Взаимосвязанные признаки и графики связи

Целью выполнения данного Задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи, оценка тесноты и силы связи.

Факторный и результативный признаки либо задаются в условии  задания, либо определяются путем проведения предварительного теоретического анализа. Лишь после того, как выяснена экономическая сущность явления и определены факторный и результативный признаки, приступают к проведению корреляционного анализа данных.

По условию Задания 2 факторным  является признак цена на первичном  рынке жилья (X), результативным – признак среднемесячная прибыль (Y).

Применение метода аналитической  группировки

При использовании  метода аналитической группировки  строится интервальный ряд распределения  единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную  таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между  факторным признаком Х – Ценой на первичном рынке жилья и результативным признаком Y – Среднемесячной прибыль.

Групповые средние  значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8.

Таблица 8

Зависимость суммы прибыли  банков от цены на первичном рынке жилья

Номер группы	Группы цен  на первичном рынке жилья, тыс. руб./ м2, х	Число организаций, fj	Среднемесячная прибыль, млн руб.
			всего	в среднем на одну организацию,
1	2	3	4	5=4:3
1	20,6 – 23,5	6	0,45	0,075
2	23,5 – 26,4	9	1,8	0,2
3	26,4 – 29,3	8	3,57	0,45
4	29,3 – 32,2	4	4,5	1,125
5	32,2 – 35,2	3	3,08	1,03
	Итого	30	13,4	2,88

 

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением цены на первичном рынке жилья от группы к группе систематически возрастает и средняя прибыль по каждой группе организация, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

Измерение тесноты и силы корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического  корреляционного отношения

Для измерения  тесноты и силы связи между  факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический  коэффициент детерминации оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

,          (9)

где  – общая дисперсия признака Y,

        – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

,         (10)

где  y_i – индивидуальные значения результативного признака;

        – общая средняя значений результативного признака;

         n – число единиц совокупности.

Общая средняя  вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

               (11)

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

Для вычисления удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет  по формуле (11):

 тыс. руб./ м²

Для расчета общей дисперсии 

применяется вспомогательная

Таблица 12.

Номер банка п/п	Прибыль, млн руб.
1	2	3	4	5
1	0,81	0,36	0,13	0,66
2	0,71	0,26	0,068	0,50
3	0,42	-0,03	0,0009	0,18
4	0,70	0,25	0,063	0,49
5	0,19	-0,26	0,068	0,036
6	0,43	-0,02	0,0004	0,18
7	0,40	-0,05	0,0025	0,16
8	0,42	-0,03	0,0009	0,18
9	0,27	-0,18	0,032	0,073
10	0,46	0,01	0,0001	0,21
11	0,43	-0,02	0,0004	0,18
12	0,34	-0,11	0,012	0,12
13	0,32	-0,13	0,012	0,102
14	0,50	0,05	0,0025	0,25
15	0,11	-0,34	0,116	0,012
16	0,55	0,1	0,01	0,303
17	0,44	-0,01	0,0001	0,19
18	0,61	0,16	0,026	0,37
19	0,25	-0,2	0,04	0,063
20	0,28	-0,17	0,029	0,078
21	0,36	-0,09	0,0081	0,13
22	0,70	0,25	0,06	0,49
23	0,33	-0,12	0,0144	0,11
24	0,68	0,23	0,053	0,46
25	0,56	0,11	0,012	0,31
26	0,47	0,02	0,0004	0,22
27	0,24	-0,21	0,044	0,06
28	0,86	0,41	0,17	0,74
29	0,41	-0,04	0,0016	0,17
30	0,15	-0,3	0,09	0,023
Итого	13,4	-0,1	1,0673	7,05

Расчет общей дисперсии по формуле (10):

Общая дисперсия может  быть также рассчитана по формуле

,

где – средняя из квадратов значений результативного признака,

      – квадрат средней величины значений результативного признака.

Для демонстрационного примера 

Тогда

Межгрупповая  дисперсия измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

,                (13)

где     –групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для  расчета  межгрупповой  дисперсии  строится  вспомогательная таблица 13 При этом используются  групповые средние значения из табл. 8 (графа 5).

Таблица 13

Вспомогательная таблица  для расчета межгрупповой дисперсии

Группы банков по размеру  кредитных вложений, млн руб.	Число банков,	Среднее значение в группе
1	2	3	4	5
20,6 – 23,5	6	0,075	-0,375	0,844
23,5 – 26,4	9	0,2	-0,25	0,563
26,4 – 29,3	8	0,45	0	0
29,3 – 32,2	4	1,125	0,675	1,82
32,2 – 35,2	3	1,03	0,58	1,009
Итого	30			4,236

Расчет межгрупповой дисперсии по формуле (11):

Расчет эмпирического  коэффициента детерминации по формуле (9):

  

^{или 43,8%}

Вывод. 43,8% вариации среднемесячная прибыль организаций обусловлено вариацией ценой на первичном рынке жилья, а 56,2 % – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое  корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

                          (14)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 14):

Таблица 14

Шкала Чэддока

h	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Расчет эмпирического  корреляционного отношения  по формуле (14):

 

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между объемом кредитных вложений и суммой прибыли банков является тесной.

Оценим статистическую значимость коэффициента детерминации .

Показатели  и рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли иметь воздействии какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи , несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте и силе связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

Проверка выборочных показателей на их не случайность осуществляется в статистике с помощью тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации  служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле

,

где  n – число единиц выборочной совокупности,

    m – количество групп,

       – межгрупповая дисперсия,

      – дисперсия j-ой группы (j=1,2,…,m),

       – средняя арифметическая групповых дисперсий.

Величина  рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:

,

где – общая дисперсия.

Для проверки значимости показателя рассчитанное значение F-критерия F_расч сравнивается с табличным F_табл для принятого уровня значимости и параметров k1, k2, зависящих от величин n и m : k₁=m-1, k₂=n-m. Величина F_табл для значений , k_1, k₂ определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия  для различных комбинаций  значений  , k_1, k₂. Уровень значимости в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

Если F_расч>F_табл , коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков,  сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.

Если F_расч<F_табл, то показатель считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.

Фрагмент таблицы Фишера критических величин F-критерия для значений =0,05; k₁=3,4,5; k₂=24-35 представлен ниже:

 

	k2
k1	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
3	3,01	2,99	2,98	2,96	2,95	2,93	2,92	2,91	2,90	2,89	2,88	2,87
4	2,78	2,76	2,74	2,73	2,71	2,70	2,69	2,68	2,67	2,66	2,65	2,64
5	2,62	2,60	2,59	2,57	2,56	2,55	2,53	2,52	2,51	2,50	2,49	2,48