Расчет электрических фильтров

Задание на курсовую работу.

      На входе полосового фильтра действуют периодические прямоугольные радиоимпульсы с параметрами:       tи- длительность импульсов, Ти- период  следования, Тн- период несущей частоты, Uм н- амплитуда несущей частоты, имеющего форму гармонического .

     Требуется рассчитать двусторонне нагруженный пассивный полосовой LC-фильтр и активный полосовой RC-фильтр для выделения эффективной части спектра радиоимпульсов, лежащей в полосе частот от (fн-1/tи) до (fи+1/tи). Спектр имеет дискретной характер, поэтому частотами fп1 и fп2 границы полосы пропускания фильтров определяются крайними частотами в главном «лепестке спектра». Частоты fз1 и fз2 полосы задерживания фильтра определяются частотами первых дискретных составляющих, лежащими слева от   (fн-1/tи) и справа от (fи+1/tи).  Сопротивления генератора радиоимпульсов Rг и сопротивление нагрузки Rн пассивного фильтра одинаковы: Rг = Rн = R =1000 Ом. Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчет амплитудного спектра радиоимпульсов.

Находим несущую частоту:

 

Рассчитываем частоты нулей огибающей спектра. Они зависят от длительности импульса:

 

 

 

 

Максимальное значение огибающей в виде напряжения, соответствующее частоте fн находится по формуле:

 

Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, строим огибающую дискретного спектра

периодических радиоимпульсов (рис.№ 1).

 

Рис.№1.

Внутри огибающей находятся спектральные составляющие или гармоники спектра с частотами, где

 i- номер гармоники. Они располагаются симметрично относительно несущей частоты, зависят от периода следования импульсов и находятся по формуле:

Учитывая, что

 кГц

Рассчитываем частоты гармоник, лежащих только справа от :

 кГц

 кГц

 кГц

 кГц

 кГц

Частоты гармоник, лежащих слева от будут:

 кГц

 кГц

 кГц

 кГц

 кГц  и т.д.

Амплитуды напряжений i-ых гармоник находятся по формуле:

  ,

где К=/=-количество периодов несущих колебаний косинусоидальной формы в импульсе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формирование требований к полосовому фильтру.

Учитывая, что амплитуды спектральных составляющих на частотах 75 и 125 кГц равны нулю, примем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 80,5до 119,5 кГц. Следовательно, эти частоты будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра fп1 и fп2. Граничную частоту полосы непропускания fз2 выбираем равной частоте первой гармоники спектра сигнала , находящейся после частоты (fн+1/tи)=75 кГц. Этой частотой является частота f5=75,7 кГц. Следовательно, fз2=f5=125,5 кГц.

Найдем центральную частоту ПП:

кГц

Тогда граничная частота fз1 полосы непропускания будет

кГц

Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН зависит от разницы амплитуд гармоник f3 и f5 спектра сигнала на выходе фильтра, выраженной в децибелах и заданной величиной Апол- полного ослабления:

 

 

 

 

 

 

Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формирование передаточной функции НЧ- прототипа.

Находим граничные частоты ПП и ПН НЧ- прототипа.

 кГц

 кГц

Получаем значение нормированных частот.

 

 

Рис.№2.

Требования к НЧ – прототипу могут быть проиллюстрированы рис.№2.

Находим коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ПП при А=∆А и Ω=1, когда

ѱ(1)=Тm(1)=1:

 

При А=Аmin и Ω=Ωз, т.е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПН полиномом Чебышева Tm(Ω)=ch m arch Ω, поэтому

 

Для вычисления функции arch x рекомендуется соотношение

 

 

 

 

 

∆А=3Дб;

-0,29862,  -0,14931±j0,903813

р1=

р2,3=

 

 

 

Формируем нормированную передаточную функцию НЧ- прототипа в виде

 

где - полином Гурвица, который можно записать через полюсы:

 

Производя вычисления, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реализация LC-прототипа.

Для получения схемы НЧ- прототипа воспользуемся методом Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра составляется выражение для входного сопротивления

 

 

Вначале числитель делим на знаменатель:

 

 

 

 

 

Затем первый делитель делим на первый остаток:

 

 

 

 

 

Второй делитель делим на второй остаток:

 

 

 

 

 

Третий делитель делим на третий остаток:

 

 

 

 

 

 

Получили четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей: pC, 1/pL, 1/R. Из анализа первого результата деления следует, что он отражает емкостную проводимость, поэтому все выражение можно записать в виде цепной дроби:

 

 

 

 

Составляем схему (рис.№3) на которой С1н=3,349,  L2н=0,712, С3н=3,349, Rг.н=Rн.н=Rнор.

 

 

 

 

 

 

Рис.№3.

Денормируем  элементы схемы НЧ- прототипа, используя соотношения:

 

где  - нормирующая частота.

- нормирующее  сопротивление, равное внутреннему  сопротивлению источника сигнала.

− прототипа:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реализация пассивного полосового фильтра.

Между частотами НЧ- прототипа и частотами полосового фильтра существует соотношение:

 

Индуктивное сопротивление НЧ- прототипа заменяется сопротивлением последовательного контура с элементами:       

а емкостное сопротивление НЧ- прототипа заменяется сопротивлением параллельного контура с элементами:

 

Тогда, на основании схемы ФНЧ может быть построена схема полосового фильтра (рис.№4.).

 

 

 

Рис.№4.

Элементы этой схемы рассчитываются по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчет полюсов ARC-фильтра.

Требования к полосовому ARC-фильтру остаются теме же, что и к полосовому LC-фильтру. Поэтому на этапе аппроксимации синтеза ARC- фильтра можно воспользоваться результатами расчета LC- фильтра. Причем, не самой нормированной передаточной функцией, а только ее полюсами, и найти полюсы денормированной передаточной функции ПФ.

Вначале находим:

 

 

 

Затем сами полюсы:

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчет показывает, что вместо трех полюсов нормированной передаточной функции НЧ- прототипа получается шесть полюсов передаточной функции ARC полосового фильтра (см.табл.№1).

Номера полюсов	Полюсы Н(р)
	-α*	±jω*
1,2	3,6549	38.8579
3,6	0,6240	44,2015
4,5	0,7203	34,2067

 

Таблица №1.

 

 

 

 

 

Формирование передаточной функции.

 

Учитывая, что ARC фильтры обычно строятся из каскадно-соединенных звеньев второго порядка, целесообразно передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго прядка. Они имеют вид:

 

 

Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет:

 

 

Коэффициенты в числителе могут иметь одинаковую величину и рассчитываются по формуле:

 

 

Коэффициенты в знаменателе находятся по формулам:

 

,

где   -значение полюсов.

 

 

 

 

 

 

Значения всех рассчитанных коэффициентов сведены в таблице №2.

Номер сомножителя	Значения коэффициентов
1
2
3

таблица №2.

Подставляя найденные коэффициенты получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчёт элементов схемы фильтра

 

В качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ), которая изображена на рисунке:

 

                           

Если принять, что операционный усилитель имеет идеальные параметры (kу = ∞, Rвх = ∞, Rвых = 0), то можно получить передаточную функцию схемы в виде:

     Рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем ведется путем сравнения идентичных коэффициентов. Для первого звена ПФ берутся коэффициенты из сомножителя.

 

 

 

 

Если принять С3=С4=2нФ, получим

1 звено: ,

2 звено: ,

3 звено: ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверка результатов расчета.

 

 

 

Находится модуль в виде:

 

 

Зная , легко найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:

,

где

 

Выполним расчет трех звеньев фильтра:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученные значения запишем в таблицу№3.

f,кГц
	80,5	119,5	76,7	125,5
	0,11	0,27	0,1	0,32
	0,03	2,07	1,67	1,11
	2,45	0,03	2,85	0,32
	0,008	0,017	0,475	0,113
	19,1	11,3	20	62,5
	30,45	11,37	-4,45	-0,90
,	-7,78	30,45	43,97	9,89
	41,77	53,12	59,52	71,49