Задача оптимального проектирования бруса прямоугольного сечения

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ БРУСА

ПРЯМОУГОЛЬНОГО  СЕЧЕНИЯ

 Данный вопрос можно рассматривать  как установившеюся связь между  рациональным подходом древних строителей и возможностями оптимального проектирования. В строительной практике приходилось вытесывать прямоугольные балки из круглых бревен, при этом ширина и высота балки могли быть сделаны производно.

Среди прямоугольных сечений, которые можно вписать в контур бревна, существует такое, для которого величина сопротивляемости изгибу (то есть момент сопротивления) будет наибольшей. Эта задача известна как задача Парана (1666-1716 гг.), французского математика, внесшего большой вклад в теории изгиба балки. Решение дается в следующей форме. Следует разделить диаметр на три части и восстановить перпендикуляры EC и AP, образовавшийся прямоугольник ABCD представляет собой искомое сечение балки, в котором AB=h – высота, AD=b – ширина. Тогда на основании известного соотношения для прямоугольного треугольника BC²=BD·BE получаем, что b=d/.

Решим эту задачу с использованием дифференциального исчисления, т.е. как оптимальную:

Момент сопротивления  вписанного прямоугольника относительно оси будет равен:

Для отыскания максимума  возьмем первую производную и приравняем ее к нулю:

Откуда b=d/.

Получился тот же результат.