Поперечный изгиб

Для балки, показанной на рис. 1, выполнить расчет:

1. Определить опорные реакции.
2. Определить прогибы и углы поворота.
3. Используя универсальное уравнение изогнутой оси балки, построить эпюры прогибов и углов поворота.

 

В расчетах принять:

R^H = 235 MПа – (нормативное сопротивление);

R_S = 140 МПа – (расчетное сопротивление срезу);

Е = 2,10 * 10⁵ МПа – (модуль упругости);

[v] = l – ( допускаемый прогиб, l – пролет балки);

n_q = 1,1; n_F =1,2; n_M = 1,3 – коэффициенты надежности по нагрузке;

γ_M = 1,08 – коэффициент надежности по материалу;

γ = 0,9 коэффициент условия работы.

 

Исходные данные

a (м)	b (м)	c (м)	d (м)	F (кН)	M (кН*м)	q (кН/м)
1,2	2,6	3,4	1,8	45	- 40	42

Рис. 1

 

1. Определяем опорные реакции.

∑М_А = 0, - М – q*c* ( + a) + V_B* (a + c + b) – F*(a + c + b + d) = 0,

V_B = ,

V_B = ,

 

V_B = 108,2 кН;

 

∑М_В = 0, - М + q*c* ( + b) -  V_A* (a + c + b) – F*d = 0,

V_A = ,

V_A = ,

V_A = 79,59 кН;

Проверка:

∑F_y = 0, V_A – q*c + V_B – F = 0;

79,59 – 42*3,4 + 108,2 – 45 = 0;

- 187,8 + 187,8 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

2. Определяем прогибы и углы поворота.

Для определения прогибов и углов поворотов, возникающих  при изгибе балки, воспользуемся  универсальными уравнениями. Начало координат совместим с левым концом балки.  При этом распределенная нагрузка обрывается, не доходя до опоры B. Преобразуем ее. Для этого, не меняя закономерности распределения, продолжим ее до опоры В. Чтобы не изменилось исходное состояние балки, добавим такую же нагрузку, но с обратным знаком. Рис. 2,а

Составляем универсальные  уравнения для заданной балки.

Прогиб и угол поворота в точке B.

J_zy_B = EJ_zy₀ + ЕJ_zφ₀*х_В + +  + ;

J_zφ_B = ЕJ_zφ₀ + М*(х - ) + + – + .

Определяем начальные  параметры из граничных условий:

при х = 0; y_B = 0,

J_zy_B = EJ_zy₀ = 0,

при х = 7,2; y_В = 0,

J_zy_B = ЕJ_zφ₀*7,2  + +  + = 0;

Из полученного уравнения  находим

ЕJ_zφ₀ = - 239,76.

Для построения эпюр прогибов и углов поворота определяем соответствующие ординаты на границах участков.

J_zy_B = EJ_zy₀ = 0;

J_zφ_B = ЕJ_zφ₀ = - 239,76.

 

Прогиб и угол поворота в точке К.

J_zy_К = EJ_zy₀ + ЕJ_zφ₀*х_К  + +  + - + ;

J_zφ_K = ЕJ_zφ₀ + М*(х - ) + + – - + .

при х = 9;

J_zy_К = - 239,76*9  + +  + - + = - 3414,767;

J_zφ_K = - 239,76 - 40*(9 - ) + + – – + = 782, 471.

 

Прогиб и угол поворота в точке С.

J_zy_с = EJ_zy₀ + ЕJ_zφ₀*х_с  + +  -  ;

J_zφ_с = ЕJ_zφ₀ + М*(х - ) + –.

 

 

при х = 4,6;

J_zy_с = - 239,76*4,6 + +  -  = - 468, 792;

J_zφ_с = - 239,76 - 40*(4,6 - ) + – = 693, 43.

3. Строим эпюры прогибов и углов поворота.

Эпюры, построенные по найденным  координатам, показаны на рис. 2,б и рис. 2,в.