Контрольная работа по "Метрология, стандартизация и сертификация"

 

 

Вариант 7. При однократном измерении диаметра детали получено единственное значение отсчета d = 912 мм. В каких пределах находится действительное значение диаметра детали, если априорная информация представлена так:

а) отсчет подчиняется нормальному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением δ = 11 мкм = 0,011 мм, точное значение аддитивной поправки θ = +15 мкм =+0,015 мм;

б) отсчет подчиняется равномерному закону распределения вероятности с размахом ε΄ = dmax – d = 25 мкм = 0,025 мм, точное значение аддитивной поправки θ = +15 мкм;

в) отсчет подчиняется неизвестному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением δ =11 мкм, точное значение аддитивной поправки θ = +15 мкм;

 

Решение:

Единственное значение отсчета xi дает одно единственное значение показания Xi средства измерений, имеющее ту же размерность, что и измеряемая величина. В это значение показания вносится поправка θi. Если значение известно точно, то результат измерения Q будет представлен единственным значением:

При однократных измерениях доверительную вероятность принимают равной 0,95.

а) Отсчет, а следовательно, показание подчиняются нормальному закону распределения вероятное со средним квадратическим отклонением , точное значение аддитивной поправки равно θi. В этом случае результат измерения Q подчиняется нормальному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением , но смещенному по отношению к закону распределения вероятности показания на значение поправки θi, внесение которой обеспечивает правильность измерения. Задавшись доверительной вероятностью Р, можно по верхней кривой на рис. 29 [2] определить, на сколько результат однократного измерения Qi может отличаться от среднего значения результата измерения , равного значению измеряемой величины Q. Обозначив половину доверительного интервала через , найдем, что с выбранной вероятностью .

P=0,95 тогда t = 2

 

б) Отсчет, а следовательно, и показание подчиняются равномерному закону распределения вероятности с размахом ; точное значение аддитивной поправки равно θi.. Результат измерения Q подчиняется равномерному закону распределения вероятности с тем же размахом е, но смещенному по отношению к закону распределения вероятности показания на значение поправки θi, внесением которой обеспечивается правильность измерения. Значение измеряемой величины Q, равное среднему значению результата измерения , находится в пределах

в) Отсчет, а следовательно, и показание подчиняются неизвестному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением , точное значение аддитивной поправки равно θi. В данном случае закон распределения вероятности результата измерения неизвестен, известно лишь его среднее квадратическое отклонение . Вероятность того, что результат однократного измерения Qi  при любом законе распределения вероятности не отличается от среднего значения больше чем на половину доверительного интервала,

Полученная формула носит название неравенства П.Л. Чебышева. Она устанавливает нижнюю границу вероятности того, что ни при каком законе распределения вероятности случайное значение результата измерения не окажется за пределами доверительного интервала. Эта граница нанесена на рис. 29 [2] в виде нижней кривой. Задавшись доверительной вероятностью Р, можно по нижней кривой на рис. 29 определить, на сколько результат однократного измерения может отличаться от среднего значения результата измерения Q, равного значению измеряемой величины Q, при любом законе распределения вероятности. Обозначив, как и ранее половину доверительного интервала через , найдем, что с вероятностью

При симметричных законах распределения вероятности результата измерения неравенство П.Л. Чебышева имеет вид

На рис. 29 она показана пунктиром.

P=0,95 тогда t = 2,8

 

 

 

Задача 2

 

При многократном измерении одной и той же величины постоянного размера с равноточными значениями получены 50 независимых значений результата измерений (поправки внесены). Определить результат измерений. Экспериментальные данные формируются из пяти серий по десять значений результата измерения в каждой.

 

Таблица 2. 1 – Результаты измерений (шифр 51: строка 5,6,7,8 и столбец 1)

1	2	3	4	5
134	137	134	136	136
135	137	136	139	138
136	136	136	135	137
135	136	139	136	133
138	136	138	133	134
136	133	135	136	137
137	137	139	135	134
135	134	133	137	136
135	137	136	136	137
135	137	136	139	138

 

Решение:

1. Выявление и исключение грубых погрешностей по критерию «трех сигм».

