Основы теории надёжности

 

 

 

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Омский государственный университет путей сообщения  (ОмГУПС)

 

 

 

 

 

 

 

             Контрольная работа по основам теории

                        надёжности и диагностики.

 

 

 

 

 

 

 

                                                                         

 

                                                                  Выполнил студент 4 курса

                                                                   Специальность: ОБД (2404)

                                                                        Индивидуальный шифр:01132

                                                                               Герасимов Юрий Алексеевич

                                                                          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                             г. Омск  2014  г.

 

 

Содержание

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 1

 

На испытание поставлено N0 = 1000 изделий. За время t = 21000 ч вышло из строя n(t) = 840 штук изделий. За последующий интервал времени ∆t = 1000ч вышло из строя n(∆t) = 50 изделий.

Вычислить вероятность безотказной работы за время t и t+∆t, частоту отказов и интенсивность отказов на интервале ∆t.

 

Решение.

Нужно определить (21000), (22000), (21500), (21500), (21500).

Приведем временной график на рис.1.1.

 

 

 

Рис.1.1. Временной график

 

1. По  формуле  найдем вероятность безотказной работы:

для tн=21000 ч (начало интервала)

;

для tк=22000 ч (конец интервала)

.

Определим среднее число исправно работающих образцов в интервале Δt:

.

Число отказавших изделий за время t=21500 ч

 

n(21500)=N0–Nср=1000–135=865,

 

тогда .

2. По формуле  определим частоту отказа:

.

3. По формуле определяем интенсивность отказа:

.

Интенсивность отказа можно также определить по формуле :

.

 

 

ЗАДАЧА 2

 

Изделие состоит из 7 маломощных низкочастотных кремниевых транзисторов, 16 точечных кремниевых выпрямителей, 8 слюдяных конденсаторов, 21 резистора типа МЛТ мощностью 0,25 Вт, 5 резисторов типа МЛТ мощностью 0,5 Вт, 3 резистора типа МЛТ мощностью 1 Вт, 2 силовых трансформаторов и 2 дросселей.

Необходимо найти вероятность безотказной работы изделия в течение времени t=2000 ч и среднюю наработку до первого отказа Тср.с с.

 

Решение.

Для выполнения ориентировочного расчета надежности составим и заполним табл.2.2, вычислив величину интенсивности отказов изделия λс. Значение интенсивностей отказов λi элементов (третья графа) выбираем из таблиц прил. 1.

Таблица 2.2

Наименование и тип элемента	Количество элементов Ni	Интенсивность отказов, λi 10-5 1/ч	Ni·λi, 10-5 1/ч
Транзистор маломощный низкочастотный кремниевый	7	0,4	2,8
Выпрямитель точечный кремниевый	16	0,2	3,2
Конденсатор слюдяной	8	0,12	0,96
Резистор МЛТ, 0,25 Вт	21	0,04	0,84
Резистор МЛТ, 0,5 Вт	5	0,05	0,25
Резистор МЛТ, 1 Вт	3	0,1	0,3
Трансформатор силовой	2	0,3	0,6
Дроссель	2	0,1	0,2
Итого			9,15

 

1/ч.

По данным таблицы находим^

;

 ч.

 

ЗАДАЧА 3

 

Схема расчета надежности невосстанавливаемого резервированного устройства для различных вариантов приведена на рис. 3.1.

Рис.3.1. Схема расчета надежности резервированного устройства

 

Интенсивности отказов элементов имеют следующие значения:

λ1=2·10-4 1/ч; λ2=3·10-4 1/ч; λ3=

1/ч; λ4= 1/ч,

Найти среднюю наработку до первого отказа устройства и вероятность его безотказной работы в течение 100 часов.

 

Решение.

Готовой формулы для средней наработки до первого отказа в рассматриваемом случае нет. Поэтому воспользуемся соотношением:

.

Найдем выражение для вероятности безотказной работы Рc(t) устройства. Очевидно,

Pc(t)=pI(t)·pII(t)·pIII(t)·pIV(t),

где ;

.

Подставляя значения pI(t) и pIII(t) в выражение для Рс(t), получим

 

Так как , , , то

Учитывая, что , имеем

Подставляя в выражение для Тср.с значения интенсивностей отказов из условия задачи, получаем

 

 

ЗАДАЧА 4

 

Составить систему уравнений для графа состояний резервированной системы, изображенного на рис. 4.1. В данном случае G0 – исправное состояние; G1 – неисправное работоспособное состояние; G2 – неработоспособное состояние; Рi – вероятность нахождения системы в i-том состоянии; λ – интенсивность отказа; µ – интенсивность восстановления. Рассчитать коэффициент готовности системы (КГ=Р0+Р1), решив полученную систему уравнений.

λ=2·10-4 1/ч;   µ=3·10-4 1/ч,

Рис. 4.1. Граф состояний резервированной системы

 

Решение.

Будем считать, что потоки отказов и восстановлений являются простейшими: λ=const, µ=const. Это значит, что производительность труда ремонтника постоянна и не зависит от времени. Поэтому время восстановления имеет экспоненциальный закон распределения ; .

При экспоненциальных законах распределения времени наработки и времени восстановления случайный процесс работы восстанавливаемой системы по истечении некоторого времени стабилизируется и вероятность застать систему работоспособной в произвольный момент времени остается постоянной. Система с указанным свойством называется эргодической.

Так как λ=const и µ=const, то все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются простейшими Пуассоновскими.

Пуассоновским потоком называется ординарный поток отказов (восстановлений) с отсутствием последействия, у которого число отказов (восстановлений) за промежуток времени t, распределено по закону Пуассона:

, λ>0; , μ>0,

 

где P(k,t) – вероятность того, что за время t в системе произойдет k отказов (восстановлений); λ – интенсивность потока отказов; μ – интенсивность потока восстановлений.

Тогда случайный процесс есть марковский процесс, который задается системой дифференциальных уравнений.

Процесс функционирования резервированной восстанавливаемой системы является марковским случайным процессом с дискретными состояниями S1, S2, S3…, а переход из состояния в состояние происходит скачком в фиксированные моменты времени: t1, t2….

Система уравнений составляется по следующим правилам. Производная вероятности состояния равна сумме стольких слагаемых, сколько стрелок связано с этим состоянием. Каждое слагаемое равно произведению интенсивности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. Слагаемое имеет знак минус, если стрелка исходит из данного состояния, а знак плюс – если стрелка направлена в данное состояние. Для графа состояний, показанного на рис. 4.1, получим следующую систему дифференциальных уравнений:

Система решается с помощью преобразований Лапласа или численными методами. При t→∞ справедлива предельная теорема А.А. Маркова: если все интенсивности потоков событий постоянны, а граф состояний таков, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое за конечное число шагов, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. В соответствии с этой теоремой при t→∞ производная и система дифференциальных уравнений превращается в однородную систему линейных алгебраических уравнений:

Получили систему трех однородных уравнений. В этой системе только два независимых уравнения. Третье уравнение является следствием двух других. Поэтому для решения системы выберем два уравнения и добавим к ним нормировочное уравнение:

Р0+Р1+Р2=1.

Решая эту систему уравнений, находим Р0, Р1, Р2:

Рассчитаем коэффициент готовности системы:

КГ=Р0+Р1 = 0,31 + 0,414 = 0,724.