Статика, кинематика, динамика

Q = P(cos α  f_{TP +} sin α)

Q = 10(0,866 · 0,6 + 0,500) = 10,196 Н

 

Задача 141

 

Дано:

Груз  весом G (рис.20) подвешен через блок на трос, конец которого намотан на барабан радиусом г и удерживается в состоянии покоя силой трения между рычагом и барабаном по радиусу R. Коэффициент трения рычага о барабан – f.

Требуется, пренебрегая весом барабана, троса и рычага, определить минимальное значение силы Р, приложенной к рычагу, и реакцию в опоре А.

Решение:

1. Составляем расчетную схему установки
2. Прикладываем силу трения в месте соприкосновения рычага с поверхностью шкива (точка В).
3. Рассматриваем равновесие шкива (рис. 22).

F_TP – сила трения (тормоза барабана)

N – нормальная реакция барабана

М_G – вращательный момент от груза G

М_ТР – тормозной момент от рычага

Для равновесия установки необходимо

М_ТР = М_G , т.е. F_TP R = G · r. отсюда F_TP = G · r/R

 

F_TP = 500 = 250 H

 

Нормальная  реакция барабана на действие силы Р

 

F_TP = f₁ – N,

 

отсюда

 

N = F_TP / f , N = 250 : 0,45 = 555,(5)

 

4. Определяем силу Р приложенную к рычагу из условия равновесия рычага относительно опоры А. (рис.21).

 

, P cos 60⁰

P 0.5(1.6) -555,6 · 2/3 · 1,6 = 0

P 0,8 – 1,1 · 555,6; Р = = 763,95 Н

 

5. Определяем реакцию в опоре А (2-ое условие равновесия)

 

а)

б) - F_TP – R_X + P · sin 40⁰ = 0

R_X = P · sin 40⁰ - F_TP

R_X = 763,95 · 0,643 – 250 = 241,2 Н

в)

R_y = - = - 244,074863

 

(Значит  направление реакции будет противоположным)

 

R_A = 343,1 Н

 

 

РАЗДЕЛ 2. КИНЕМАТИКА

 

Задача К-1

 

Заданы  уравнения движения точки в двух плоскостях, требуется:

1. Найти уравнение траектории движения точки.
2. Определить начальное положение точки на траектории при t₁ = 0
3. Построить траекторию движения точки в соответствующих координатах и показать участок ее в интервале времени от t₁ до t₂.
4. Определить путь, пройденный точкой за время от t₁ до t₂.
5. Вычислить полную скорость точки, ее проекции на оси координат для времени t₁ и показать их на траектории.
6. Вычислить полное ускорение точки, ее проекции на оси координат для времени t₂ и показать их на траектории.
7. Определить нормальное и касательное ускорения точки для времени t₂, а так же радиус кривизны.

Дано: OXY

 

Решение:

1. Находим уравнение траектории движения точки, исключая параметр t из уравнений X и Y.

В настоящем задании используется координатный способ задания движения точки в двух плоскостях X и Y.

Система уравнений имеет вид:

 

 

где y и x – соответственно абсцисса и ордината, см;

t – время, с.

 

Из первого  уравнения системы (1)имеем:

 

 

подставив его во второе уравнение системы, получаем исходное уравнение траектории:

 

(2)

 

2. Определяем  начальное положение точки на  траектории пои t=0, подставляя нулевое значение времени каждое из уравнений, получим:

 

 

полученная  точка М₀ имеет координаты (4;-5).

3. Строим  траекторию движения точки в  координатах OХY.

Предварительно  находим пределы изменения Х  и Y при изменении времени от t = 0с, до максимального значения, т.е. t₂ = 3,6с.

при t =0с.,Х₀ =4cм, Y₀ =-5см;

при t₂ =3,6с.,Х₂ =42,98см, Y₂ =54,04см.

Подсчитываем  также значения Х и Y при t₁= 1,2с.

Х₁ =8,32см, Y₁ =3,16см.

Задавая значения Х от 4 до 42,88см. получаем по формуле (2) соответствующие значения Y и сводим их в таблицу 1.

 

 

Значение  координат траектории движения точки

Таблица 1

Z	4	5	6	7	8,32	10	20	30	40	42,88
Y	-5	-2,51	-0,7	1	3,16	5,82	20,95	35,55	49,92	54,04

 

4. Определяем  путь, пройденный точкой за время  от t₁ =l,2c. до t₂ =3,6с. 
Для этого разбиваем траекторию движения точки от М₁ до М₂ на несколько 
участков и определяем длину каждого из них по формуле:

 

 

где Z₁,Y₁ – соответственно абсцисса и ордината начальных точек участков, см;

Z_j+1, Y_j+1 – соответственно абсцисса и ордината конечных точек участков, см.

 

 

 

Тогда весь путь, пройденный точкой, может быть подсчитан по формуле:

 

(4)

 

Где n – количество участков.

 

 

В нашем  случае:

L = 9,896 + 328,91 + 313,16 + 306,49 + 25,26 = 983,7317 см.

