотной функции при изменении частоты от нуля до бесконечности называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) – зависимость от частоты колебаний как отношения Авых/Авх так и угла сдвига фаз.

 

Теоретическое получение  частотных характеристик.

Аналитическое выражение АФХ получают, заменяя в передаточной функции  W(p) p на jω, где j – мнимая единица. Поэтому АФХ также называют частотной передаточной функцией (ЧПФ).

АФХ в показательной форме: .

АФХ в алгебраической форме: , где - вещественная часть (вещественная частотная характеристика), - мнимая часть (мнимая частотная характеристика).

Графически АФХ изображается на комплексной плоскости в полярных ( ), либо декартовых ( ) координатах, как годограф функции

 

 

Зная  и , можно получить выражения АЧХ и ФЧХ:

 

 

4. ФУНКЦИОНАЛЬНО-СТРУКТУРНАЯ СХЕМА СУТП

 

 

Несмотря на разнообразие систем управления, в любой из них  можно выделить три основных элемента: объект управления, комплекс технических средств для контроля и управления, оперативный персонал. Исходя из этого, рассмотрим функционально-структурную схему СУТП.

Информация о состоянии  ТОУ, то есть текущие значения Xвх(t), Xвых(t) воспринимается датчиками. Измеренные значения передаются на средства представления информации, выполняющие функции контроля и сигнализации. Средства контроля отображают количественные изменения измеряемых параметров. Средства сигнализации оповещают оперативный персонал о состоянии ТОУ и каких-либо событиях посредством световых и звуковых сигналов. На основании полученной информации оперативный персонал с помощью средств воздействия на процесс создает управляющие воздействия, поддерживающие нормальный технологический режим.

Когда в системе управления ряд функций контроля и управления выполняется автоматически, СУТП называется системой автоматизации. В этом случае средства воздействия на процесс на основании информации, воспринятой непосредственно от датчиков, выполняют функции управления (регулирование, программно-логическое управление, защита и блокировка) автоматически, то есть без участия оперативного персонала. Последний устанавливает задания управляющим устройствам и осуществляет общий контроль за ходом технологического процесса.

5. ЛОКАЛЬНЫЕ СУТП

 

Любая СУТП включает в  себя локальные системы автоматизации.

Локальные системы классифицируют по выполняемым функциям.

2. Системы автоматического контроля.

САК - совокупность технических средств измерения и вспомогательных устройств, объединенных между собой линиями связи.

САК предназначены для  автоматического измерения, индикации  и регистрации параметров, характеризующих  состояние ТОУ, а также для  их передачи и использования в  других системах автоматического управления.

 

Основными средствами измерений  являются:

1. измерительные преобразователи;
2. измерительные приборы;
3. измерительные установки;
4. измерительные системы.

 

Измерительные преобразователи предназначены для формирования сигнала измерительной информации в форме, удобной для передачи, дальнейшего преобразования, обработки и хранения.

Измерительные приборы предназначены для формирования сигнала измерительной информации в форме, удобной для непосредственного восприятия наблюдателем.

Измерительные установки имеют то же назначение, что измерительные приборы, но в отличие от них представляют совокупность функционально объединенных измерительных преобразователей, измерительных приборов и вспомогательных устройств, расположенных в одном месте и объединенных единой конструкцией.

Измерительные системы предназначены для формирования сигнала измерительной информации в форме, удобной для автоматической обработки, передачи и использования в автоматизированных системах управления.

2. Системы автоматической сигнализации (САС).

САС предназначены для автоматического оповещения обслуживающего персонала о состоянии параметров технологического процесса (технологическая сигнализация) или оборудования (производственная сигнализация). Производственная сигнализация указывает на состояние оборудования (включено или выключено) и положение запорных органов: отсечных клапанов, заслонок, вентилей (открыты или закрыты). Такие сигналы не должны отвлекать внимание персонала от его текущей работы и бывают только световыми.