Статистические методы прогнозирования социально-экономических явлений

Общепризнанные методы прогнозирования временных рядов:

1. Эконометрические
2. Регрессионные
3. Методы Бокса-Дженкинса (ARIMA, ARMA)

 

2.1. Методы прогнозирования, основанные на сглаживании,

экспоненциальном сглаживании и скользящем среднем

 

2.1.1. «Наивные» модели  прогнозирования

При создании «наивных» моделей предполагается, что некоторый последний период прогнозируемого временного ряда лучше всего описывает будущее этого прогнозируемого ряда, поэтому в этих моделях прогноз, как правило, является очень простой функцией от значений прогнозируемой переменной в недалеком прошлом.

Самой простой моделью является

Y(t+1)=Y(t),

что соответствует предположению, что «завтра будет как сегодня».

Вне всякого сомнения, от такой примитивной модели не стоит ждать большой точности [9]. Она не только не учитывает механизмы, определяющие прогнозируемые данные (этот серьезный недостаток вообще свойственен многим статистическим методам прогнозирования), но и не защищена от случайных флуктуаций, она не учитывает сезонные колебания и тренды. Впрочем, можно строить «наивные» модели несколько по-другому

 

Y(t+1)=Y(t)+[Y(t)-Y(t-1)],

 

Y(t+1)=Y(t)*[Y(t)/Y(t-1)],

 

такими способами мы пытаемся приспособить модель к возможным трендам

 

Y(t+1)=Y(t-s),

 

это попытка учесть сезонные колебания

 

2.1.2. Средние и скользящие  средние

Самой простой моделью, основанной на простом усреднении является

 

Y(t+1)=(1/(t))*[Y(t)+Y(t-1)+...+Y(1)],

 

и в отличии от самой простой «наивной» модели, которой соответствовал принцип «завтра будет как сегодня», этой модели соответствует принцип «завтра будет как было в среднем за последнее время». Такая модель, конечно более устойчива к флуктуациям, поскольку в ней сглаживаются случайные выбросы относительно среднего. Несмотря на это, этот метод идеологически настолько же примитивен как и «наивные» модели и ему свойственны почти те же самые недостатки [13].

В приведенной выше формуле предполагалось, что ряд усредняется по достаточно длительному интервалу времени. Однако как правило, значения временного ряда из недалекого прошлого лучше описывают прогноз, чем более старые значения этого же ряда. Тогда можно использовать для прогнозирования скользящее среднее

 

Y(t+1)=(1/(T+1))*[Y(t)+Y(t-1)+...+Y(t-T)],

 

Смысл его заключается в том, что модель видит только ближайшее прошлое (на T отсчетов по времени в глубину) и основываясь только на этих данных строит прогноз.

При прогнозировании довольно часто используется метод экспоненциальных средних, который постоянно адаптируется к данным за счет новых значений. Формула, описывающая эту модель записывается как

 

Y(t+1)=a*Y(t)+(1-a)*^Y(t),

 

где Y(t+1) – прогноз на следующий период времени, Y(t) – реальное значение в момент времени t

^Y(t) –  прошлый прогноз на момент  времени t

a – постоянная сглаживания (0<=a<=1))

В этом методе есть внутренний параметр a, который определяет зависимость прогноза от более старых данных, причем влияние данных на прогноз экспоненциально убывает с «возрастом» данных. Зависимость влияния данных на прогноз при разных коэффициентах a приведена на графике.

 

Видно, что при a->1, экспоненциальная модель стремится к самой простой «наивной» модели. При a->0, прогнозируемая величина становится равной предыдущему прогнозу [11].

Если производится прогнозирование с использованием модели экспоненциального сглаживания, обычно на некотором тестовом наборе строятся прогнозы при a=[0.01, 0.02, ..., 0.98, 0.99] и отслеживается, при каком a точность прогнозирования выше. Это значение a затем используется при прогнозировании в дальнейшем.

