Механика сплошных сред

Введение

 

В недалеком  будущем в связи с исчерпанностью природных ресурсов промышленность встанет перед необходимостью перерабатывать отходы производства, хвосты фабрик и руды с низким содержанием полезных элементов. Для решения этих задач потребуется измельчать сырье до минимальной крупности и смешивать. В настоящее время для сверхтонкого измельчения и смешивания сырья на атомарном уровне применяются планетарные мельницы, виды которых весьма разнообразны. Чтобы получить тот или иной размер частиц порошка, довольно часто приходиться задаваться вопросами: какого размера должны быть мелющие шары, какой диаметр барабанов и как должны относиться объемы обрабатываемого порошка и мелющих тел, и так далее. 

В этой работе будет  рассмотрено пластическое деформирование частиц порошка, изначально  сферической частицы, а в последующем эллипсоида. Деформацию частицы можно представить комбинацией двух или более сдвигов, идущими маленькими чередующимися порциями. В случае нормальной деформации происходит расплющивание частицы, при наличии тангенциальной составляющей скорости удара к нормальной деформации добавляется чистый касательный сдвиг. [1] И все же, мы пренебрегаем деформацией растяжения и учитываем только деформацию простого сдвига. Так же не будем учитывать, что среднестатистическая частица порошка периодически откалывается от мелющих тел - шаров и стенки барабана, рассматривая лишь процесс горячей сварки частей порошка.

 

 

 

 

 

 

 

 

Однородная  сдвиговая деформация

 

При всем многообразии случаев произвольную деформацию тела можно свести к двум элементарным деформациям - растяжению (сжатию) и сдвигу. Последнее  происходит под действием касательной силы, приложенной, например, к верхнему основанию, в нашем случае, точке шара или эллипсоида, и с закрепленной или находящейся тоже под действием касательной силы  точке нижнего основания.  (Прил.1.)

Рассмотрим многократное необратимое деформирование изначально сферической частицы, все деформации могут быть реализованы за счет движения дислокаций, так как это является основным механизмом пластической деформации металлов и сплавов. Под частицей также можно понимать и необратимо деформируемое зерно поликристалла. Под действием последовательности сдвигов изначально сферические частицы превращаются в эллипсоиды общего вида, у которых в результате пластических деформаций изменяются длины полуосей, а сами эллипсоиды поворачиваются. Для некоторого получившегося эллипсоида определяются введенные коэффициенты «уплощенности» и «нитевидности» в предположении, что величины сдвигов известны.

Каноническое уравнение эллипсоида с полуосями a, b, c в декартовых координатах, совпадающих с осями деформации эллипсоида (Прил.2.):

 

.

         

          В ортонормированном базисе  это уравнение можно переписать в виде:

,

         

          В этом уравнении справа и  слева стоит радиус-вектор точек  поверхности эллипсоида  . Получившийся между векторами объект — это тензор второго ранга, который задает конкретный эллипсоид с параметрами (a,b,c). Он представлен в виде суммы , где , , .

 

           Рассмотрим преобразование этого  тензора в результате деформации: , где F — деформационный градиент, задающий аффинное искажение формы тела. Покажем, что новый тензор также представим в виде , где образуют ортонормированную систему векторов (а, следовательно, задает эллипсоид с изменившимися значениями полуосей).

При однородной сдвиговой деформации радиус-вектор, разделяющий два атома переходит  в  _, где — радиус-вектор некоторой материальной частицы тела из текущей или деформированной конфигурации, — радиус-вектор той же материальной частицы в отсчетной или недеформированной конфигурации, — величина сдвига (тангенс угла наклона боковой грани получаемого параллелепипеда, описанного вокруг эллипсоида, относительно соответствующей грани недеформированного прямоугольного параллелепипеда, описанного вокруг шара), — направление сдвига в плоскости с нормалью , _{и -  ортогональные единичные вектора. (Прил.3.)}

_{Используя пространственный (Эйлеров) подход, при котором осуществляется наблюдение за параметрами, характеризующими состояние частиц, которые проходят точки пространства неподвижного наблюдателя, соответствующий градиент места будет иметь вид:}

,то есть  . Как известно, любой неособенный тензор представим своим полярным разложением. В данном случае имеет место , где R – ортогональный тензор (тензор ротации), а U — положительно определенный и симметричный тензор (левый тензор искажения).[2] Поскольку R задает лишь поворот, не влияющий на форму получаемого эллипсоида, то вместо тензора при исследовании формы эллипсоида можно рассматривать тензор , который далее и будем обозначать как .

Итак, имеем: . Или, записывая по-другому, , где S — тензор поворота от собственных векторов U к базису , а задает обратный поворот к собственным векторам, в которых тензор U_diag имеет диагональный вид (на диагонали — собственные числа). [3]

Тогда векторы  , представляют собой растянутые или сжатые главные векторы U, то есть они взаимно ортогональны, но не являются единичными. Для нормировки их надо делить на длину , где собственные числа тензора U. В итоге получаем значения собственных чисел для тензора : . Для нахождения рассмотрим

.

Единичный тензор всегда можно представить в форме  через три взаимно ортогональных единичных вектора, где . В базисе этих векторов имеем:

Учитывая, что  деформационный градиент имеет вид:

 

         Из линейной алгебры известно, что собственные числа матрица  являются корнями уравнения   и только они. Значит, соответствующие этой матрице компонент собственные числа:

, ,

Откуда:

, , .

Таким образом, задает эллипсоид с полуосями

, , . 

Заметим, что  при первой же деформации сдвига из сферы получается эллипсоид общего вида, не эллипсоид вращения (все оси у эллипсоида получаются различными), и при последующих сдвигах получение эллипсоида вращения маловероятно.

При последующих  деформациях следует принимать  за начальные данные полуоси, получившиеся на предыдущем шаге, учитывая, что деформационный градиент остается тем же, а конкретный вид эллипсоида как раз таки задают его новые полуоси.

Заключение

 

В результате проделанной  работы были получены следующие результаты: рассмотрена тщательно деформация простого сдвига для шара и выведены общие формулы для многократного накладывания деформаций простого сдвига друг на друга. Можно сказать, что физическая модель почти соответствует опытным и смоделированным на  ЭВМ установкам, что соответствует адекватности взятой модели. Данная задача подходит для связи шар-шар, так и для связи  шар-стенка. Продуктами на выходе в планетарной мельнице при механическом легировании являются  частицы порошка, имеющие чуть продолговатую форму. Следовательно, можно предположить, что нужно учитывать не только холодную и горячую сварку, а ещё и растрескивание порошка, поочередно. Возможно в этом случае, частицы, полученные физико-математическим аппаратом совместно с аппаратом механики сплошных сред, будут достаточно приближены к реальным результатам, проделанным на  существующих установках.

Приложение 1.

Приложение 2.

Приложение 3.