Геометрические характеристики плоских сечений

МИНООБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ННГАСУ)

 

ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра теории сооружений и технической механики

Расчётно-графическая работа №1

«Геометрические характеристики плоских сечений»

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил студент гр. 1211:                                          Прохоров А.В.                         

Проверил:                                                                          Кожанов Д.А.                                                 

 

 

 

 

Нижний Новгород-2013 г.

Пример 1. Для заданного поперечного сечения стержня, состоящего из следующих элементов:

1. Вертикального листа - 500×16 мм;
2. Прокатного швеллера №24;
3. Неравнополочного уголка 160×100×14мм.

Необходимо определить:

• положение центра тяжести поперечного сечения (т. С);
• главные центральные оси поперечного сечения;
• главные центральные моменты инерции поперечного сечения;
• главные центральные радиусы инерции сечения.

Р е ш е н и е.

Геометрические характеристики элементов, составляющих заданное сечение:

№ Эл- та	Элементы	Площадь в см2 Аi	Моменты инерции сечения элементов в см4
			Jxi	Jyi	Jxiyi
1.	Вертикальный лист 500×16	А1=80	Jx1=16666,7	Jy1=17	Jxy=0
2.	Прокатный швеллер №24	А2=30,6	Jx2=208	Jy2=2900	Jx2y2=0
3.	уголок 160×100×14	А3=34,72	Jx3=271,6	Jy2=897,2	Jx3y3=282

 

1. Общая площадь составного сечения:

А= ∑ Аi = 80+30,6+34,72=145,32 см2.

2. Статические моменты заданного сечения относительно осей xi и yi:

Sx= ∑ Ai·yi=13,57*80+0-4,85*30,6=937,2 см3

Sy= ∑ Ai·xi= -19,4*80+0-6,6*30,6=-1753,96 см3

3. Координаты центра тяжести составного сечения:

Xc= ==-12 cм

Yc=  = =6,45 см

4. Координаты центра тяжести элементов сечения относительно осей x и y:

Точка С1: а1= 7,12см                b1= -7,4см

Точка С2: а2= -6,45см               b2= 12см

Точка С3: а3= -11,3см                  b3= 5,4см  

 

5. Моменты инерции сечения относительно осей x и y:

Jx=∑(Jxi+ai2Ai)=(16666,7+80· (7,12)2 )+( 271,6+(-6,45)2 ·34,72)+( 208+(-11,3)2 ·30,6)=26553,6 см4

Jy=∑(Jx1+b12A1) =(17+(-7,4)2 ·80)+(897,2+(12)2 ·34,72) +(2900 +(5,4)2 ·30,6)=14087см4    

Jxy=∑(Jxiyi+aibiAi) =(0+7,12 ·(-7,4) ·80)+(282+(-6,45)·12·34,72)+(0+(-11,3)·5,4·30,6) =-8487,58см4 

 

6. Главные центральные моменты инерции заданного сечения:

Jmax/min=± 1/2 

Jmax= J1=30886,4 см4 

Jmin= J2=9754,2 см4 

Проверка: Jx+ Jy=26553,6+14087=40640,6 см4 

    J1+ J2=30886,4+9754,2=40640,6 см4 

7. Углы наклона главных центральных осей инерции сечения:

tgαmax==0,5052        αmax=26,8°

tgαmin==-1,9589                αmin=-62,96°

Проверка: |αmax|+ |αmin|= |26,8°|+ |-62,96°|=89,76°

8. Главные центральные радиусы инерции:

imax= =14,58 см          imin==8,19 см 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Для заданного поперечного сечения стержня, состоящего из следующих фигур:

1. прямоугольника 20×10 см;
2. прямоугольника 30×15 см;
3. треугольного отверстия b=30см h=15 см;

          

Необходимо определить:

• положение центра тяжести поперечного сечения (т. С);
• главные центральные оси поперечного сечения;
• главные центральные моменты инерции поперечного сечения;
• моменты сопротивления сечения.

Р е ш е н и е.

Вычисление геометрические характеристик фигур, составляющих заданное сечение, выполнено и представлено в таблице.

№ Эл-та	Элементы	Площадь в см2 Аi	Моменты инерции сечения элементов в см4
			Jxi	Jyi	Jxiyi
1.	прямоугольник 20×10	А1=200	Jx1=1666,7	Jy1=6666,7	Jxy=0
2.	Прямоугольник 30×15	А2=450	Jx2=8437,5	Jy2=33750	Jx2y2=0
3.	Треугольное Отверстие 30, 15	А3=225	Jx3=2812,5	Jy3=8437,5	Jx3y3=0

 

1. Определим общую площадь заданного сечения:

А=А1+А2-А3=200+450-225=425 см2

2. Определим статический момент сечения относительно оси x:

Sxc=y1A1+ y2A2- y3A3 =0+0-0= 0 см3

3. Определим координаты центра тяжести заданного сечения. Поскольку заданное сечение имеет ось симметрии (ось y), то центр тяжести расположится на этой оси, поэтому необходимо определить только координату yc.

yc= =4125/425= 9,7см.

4. Через полученный центр тяжести проведем горизонтальную ось xc.
5. Вычислим главные центральные моменты инерции сечения:

Jx=(Jx1+a12A1)+(Jx2+a22A2)-(Jx3+a32A3)=(1666,7+5,32·200)+(8437,5+7,22·450)-(2812,5+9,72·225)=15067,45 см4 

Jy=Jy1+ Jy2-Jy3=6666,7+33750-8437,5=31979,2 см4     Jxy= Jx1y1+ Jx2y2- Jx3y3=0

Из полученного решения следует:

Jmax=J1=Jy=31979.2 см4       Jmin=J2=Jx=15067,45 см4

 

6. Вычислим осевые моменты сопротивления сечения:

 WX(1)== =1462,86cм3

 WX(2)===1314,42см3

 WY===2132см3