Расчет неразрезных балок

 

ЗАДАЧА 3 РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНОЙ БАЛКИ С ПОМОЩЬЮ

 УРАВНЕНИЙ  ТРЕХ МОМЕНТОВ.

       Построить эпюру изгибающих моментов M с помощью уравнений трех моментов в заданной неразрезной балке. Построить эпюру поперечных сил Q. Выполнить необходимые проверки эпюр.

Дано: трехпролетная неразрезная балка  с консолью  (рисунок 2).

P₁ = 10 кН, P₂ = 20 кН и распределенных нагрузок q₁ = 5 кН/м,

пролеты балки l₁ = 2 м, l₂ = 3 м, l₃ = 3 м, вылет консоли c = 0,8 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение количества неизвестных 

Для обеспечения неподвижности стержня в плоскости требуются три

опорных  стержня,  поэтому  количество  лишних  связей  неразрезной  балки 

меньше  числа  ее  опорных  стержней  на  три  единицы.  Если  балка  имеет  n

пролетов,  то  при шарнирном  опирании  обоих  концов  количество  лишних

связей (а, следовательно, и неизвестных) равно (n – 1), при жесткой  заделке 

одного конца  оно равно n, при заделке двух концов оно равно (n + 1).

Выбор основной системы 

Основную  систему  необходимо  выбирать  таким  образом,  чтобы,  канонические  уравнения получились  более простыми.  Для этого в заданной системе удалим связи, препятствующие взаимному повороту смежных сечений балки над ее опорами, т. е. введем шарнир над каждой промежуточной опорой. Искомыми в этом случае будут являться изгибающие моменты, возникающие в сечениях неразрезной балки над опорами. Традиционно в канонических уравнениях неизвестные обозначались X_i, однако для большей наглядности  обозначим  неизвестные  через M_i.  Так как мы  не  знаем заранее, какие из этих моментов вызывают растяжение в нижних волокнах, а какие в верхних, то будем считать, что все они растягивают нижние волокна  (если

на самом  деле тот или иной момент растягивает  верхние волокна, то мы получим для  него отрицательное значение).

Заданную балку  перед расчетом необходимо привести к первому типу, т. е. к балке  с крайними шарнирными опорами без  консолей. Для этого необходимо отбросить  консоль и добавить дополнительный пролет вместо заделки.  Опоры  и  соответствующие  опорные  моменты  принято  нумеровать слева направо, присваивая первой опоре номер 0 и далее 1, 2, 3. Пролетам присваивается номер правой опоры.

Для заданной балки  отбросим консоль и перенесем  нагрузку на опору 4.

На опоре 1 заделку представляем в виде дополнительного стержня нулевой

длины бесконечно большой жесткости. При этом появляется новый пролет l₀

и шарнирно неподвижная опора 0 (рисунок 2). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Врезаем шарниры  в  надопорные  сечения  балки  и  прикладываем  моменты М₀, М₁, М₂, М₃, М₄.

Два момента можно сразу определить:

 

Вертикальная  силовая  составляющая  от  нагрузки  на  консоли  полностью воспринимается опорой 4, поэтому в дальнейшем учитываться  не будет.

Составление системы  канонических уравнений метода сил 

(уравнений трех  моментов)

Момент  инерции  J₀  на  протяжении  каждого пролета постоянен,  но имеет в различных пролетах l_i различные значения J_i. В этом случае уравнение трех моментов для i-й опоры имеет вид:

где M_i – неизвестный момент на i-й опоре;

 

-приведенная длинна i-го участка;

-грузовое перемещение  по направлению i-го момента  от действия внешней нагрузки.

 Заданная  система имеет три неизвестных,  поэтому составим уравнения трех моментов для опор 1, 2 и 3, приняв J₀ = J. 

При составлении  уравнений необходимо строго придерживаться определенной схемы. На рисунке 3 римскими цифрами показан порядок  составления уравнений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление  коэффициентов уравнений трех моментов

Определим приведенные  длины пролетов:

Для вычисления грузовых перемещений необходимо построить грузовую эпюру M_p от действия внешней нагрузки и вычислить ее площади в каждом пролете: Ω₁, Ω₂, Ω₃ (рисунок 4). 

Несмотря на то, что нагрузка на консоли является внешней, мы ее уже 

учли  при  составлении  канонических  уравнений  (момент  M₄),  поэтому в

дальнейшем эту нагрузку и консоль при расчете не рассматриваем. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Площади участков эпюры M_p:

Грузовые перемещения  для каждой опоры равны:

 

 

 

 

Решение системы канонических уравнений 

Подставив полученные значения в уравнения трех моментов, получим:

Или:

Выразив момент M₁ из первого уравнения и M₃ из третьего и подставив во второе, имеем:

Окончательно  получаем:

Делаем  проверку  полученных  решений,  подставив  найденные  значения моментов в исходную систему уравнений.

 

Построение  окончательной эпюры моментов.

В каждом пролете  окончательную эпюру M получаем как  сумму эпюры  опорных  моментов  и  эпюры M_P.  Для этого над опорами откладываем найденные значения моментов M₁, M₂, M₃, а также определенный ранее M₀, соединяем их ординаты прямыми линиями и от них откладываем ординаты эпюры M_P,  т.  е.  как бы  «подвешиваем» их  к линиям  опорных моментов  и совмещаем эпюру опорных моментов  с продольной  осью  балки.  Это  возможно,  так  как  эпюры  имеют  противоположные  знаки.  Окончательную эпюру моментов продлеваем на консоль, используя метод сечений.