5. Вычисляем полную скорость точки при t₁=1,2с. Для этого, 
предварительно, подсчитываем проекции скорости на оси координат как 
производные по времени от проекции пути:

 

 

Для t₁ =l,2c численные значения проекций скорости будут:

 

 

Полную  скорость точки подсчитываем по формуле:

 

 

В нашем  случае;

 

 

Для определения  направления полной скорости точки  в рассматриваемой системе координат  удобно пользоваться как графическим, так и аналитическим способами. Сущность графического способа заключается в проведении диагонали прямоугольника, построенного на проекциях скоростей по осям координат.

При аналогичном  способе определения направления  скорости точки необходимо определить значения направляющих косинусов по формулам:

 

 

При t₁ = 1,2c cosα₁ = 0,84; cosα₂ = 0,528

откуда  следует, что α₁ = 32° и α₂ = 58°

В соответствии с полученными значениями проекций скоростей и углов, в выбранном  масштабе , показываем направление полной скорости точки и ее проекций.

6. Определяем  полное ускорение точки при  t₂ =3,6с. Для этого подсчитываем проекции ускорение точки на оси координат как производные по времени от проекций скоростей:

 

 

Для t₂ =3,6с а_Y =8см/с²; а_Z = 6см/с²

Тогда полное ускорение точки определим по формуле:

 

 

Аналогично  предыдущему пункту, значения направляющих косинусов для определения направления  полного ускорения вычисляем  по формулам:

 

 

 

При t2 =3,6с cosβ₁= 0,8; cosβ₂=0,6

откуда  следует, что β₁ = 37° и β₂ = 53°

В соответствии с полученными значениями ускорений  и углов, в выбранном масштабе ускорения , проводим линии, соответствующие направлению полного ускорения точки и ее проекциям.

7. Определяем  нормальное и касательное ускорения  точки. Для этого используем  формулу полной скорости точки.  Известно, что касательное ускорение  точки можно вычислить, взяв  первую производную по времени  от полной скорости точки, поэтому:

 

 

При t₂ = 3,6c;

 

 

Нормальное  ускорение точки подсчитываем по формуле:

 

 

8. Определяем радиус кривизны движения точки при t₂ =3,6с по формуле:

 

 

Задание К-2

 

Кривошип  ОА вращается в указанном направлении  с постоянной угловой скоростью  ω₁. Для двух положений механизма при заданных углах φ₁ и φ₂ требуется:

1. Путем построения планов скоростей определить линейные скорости точек А, В, К, Д, Е и угловые скорости звеньев 2, 3, 4.
2. Путем построения планов ускорений определить ускорения вышеназванных точек и угловые ускорения тех же звеньев. Для построения схемы механизмов следует взять следующие размеры звеньев: ОА=0,3 м; АВ=1,4 м; ВС=1,0 м; ДЕ=1,2м; Н=1,5м.

Дано:   ОА = 0,3м АВ = 1,4м ВС = 1,0м ДЕ = 1,2м Н = 1,5м

 

Решение:

1. Строим схему механизма для двух положений ведущего звена. Для этого определяем масштаб схемы по формуле: , где l_OA=20 мм – длина кривошипа ОА на чертеже.

 

 

В полученном масштабе и в соответствии с заданными  соотношениями линейных размеров пересчитываем  длины всех звеньев механизма:

2. Строим  планы скоростей механизма. Для  этого определяем линейную скорость  точки А ведущего звена по  формуле

 

(1)

 

где ω₁-угловая скорость ведущего звена, рад/с; ОА - длина звена, м. Выбираем за полюс плана скоростей произвольную точку и обозначаем ее буквой Р.

Подсчитаем  масштаб плана скоростей по формуле:

 

(2)

 

Где = 39 мм - длина вектора на плане скоростей, мм.

Скорость  точки В определяем графическим  решением системы уравнений

 

  (3)

 

Для положения 1: V_B = 8,9 · 0,1 = 0,89 м/с, а для положения 2: V_B = 38 ∙ 0,1 = 3,8м/с.

Скорость точки Д определяем построением на плане скоростей треугольника, подобного треугольнику АВД на схеме механизма. Положение точки (к) на плане скоростей определяем из пропорции:

 

откуда . (4)

 

Для положения 1 - (ак) = 20,4 мм

Для положения 2 - (ак) = 21,6 мм

По пропорциям, аналогичным (4), определяем значения отрезка (кд) на плане скоростей

 

откуда . (5)

 

Для положения 1 - (кд) = 3,4 мм

Для положения 2 - (кд) = 3,6 мм

Скорость  точки Е определяем графическим  решением системы векторных уравнений:

 

 

Для определения  скоростей интересующих нас точек  измеряем векторы этих точек на планах скоростей, умножаем их на масштаб планов и сводим полученные результаты в  таблицу 2. Кроме точек А,В,К,Д, и  Е в таблицу сводим результаты вычисления относительных скоростей  звеньев 2 и 4, значения которых будут  необходимы в дальнейшем при определении  угловых скоростей.

 

Значения  скоростей точек механизма для  положений 1 и 2.

Таблица 2.

№ положения	Скорости точек, м/с
	А	В	Д	К	Е	(ак)	(де)
1	3,6	0,89	1,9	1,7	0,69	2,04	1,98
2	3,6	3,8	3,6	3,3	0,1	2,2	3,6