Расчет напряженного состояния полосы-балки

 

 

Расчетно-графическая работа №1

по дисциплине:

«Сопротивление материалов (спецкурс) и основы теории упругости и пластичности»

на тему: «Расчет напряженного состояния полосы-балки»

 

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ:

 

Рассматривается полоса-балка узкого прямоугольного профиля (Рис. 1)

длиной L=4м,

высотой h=2м,

толщиной b=1.

 

Объёмными силами пренебрегаем. Задано выражение для функций напряжений:

 

Рис. 1

 

ТРЕБУЕТСЯ:

а) проверить, может ли данная функция  быть принята для решения плоской  задачи теории упругости;

б) пользуясь  соотношениями Эри, найти выражения для напряжений;

в) построить  эпюры напряжений для одного сечения, перпендикулярного оси x (x=2м), и второго – перпендикулярного оси y (y=0.5м);

г) установить граничные воздействия (нормальные и касательные) на полосу, дать их изображения на рисунке полосы-балки и привести соответствующие эпюры.

 

РЕШЕНИЕ:

а). Проверим, удовлетворяет ли заданная функция бигармоническому уравнению

        (а)

Для этого предварительно найдем соответствующие производные:

                        

                        

                            

                         

Подставим найденные значения производных  в уравнение (а)

Заданное выражение для функций  напряжений удовлетворяет исходному  уравнению и может быть принято  для решения плоской задачи теории упругости.

б). Находим выражение для напряжений, пользуясь соотношениями Эри:

              

в). Строим эпюры напряжений, действующих в сечениях x=2м и y=0.5м. Эпюры строятся по характерным точкам, которыми являются граничные, экстремальные и точки перегиба.

Сечение х=2м,

В этом сечении  действуют:

,               ,          

Функция линейна. Для характерных точек находим :

                                                   

Функция  квадратичная парабола. Для характерных точек находим :

                                                     

Точка экстремума находится из условия:

                      

Для определения  точек перегиба необходимо прировнять к нулю вторую производную, которая  для данной функции не имеет смысла. Для более точного построения кривой параболического вида определим дополнительно значения функции в промежуточных точках:

                                         

Функция линейна. Для характерных точек находим :

                                                  

По полученным значениям строим эпюры  , , (Рис. 2)

 

 

 

 

 

Сечение y=0.5м.

             

                  

Функция  имеет форму кубической  параболы. Для характерных точек находим :

         

                                                                                        

                                                                          Точка экстремума находится из условия:

                          Рис. 2                                                  

Точка перегиба находится из условия:

             

Функция  имеет форму кубической  параболы. Для характерных точек находим :

                                       

Точка экстремума находится из условия:

                          

Точка перегиба находится из условия:

                

Функция  квадратичная парабола. Для характерных точек находим :

                                       

Точка экстремума находится из условия:

                      

Для определения точек перегиба необходимо прировнять к нулю вторую производную, которая для данной функции не имеет смысла.

По полученным значениям строим эпюры  , , (Рис. 2)

г). Определяем граничные воздействия (нагрузки) на полосу-балку.

Верхняя грань y=1м.

Вектор нормали  совпадает с осью ОY, то есть параллелен Y.

                      

Получаем:                                   

При :                        

Определяем значения нагрузки для  характерных точек, точек экстремума и перегиба.

                                     

                                              

                                           

Нижняя грань y= – 1м. 

Для нижней грани    ,  

                            

Следовательно, при  :            

Определяем значения нагрузки для  характерных точек, точек экстремума и перегиба.

                                     

                                 

Левая  грань x=0. 

Для левой грани    ,   .

                                

Следовательно, при  :  

      

Как видим, на левой грани отсутствуют  касательные напряжения. Рассчитаем нормальные напряжения:

                                          

Правая  грань x=4. 

Для правой грани    ,   .

                                

Следовательно, при :  

                              

Рассчитаем напряжения в характерных  точках.

                                

                                           

 

По найденным хначения и строим эпюры внешних нагрузок, действующих на полосу. В заключении проверяем закон парности касательных напряжений. Эпюра нормальных усилий и сдвигов показана на (Рис. 3).

 

Рис. 3