Среднее арифметическое значение ־ для заданного числа n измерений  определим по формуле:

      

где   - сумма значений результатов измерений.

Определим стандартное отклонение результат по формуле:

           

Для это вычисляем значения:

 

 

Таблица 2.2 – Результаты расчетов

1	хi -	(хi – )²	2	хi -	(хi – )²	3	хi -	(хi )²
134	-2	4	137	1	1	134	-2	4
135	-1	1	137	1	1	136	0	0
136	0	0	136	0	0	136	0	0
135	-1	1	136	0	0	139	3	9
138	2	4	136	0	0	138	2	4
136	0	0	133	-3	9	135	-1	1
137	1	1	137	1	1	139	3	9
135	-1	1	134	-2	4	133	-3	9
135	-1	1	137	1	1	136	0	0
135	-1	1	137	1	1	136	0	0
4	хi -	(хi – )²	5	хi -	(хi – )²
136	0	0	136	0	0
139	3	9	138	2	4
135	-1	1	137	1	1
136	0	0	133	-3	9
133	-3	9	134	-2	4
136	0	0	137	1	1
135	-1	1	134	-2	4
137	1	1	136	0	0
136	0	0	137	1	1
139	3	9	138	2	4

 

Грубая погрешность, или промах – это погрешность результата

отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. При

многократных измерениях для обнаружения промахов используют статистические критерии, такие как критерий Романовского, критерий

Шарлье, критерий Диксона. Критерий «трех сигм» применяется, если число измерений n ≥ 20…50 и вычисляется по формуле:

Если условие выполняется, то результат считается промахам.

Все результаты не являются промахами и не исключаются из результатов измерений.

 

2. Построение гистограммы 

Определим количество интервалов:

, примем количество интервалов  равным 7

Частота попадания результата в интервал:

∆n = mi/n

Измерение	mi	∆n
133	4	0,08
134	5	0,1
135	8	0,16
136	15	0,3
137	10	0,2
138	4	0,08
139	4	0,08

 

 

Рисунок 2.1 – Гистограмма

 

По виду гистограммы результат измерения   подчиняется нормальному закону распределения вероятности.

 

3. Проверка ряда измерений на  соответствие нормального закона  распределения вероятностей (НЗРВ) по критерию К.Пирсона.

 

Определим, на сколько Sх отстоит от среднего арифметического правая граница каждого интервала:

По значению ti определим функцию Лапласа L(ti), полученные из таблиц значения L(ti) занесем в пятую графу таблицы.

Теоретическая вероятность Pi попадания в i-й интервал отдельного значения результата измерения, подчиняющегося нормальному закону распределения вероятности, очевидно равна

Принимая во внимание, что , а , поместим рассчитанные значения Pi в шестую графу таблицы. В седьмую и восьмую графы внесены результаты остальных вспомогательных вычислений. Суммирование чисел в восьмой графе дает

 

Таблица 2.3 – Результаты расчетов для критерия Пирсона

	интервалы	mi	ti	L(ti)	Pi	mi-n·Pi	(mi-n·Pi )²/n·Pi
1	2	3	4	5	6	7	8
1	от -∞ до 134,5	9	-0,94	-0,3264	0,1736	0,32	0,012
2	от 134,5 до 135,5	8	-0,31	-0,1217	0,2047	-2,235	0,488
3	от 135,5 до 136,5	15	0,31	0,1217	0,2434	2,83	0,658
4	от 136,5 до 137,5	10	0,94	0,3264	0,2047	-0,235	0,005
5	от 137,5 до +∞	8	+∞	0,5	0,1736	-0,68	0,0533
		∑=50					∑=1,1263

 

 Из таблицы  видно, что рассчитанное значение , соответствует вероятности Р=0,95 (при Р=0,95 приложение 2 [1]). Результат измерения   подчиняется нормальному закону распределения вероятности.

4. Определим результат измерений.

Оценка среднего квадратичного отклонение результата измерения:

 

Выбор доверительной вероятности и определение квантиля распределения определим из неравенства Чебышева:

Определим доверительный интервал:

 

Пределы, в которых находится значение измеряемой величины: