Динамика точки

Динамика точки. Основные понятия и определения.

В разделе кинематики исследовалось  движение тел без учета причин, обеспечивающих это движение. Рассматривалось  движение, заданное каким-либо способом и определялись траектории, скорости и ускорения точек этого тела.

В разделе динамики решается более  сложная и важная задача. Определяется движение тела под действием сил  приложенных к нему, с учетом внешних  и внутренних условий, влияющих на это  движение, включая самих материальных тел.

Динамикой называется раздел механики, в котором изучаются  законы движения материальных тел под  действием сил.

Понятие о силе, как о величине, характеризующей меру механического взаимодействия материальных тел, было введено в статике. Но при этом в статике мы, по существу, считали все силы постоянными. Между тем, на движущееся тело наряду с постоянными силами (постоянной, например, можно считать силу тяжести) действуют обычно силы переменные, модули и направления которых при движении тела изменяются.

Как показывает опыт, переменные силы могут определенным образом зависеть от времени, от положения тела и от его скорости. В частности, от времени зависит сила тяги электровоза при постепенном выключении или включении реостата; от положения тела зависит сила упругости пружины; от скорости движения зависят силы сопротивления среды (воды, воздуха).

К понятию об инертности тел мы приходим, сравнивая результаты действия одной и той же силы на разные материальные тела. Опыт показывает, что  если одну и ту же силу приложить  к двум разным, свободным от других воздействий покоящимся телам, то в  общем случае по истечении одного и того же промежутка времени эти  тела пройдут разные расстояния и  будут иметь разные скорости.

Инертность и представляет собой свойство материальных тел быстрее или медленнее изменять скорость своего движения под действием приложенных сил. Если, например, при действии одинаковых сил изменение скорости первого тела происходит медленнее, чем второго, то говорят, что первое тело является более инертным, и наоборот.

Количественной мерой  инертности данного тела является физическая величина, называемая массой тела. В механике масса т рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела.

В общем случае движение тела зависит  не только от его суммарной массы и приложенных сил; характер движения может еще зависеть от формы тела, точнее от взаимного расположения образующих его частиц (т. е. от распределения масс).

Чтобы при первоначальном изучении динамики иметь возможность отвлечься  от учета влияния формы тел (распределения  масс), вводится понятие о материальной точке.

Материальной точкой называют материальное тело (тело, имеющее массу), размерами которого при изучении его движения можно пренебречь.

Практически данное тело можно рассматривать  как материальную точку в тех  случаях, когда расстояния, проходимые точками тела при его движении, очень велики по сравнению с размерами  самого тела. Кроме того, как будет  показано в динамике системы поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.

Наконец, материальными точками  можно считать частицы, на которые мы будем мысленно разбивать любое тело при определении тех или иных его динамических характеристик.

Точку будем называть изолированной, если на точку не оказывается никакого влияния, никакого действия со стороны других тел и среды, в которой точка движется. Конечно, трудно привести пример подобного состояния. Но представить такое можно.

Время в классической механике не связано с пространством и  движением материальных объектов. Во всех системах отсчета движущихся друг относительно друга оно протекает  одинаково. 

 

 

 

 

 

 

 

Законы динамики

В основе динамики лежат законы, установленные  путем обобщения результатов  целого ряда опытов и наблюдений над  движением тел и проверенные  обширной общественно-исторической практикой  человечества. Систематически эти законы были впервые изложены И. Ньютоном.  

Первый закон (закон инерции), открытый Галилеем, гласит: изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции.

Закон инерции отражает одно из основных свойств материи - пребывать неизменно  в движении и устанавливает для  материальных тел эквивалентность  состояний покоя и движения по инерции. Из него следует, что если F=0, то точка покоится или движется с постоянной по модулю и направлению скоростью  (   =const); ускорение точки при этом равно нулю:   = 0); если же движение точки не является равномерным и прямолинейным, то на точку действует сила.

Система отсчета, по отношению к  которой выполняется закон инерции, называется инерциальной системой отсчета (иногда ее условно называют неподвижной). По данным опыта для нашей Солнечной системы инерциальной является система отсчета, начало которой находится в центре Солнца, а оси направлены на так называемые неподвижные звезды. При решении большинства технических задач инерциальной, с достаточной для практики точностью, можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей.

Второй закон (основной закон динамики)  гласит: произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Математически этот закон выражается векторным равенством    .

При этом между модулями ускорения  и силы имеет место зависимость   ma = F.       

Второй закон динамики, как и  первый, имеет место только по отношению  к инерциальной системе отсчета. Из этого закона непосредственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, так как две разные точки при действии одной и той же силы получают одинаковые ускорения только тогда, когда будут равны их массы; если же массы будут разные, то точка, масса которой больше (т. е. более инертная), получит меньшее ускорение, и наоборот.

Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как известно, будут эквивалентны одной силе, т.е. равнодействующей  , равной геометрической сумме этих сил. Уравнение, выражающее основной закон динамики, принимает в этом случае вид

 или  .