Хотя описанные выше модели («наивные» алгоритмы, методы, основанные на средних, скользящих средних и экспоненциального сглаживания) используются при бизнес-прогнозировании в не очень сложных ситуациях, например, при прогнозировании продаж на спокойных и устоявшихся западных рынках, мы не рекомендуем использовать эти методы в задачах прогнозирования в виду явной примитивности и неадекватности моделей.

Вместе с этим хотелось бы отметить, что описанные алгоритмы вполне успешно можно использовать как сопутствующие и вспомогательные для предобработки данных в задачах прогнозирования. Например, для прогнозирования продаж в большинстве случаев необходимо проводить декомпозицию временных рядов (т.е. выделять отдельно тренд, сезонную и нерегулярную составляющие) [15]. Одним из методов выделения трендовых составляющих является использование экспоненциального сглаживания.

 

2.1.3. Методы Хольта и Брауна

В середине прошлого века Хольт предложил усовершенствованный метод экспоненциального сглаживания, впоследствии названный его именем. В предложенном алгоритме значения уровня и тренда сглаживаются с помощью экспоненциального сглаживания. Причем параметры сглаживания у них различны.

 

 

Здесь первое уравнение описывает сглаженный ряд общего уровня.

Второе уравнение служит для оценки тренда. Третье уравнение определяет прогноз на p отсчетов по времени вперед.

Постоянные сглаживания в методе Хольта идеологически играют ту же роль, что и постоянная в простом экспоненциальном сглаживании. Подбираются они, например, путем перебора по этим параметрам с каким-то шагом. Можно использовать и менее сложные в смысле количества вычислений алгоритмы. Главное, что всегда можно подобрать такую пару параметров, которая дает большую точность модели на тестовом наборе и затем использовать эту пару параметров при реальном прогнозировании.

Частным случаем метода Хольта является метод Брауна, когда a=ß.

2.1.4. Метод Винтерса

Хотя описанный выше метод Хольта (метод двухпараметрического экспоненциального сглаживания) и не является совсем простым (относительно «наивных» моделей и моделей, основанных на усреднении), он не позволяет учитывать сезонные колебания при прогнозировании. Говоря более аккуратно, этот метод не может их «видеть» в предыстории. Существует расширение метода Хольта до трехпараметрического экспоненциального сглаживания. Этот алгоритм называется методом Винтерса [19]. При этом делается попытка учесть сезонные составляющие в данных. Система уравнений, описывающих метод Винтерса выглядит следующим образом:

 

 

Дробь в первом уравнении служит для исключения сезонности из Y(t). После исключения сезонности алгоритм работает с «чистыми» данными, в которых нет сезонных колебаний. Появляются они уже в самом финальном прогнозе, когда «чистый» прогноз, посчитанный почти по методу Хольта умножается на сезонный коэффициент.

 

2.1.5. Регрессионные методы прогнозирования

Наряду с описанными выше методами, основанными на экспоненциальном сглаживании, уже достаточно долгое время для прогнозирования используются регрессионные алгоритмы. Коротко суть алгоритмов такого класса можно описать так.

Существует прогнозируемая переменная Y (зависимая переменная) и отобранный заранее комплект переменных, от которых она зависит - X1, X2, ..., XN (независимые переменные). Природа независимых переменных может быть различной. Например, если предположить, что Y - уровень спроса на некоторый продукт в следующем месяце, то независимыми переменными могут быть уровень спроса на этот же продукт в прошлый и позапрошлый месяцы, затраты на рекламу, уровень платежеспособности населения, экономическая обстановка, деятельность конкурентов и многое другое [6]. Главное - уметь формализовать все внешние факторы, от которых может зависеть уровень спроса в числовую форму.

Модель множественной регрессии в общем случае описывается выражением

 

 

В более простом варианте линейной регрессионной модели зависимость зависимой переменной от независимых имеет вид:

 

 

Здесь - подбираемые коэффициенты регрессии, e- компонента ошибки. Предполагается, что все ошибки независимы и нормально распределены.

