Введение в математическую статистику. Выборочный метод

министерство образования и  науки российской федерации

ФГБОУ ВПО Тольяттинский государственный университет

 

Заочная форма обучения

с использованием дистанционных  образовательных технологий

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа 1

 

по дисциплине «Математическая статистика»

 

тема «Введение в математическую статистику. Выборочный метод»

 

Вариант № 5

 

 

 

 

 

 

Студент Галкина Г.В.

 

Группа   ЮРз-0832ДО

 

Преподаватель Колачева Н.В.

 

 

 

«03» апреля 2013г.

             

 

 

 

 

 

 

 

Тольятти 2013

Задание 1. Дана выборка количества вызовов наряда милиции за 20 дней. По данным выборки:

1. Составить вариационный ряд.
2. Составить негруппированный статистический ряд.
3. Найти эмпирическую функцию распределения.

Вариант	Выборка
5	1 0 2 0 0 2 1 0 2 3 3 1 0 3 2 2 1 4 3 2

Решение. Объем выборки n = 20. Упорядочив элементы выборки по величине, получим вариационный ряд

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4.

Размах выборки w = 4 – 0 = 4.

Различными в заданной выборке являются элементы z₁ = 0, z₂ = 1, z₃ = 2, z₄ = 3, z₅ = 4; их частоты соответственно равны n₁ = 5, n₂ = 4, n₃ = 6, n₄ = 4, n₅ = 1. Следовательно, статистический ряд исходной выборки можно записать в виде следующей таблицы:

Таблица 1

zi	0	1	2	3	4
ni	5	4	6	4	1

Найдем эмпирическую функцию распределения по формуле (1).

Объем выборки составляет n = 20. Наименьшая варианта равна 0, поэтому F(z) = 0 при z ≤ 0.

Значение Z < 1, а именно z₁ = 0, наблюдалось 5 раз, следовательно, F(z)=5/20≈0,25 при 0< z ≤1.

Значения Z < 2, а именно z₁ = 0 и z₂ = 1, наблюдались 5+4=9 раз, следовательно, F(z)=9/20≈0,45 при 1< z ≤2.

Значения Z < 3 (z₁ = 0, z₂ = 1, z₃ = 3), наблюдались 5+4+6=15 раз, F(z)=15/20≈0,75 при 2< z ≤3.

Значения Z < 4 (z₁ = 0, z₂ = 1, z₃ = 2, z₄ = 3), наблюдались 5+4+6+4=19 раз, F(z)=19/20≈0,95 при 3< z ≤4.

Так как F(z)=4 – наибольшая варианта, то F(z)=1 при z  > 4.

Запишем искомую эмпирическую функцию:

	0	при z≤0
	0,25	при 0<z≤1
F(z)=	0,45	при 1<z≤2
	0,75	при 2<z≤3
	0,95	при 3<z≤4
	1	при z>4

 

Задание 2. Дана выборка числа зарегистрированных правонарушений за последние 30 дней. По данным выборки:

1. Составить статистический ряд.
2. Построить гистограмму, полигон, кумулятивную кривую.

Вариант	Выборка
5	72 74 69 71 73 68 73 77 76 77 76 76 76 64 65 75 70 75 71 69 72 69 78 72 67 72 81 75 72 69

Решение. Размах выборки w=81–64=17. Длина интервала группировки b = 17/30 ≈ 0,57. В качестве первого интервала удобно взять интервал 64 – 64,56. Результаты группировки сведены в таблицу.

Таблица 2

Номер интер- вала i	Границы интер- вала	Сере- дина интер- вала zi	Часто- та  попа- дания в i-й интервал ni	Накоплен- ная часто- та	Относи- тельная частота wi=ni/n	Накопленная относитель- ная частота
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30	64 - 64,57 64,57- 65,14 65,14 - 65,71 65,71- 66,28 66,28 - 66,85 66,85 - 67,42 67,42 - 67,99 67,99 - 68,56 68,56 - 69,13 69,13 - 67,7 69,7 - 70,27 70,27 - 70,84 70,84 - 71,41 71,41 - 71,98 71,98 - 72,55 72,55 - 73,12 73,12 - 73,69 73,69 - 74,26 74,26 - 74,83 74,83 - 75,4 75,4 - 75,97 75,97 - 76,54 76,54 - 77,11 77,11 - 77,68 77,68 - 78,25 78,25 - 78,82 78,82 - 79,39 79,39 - 79,96 79,96 - 80,53 80,53 - 81,1	64,285 64,855 65,425 65,995 66,565 67,135 67,705 68,275 68,845 69,415 69,985 70,555 71,125 71,695 72,265 72,835 73,405 73,975 74,545 75,115 75,685 76,255 76,825 77,395 77,965 78,535 79,105 79,675 80,245 80,815	1 1 0 0 0 1 0 1 0 4 1 0 2 0 5 2 0 1 0 3 0 4 2 0 1 0 0 0 0 1	1 2 2 2 2 3 3 4 4 8 9 9 11 11 16 18 18 19 19 22 22 26 28 28 29 29 29 29 29 30	0,033333 0,033333 0 0 0 0,033333 0 0,033333 0 0,133333 0,033333 0 0,066667 0 0,166667 0,066667 0 0,033333 0 0,1 0 0,133333 0,066667 0 0,033333 0 0 0 0 0,033333	0,033333 0,066667 0,066667 0,066667 0,066667 0,1 0,1 0,133333 0,133333 0,266667 0,3 0,3 0,366667 0,366667 0,533333 0,6 0,6 0,633333 0,633333 0,733333 0,733333 0,866667 0,933333 0,933333 0,966667 0,966667 0,966667 0,966667 0,966667 1

По результатам группировки  на основании таблицы строим гистограмму  частот (рис. 1). Соединяя отрезками ломаной  середины верхних оснований прямоугольников, из которых состоит полученная гистограмма, получаем соответствующий полигон частот (рис. 2). Взяв вместо частот накопленные частоты, получим кумуляту (рис. 3).

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3