Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

Министерство  образования и науки РФ

 

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение  высшего профессионального образования

«Сибирская  государственная автомобильно-дорожная

академия (СибАДИ) »

 

Кафедра механики

 

 

 

 

Задание для самостоятельной работы

«Определение  абсолютной скорости и абсолютного  ускорения точки»

 

 

 

Вариант 23

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил  студент группы ЭАТб-12А1

Щербинов В.В.

 

Проверил  преподаватель

Лукин А. М.

 

 

 

 

 

 

Омск

СибАДИ

2013

Условия задания:

По заданным уравнениям относительного движения точки  М и движения тела D определить для  момента времени t  абсолютные скорость и ускорение точки М.

На рис.1 изображена  схема механизма.

Дано: OM = 6 π t², см; ϕ = π t³/ 6, рад; R = 18 см; ОО₁ = 20 см; t₁  = 1 c;

Найти: (V_r ; V_e; V ; a_r; a_e  ; a_c  ; a ; OM = S_r ) - ?

Рис.2

 

 

Решение:

Найдем положение  точки М в момент времени t₁

ОМ₁ = 6 · π · 1² = 6 · π = 18.84 см.

a= OM₁/R = 6 · π / 18 = 60°

  Определяем  модуль переносной скорости и модуль переносного ускорения точки М в момент времени t₁ .

V_e = O₁O · ω , где ω = dϕ /dt =  π · t²/ 2.

ω = 3.14 · 1²/ 2 = 1.57 рад/с.

   Положительный знак у величины показывает что, вращение  тела D происходит в ту же сторону, что и отсчет угла ϕ.

V_e = 20 · 1.57 = 31.4 см/с

a_e = +   , где:

 = ε_e· O₁О ; 

  = · O₁О;

ε= d²ϕ /dt² = π · t = 3.14 рад/с

Знаки ε и ω одинаковы, следовательно, вращение тела D ускоренное

= 3.14 · 20 = 62.8 см/с² .

 = 1.57² · 20 = 49.3 см/с² .

a_e = 62.8 + 49.3 = 112.1 см/с².

    Определяем  модуль относительной скорости, и модуль  относительного  ускорения точки М в момент времени t₁:

V_r = d(OM)/dt = 12 · π · t 1; 

V_r = 12 · π · 1 = 37.68 см/с.

    Положительный  знак  y величины V_r  показывает, что вектор Vr   направлен в сторону возрастания S_r .

a_r  =   +   , где

   = d² (OM)/dt;

    = /R;

= 12 · π = 12 · 3.14 = 37.68 см/с²

= 37.68² / 18 = 78.88 см/с²

a_r  = 37.68 + 78.88 = 116.56 см/с²

 

   Найдем  модуль ускорения Кориолисa.

   _{Кориолисова ускорения нет, так как тело D движется поступательно.}

   Определяем  абсолютную скорость и абсолютное  ускорение

ϕ = π·t³/ 6 = 30°

V = V_e + V_r

   Находим  проекции скорости и ускорения  на оси НСО.

V_Y1 = V_r · sin·α – Ve · sin·ϕ = 37.68 · sin 60° - 31.4 · sin 30° = 16.93 см/с.

V_Z1 = V_r · cos·α + Ve · cos·ϕ = 37.68 · cos 60° + 31.4 · cos 30°= 46.03 см/с.

V = = = 49.04 см/с.

   Определяем  направляющие косинусы для ориентации  абсолютной 

скорости  в пространстве

cos(V,j) = V_y1/ V = 16.93 / 49.04 = 0.345

cos(V,k) = V_z1 / V = 46.03 / 49.04 = 0.939

a = + + + + a_c

a_Y1= · sin·α + · cos·α - · sin·ϕ - · cos·ϕ = 37.68 · sin 60° + 78.88 · cos 60° - 62.8 · sin 30° – 49.3 · cos 30° = -2.02 см/с².

a_Z1 = · cos·α - · sin·α + · cos·ϕ - · sin·ϕ = 37.68 · cos 60° - 78.88 · sin 60° + 62.8 · cos 30° – 49.3 · sin 30° = - 19.74 cм/с².

a = = = 19.84 см/с²

cos(a,j) = a_Y1/a = -2.02 / 19.84 = -0.102

cos(a,k) = a_Z1/a = - 19.74 / 19.84 = -0.995

Результаты  расчетов сводятся в таблицу.

OM=Sr	Vr, см/с	Ve, см/с	V, см/с	ar , см/с2	ae, см/с2	ac, см/с2	a, см/с2
18,840	37,680	31,400	49,040	116,560	112,100	0	19.840