Третий закон (закон равенства  действия и противодействия) устанавливает характер механического взаимодействия между материальными телами. Для двух материальных точек он гласит: две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.         

 

 

Заметим, что силы взаимодействия между свободными материальными точками (или телами), как приложенные к разным объектам, не образуют уравновешенной системы.

Проведём небольшой эксперимент. Попробуем перемещать тяжёлое тело по некоторой криволинейной траектории. Сразу обнаружим, что тело сопротивляется изменению направления движения, изменению скорости. Возникает сила со стороны тела, противодействующая силе  , той, которую мы прикладываем к нему.

Эту силу, с которой материальная точка сопротивляется изменению  своего движения, будем называть силой инерции этой точки -  . По третьему закону она равна и противоположна действующей на точку силе  ,  . Но на основании второй аксиомы  . Поэтому  .

Итак, сила инерции материальной точки  по величине равна произведению её массы на ускорение

.

И направлена эта сила инерции в  сторону противоположную вектору  ускорения.

Например, при движении точки по кривой линии ускорение  . Поэтому сила инерции

.

То есть её можно находить как  сумму двух сил: нормальной силы инерции  и касательной силы инерции.

Рис.1 

 

Причём

   

Необходимо заметить, что сила инерции  материальной точки, как сила противодействия, приложена не к точке, а к тому телу, которое изменяет её движение. Это очень важно помнить.

Третий закон динамики, как устанавливающий  характер взаимодействия материальных частиц, играет большую роль в динамике системы.

Четвертый закон (закон  независимого действия сил). При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерционной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия  других, приложенных к точке, сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.

;        

 

 

 

 

 

 

Задачи динамики для свободной и несвободной  материальной точки.

Для свободной материальной точки  задачами динамики являются следующие: 1) зная закон движения точки, определить действующую на нее силу (первая задача динамики); 2) зная действующие на точку силы, определить закон движения точки (вторая или основная задача динамики).

Решаются обе эти задачи с  помощью уравнений, выражающих основной закон динамики, так как эти уравнения связывают ускорение   т.е. величину, характеризующую движение точки, и действующие на нее силы.

В технике часто приходится сталкиваться с изучением несвободного движения точки, т.е. со случаями, когда точка, благодаря наложенным на нее связям, вынуждена двигаться по заданной неподвижной поверхности или кривой.

Несвободной материальной точкой называется точка, свобода движения которой ограничена.

Тела, ограничивающие свободу движения точки, называются связями.

Пусть связь представляет собой  поверхность какого-либо тела, по которой  движется точка.  Тогда координаты точки должны удовлетворять уравнению этой поверхности,  которое называется уравнением связи.

Если точка вынуждена двигаться  по некоторой линии, то уравнениями  связи являются уравнения этой лини.

,             

Таким образом, движение несвободной  материальной точки зависит не только от приложенных к ней активных сил и начальных условий, но так же от имеющихся связей. При этом значения начальных параметров должны удовлетворять уравнениям связей.

Связи бывают двухсторонние или  удерживающие и односторонние или  неудерживающие.

Связь называется двухсторонней если, накладываемые ею на координаты точки ограничения выражаются в форме равенств, определяющих кривые или поверхности в пространстве на которых должна находится точка.

 

Дифференциальные уравнения  движения точки

С помощью дифференциальных уравнений  движения решается вторая задача динамики. Правила составления таких уравнений  зависят от того, каким способом хотим определить движение точки. 

 

1) Определение движения  точки координатным способом.

Рассмотрим свободную материальную точку, движущуюся под действием  сил  , ,..,  . Проведем неподвижные координатные оси Oxyz (рис.4). Проектируя обе части равенства   на эти оси и учитывая, что   и т.д., получим дифференциальные уравнения криволинейного движения точки в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат:

,   ,  .

Рис.4   

 

Так как действующие на точку  силы могут зависеть от времени, от положения точки и от ее скорости, то правые части уравнений могут содержать время t, координаты точки х, у, z и проекции ее скорости  . При этом в правую часть каждого из уравнений могут входить все эти переменные.

Чтобы с помощью этих уравнений  решить основную задачу динамики, надо, кроме действующих сил, знать  еще начальные условия, т.е. положение  и скорость точки в начальный  момент. В координатных осях Oxyz начальные условия задаются в виде: при 

. 

Зная действующие силы, после  интегрирования уравнений найдем координаты х, y, z движущейся точки, как функции времени t, т.е. найдем закон движения точки.

 

Относительное движение материальной точки

В предыдущем параграфе показано было как определяется движение точки относительно неподвижной системы отсчета, абсолютное движение. Нередко приходится исследовать движение материальной точки относительно системы, которая сама движется и довольно сложным образом.

Точка М (рис.10) под действием некоторых сил   совершает сложное движение. Абсолютное определяется координатами x, y, z, относительное – координатами x₁, y₁, z₁.

Рис.10 

 

Составим основное уравнение динамики для точки  , где абсолютное ускорение  . Поэтому уравнение будет таким   или  .

Рис. 13.6.