Температурный расчет плоской стенки

Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего профессионального образования 

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

 

 

 

Кафедра гидротехнических сооружений

 

 

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА

Температурный расчет плоской стенки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил, студент  V курса гр.287:       Момотов Е.С.

 

 

Руководитель:          Соболь И.С.

 

 

 

 

 

Нижний  Новгород – 2012 г.

 

1. Цель работы

Цель  работы – знакомство с методикой  расчёта нестационарного температурного режима при передаче тепла теплопроводностью  на примере охлаждения стенки (одномерная задача).

Плоская стенка часто встречается в виде элемента гидротехнического сооружения.

2. Исходные данные

Исходные  данные для расчёта:

– толщина стенки 2δ=1,8 м (стенка бесконечна в направлении высоты и ширины);

– коэффициент температуропроводности материала стенки: а=0,00163 м²/ч;

– температура  стенки в начальные момент времени: υ_нач= + 11⁰С.

– температура  ограничивающей поверхности стенки охлаждаются до температуры: υ_пов= + 1⁰С.

Требуется:

 – произвести  расчёт температурного режима  стенки в процессе её охлаждения  методом конечных разностей;

– проанализировать аналитическое решение;

– сопоставить  результаты аналитического решения  и расчёта, выполненного методом  конечных разностей.

3. Математическое описание  процесса теплопроводности

Процесс теплопроводности в стенке описывается  дифференциальным уравнением Фурье:

,      (1)

Где: t≥0, -δ≤x≤ δ

Краевые условия имеют вид:

υ(х,0)=f(x)=υ_нач=+11⁰=const;

υ(+δ,t)=υ_пов=+1⁰= const,     (2)

 υ(-δ,t)=υ_пов=+1⁰= const

из которых первое является начальным , второе и третье – граничными.

В формулах (1) и (2): х – координата, м; υ – температура, град; t – время, часы (с).

4. Расчёт температурного  режима стенки методом конечных разностей

Решение уравнения Фурье в конечных разностях

Решение уравнения Фурье в конечных разностях имеет вид:

     (3)

При условии:

      (4)

Где: Δl (или Δх) – толщина элемента, на которые разделяется стенка, м;  
Δt – элементарный отрезок времени, час (с); υ’ – температура среднего элемента в будущий момент времени t+Δt; υ₁ и υ₂ – температуры двух соседних с ним элементов в настоящий момент t.

 

Порядок расчёта:

Расчёт  температуры выполняется графически на рис.1 с использованием приёма Э. Шмидта. Порядок расчёта следующий:

1. Стенка  разделяется по толщине на  элементы.

Элементов 8, каждый из них имеет толщину Δl=0,225 м.

2. Назначается  интервал времени по зависимости  (4):

Δt₁=(Δl₁)²/2а=0,225²/2·0,00163=15,53 часа (55905 с).

3. Строятся  температурные профили υ=f(x,t) на моменты времени t₁=Δt₁,

t₂=2Δt₁, ... , t₁₂=12Δt₁.

4. Выполняется  переход к более крупному интервалу  времени  Δt₂: стенка разбивается по толщине на четыре элемента с Δl₂=0,4 м; тогда

Δt₂=(Δl₂)²/2а=0,45²/2·0,00163=62,11час. (172455 с).

5. С интервалом  времени Δt₂ строятся температурные профили

t₉=8Δt₁+Δt₂; t₁₀=8Δt₁+2Δt₂ и т.д. до окончания охлаждения стенки (рис.1)

Таким образом, на рис.1 построены температурные  профили на различные моменты  времени t в координатах х(м) и  υ(⁰С); с помощью этих профилей прослеживается весь процесс охлаждения стенки от υ_нач=+11⁰С до υ_пов=+1⁰С.

 

Представление результатов отчёта в относительных величинах

Решение, полученное на рис.1,можно представить  в относительных величинах.

Относительная температура равна:

,    0 ≤ U ≤ 1.                                                                             (5)

υ	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
U	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1

 

Относительная координата:

,  0 ≤  ≤ 1.                                                                                         (6)

х	0.2	0.4	0.6	0.8
	0.25	0.50	0.75	1

 

Безразмерное  время выражается:

На шкалы  рис.1 наносят значения U и ; температурные профили маркируются числами Фурье. Т.о. решение представлено в относительных величинах. Это решение является универсальным, т.е. пригодно для стенки любой толщины и из любого материала.

t0	0	F0	0
t1	11.98	F1	0.03
t2	23.96	F2	0.06
t3	35.94	F3	0.09
t4	47.92	F4	0.13
t5	59.90	F5	0.16
t6	71.88	F6	0.19
t7	83.86	F7	0.22
t8	95.84	F8	0.25
t9	143.74	F9	0.38
t10	191.64	F10	0.50
t11	239.54	F11	0.63
t12	287.44	F12	0.75
t∞	∞	F∞	∞

 

Рис.1 Расчёт температурного режима стенки методом 

конечных разностей

 

5. Аналитическое решение

Разобранная задача имеет аналитическое решение. Результаты его решения даны на рис.2 в относительных величинах координат  , температуры U и времени F₀.

Рис.2 Кривые распределения относительной температуры

U в стенке в результате точного аналитического решения

 

6. Сравнение результатов аналитического и

графического решений

Для сравнения  на рис.1 и рис.2 выбираются несколько  температурных профилей, соответствующих определённым моментам времени, например:

t₂ = 23,96 часа    (F₀ = 0,06)

t₈ = 95,84часа    (F₀ = 0,25)

t₁₀ = 191,64часа    (F₀ = 0,5)

Сравнение выполнено  на рис.3. Наибольшее расхождение в  значениях относительной температуры около ∆U=0,1 или а процентах 10%

 

Рис.3 Сравнение аналитического и  графического решений

1 – аналитическое решение;

2 – графическое решение

 

7. Выводы

1. Расчётом, выполненным методом конечных разностей, прослежен процесс охлаждения плоской стенки от 12⁰ до 2⁰; этот процесс завершается примерно через 300 часов (287,44 часа).
2. Сравнение результатов аналитического и графического решения показывает, что расхождение в значениях температуры U  невелики (около 10%); этим подтверждается возможность использования графического решения (рис. 1) в инженерных целях.

 

 

 

 

 

 

Использованная литература

1. С.В. Соболь, Е.Н. Горохов, И.С. Соболь, А.Н. Ежков Температурные расчёты сооружений и водохранилищ гидроузлов: Учебное пособие – г. Нижний Новгород.: ННГАСУ, 2008 – 145с.