Для построения регрессионных моделей необходимо иметь базу данных наблюдений примерно такого вида [17]:

 

	переменные
	независимые				зависимая
№	X1	X2	...	XN	Y
1	x_11	x_12	...	x_1N	Y_1
2	x_21	x_22	...	x_2N	Y_2
...	...	...	...	...	...
m	x_M1	x_M2	...	x_MN	Y_m

 

С помощью таблицы значений прошлых наблюдений можно подобрать (например, методом наименьших квадратов) коэффициенты регрессии, настроив тем самым модель.

При работе с регрессией надо соблюдать определенную осторожность и обязательно проверить на адекватность найденные модели. Существуют разные способы такой проверки. Обязательным является статистический анализ остатков, тест Дарбина-Уотсона [4]. Полезно, как и в случае с нейронными сетями, иметь независимый набор примеров, на которых можно проверить качество работы модели.

 

2.2. Методы Бокса-Дженкинса (ARIMA)

 

В середине 90-х годов прошлого века был разработан принципиально новый и достаточно мощный класс алгоритмов для прогнозирования временных рядов. Большую часть работы по исследованию методологии и проверке моделей была проведена двумя статистиками, Г.Е.П. Боксом (G.E.P. Box) и Г.М. Дженкинсом (G.M. Jenkins). С тех пор построение подобных моделей и получение на их основе прогнозов иногда называться методами Бокса-Дженкинса. Более подробно иерархию алгоритмов Бокса-Дженкинса мы рассмотрим чуть ниже, пока же отметим, что в это семейство входит несколько алгоритмов, самым известным и используемым из них является алгоритм ARIMA. Он встроен практически в любой специализированный пакет для прогнозирования. В классическом варианте ARIMA не используются независимые переменные. Модели опираются только на информацию, содержащуюся в предыстории прогнозируемых рядов, что ограничивает возможности алгоритма. В настоящее время в научной литературе часто упоминаются варианты моделей ARIMA, позволяющие учитывать независимые переменные. В данном учебнике мы их рассматривать не будем, ограничившись только общеизвестным классическим вариантом. В отличие от рассмотренных ранее методик прогнозирования временных рядов, в методологии ARIMA не предполагается какой-либо четкой модели для прогнозирования данной временной серии. Задается лишь общий класс моделей, описывающих временной ряд и позволяющих как-то выражать текущее значение переменной через ее предыдущие значения. Затем алгоритм, подстраивая внутренние параметры, сам выбирает наиболее подходящую модель прогнозирования. Как уже отмечалось выше, существует целая иерархия моделей Бокса-Дженкинса. Логически ее можно определить так

 

AR(p)+MA(q)->ARMA(p,q)->ARMA(p,q)(P,Q)->ARIMA(p,q,r)(P,Q,R)->...

 

2.2.1. AR(p) -авторегрессионая модель порядка p.

Модель имеет вид:

 

Y(t)=f_0+f_1*Y(t-1)+f_2*Y(t-2)+...+f_p*Y(t-p)+E(t)

 

Где Y(t)-зависимая переменная в момент времени t. f_0, f_1, f_2, ..., f_p - оцениваемые параметры [2]. E(t) - ошибка от влияния переменных, которые не учитываются в данной модели. Задача заключается в том, чтобы определить f_0, f_1, f_2, ..., f_p. Их можно оценить различными способами. Правильнее всего искать их через систему уравнений Юла-Уолкера, для составления этой системы потребуется расчет значений автокорреляционной функции. Можно поступить более простым способом - посчитать их методом наименьших квадратов.

 

2.2.2. MA(q) -модель со скользящим средним порядка q.

Модель имеет вид:

 

Y(t)=m+e(t)-w_1*e(t-1)-w_2*e(t-2)-...-w_p*e(t-p)

 

Где Y(t)-зависимая переменная в момент времени t. w_0, w_1, w_2, ..., w_p - оцениваемые параметры.

 

 

Заключение

 

Прогнозирование - это самостоятельная отрасль науки, которая находит широкое применение во всех сферах человеческой деятельности. Существует большое разнообразие видов и способов прогнозирования, разработанных с учетом характера рассматриваемых задач, целей исследования, состояния информации. Этим вопросам посвящено много книг и журнальных статей. Мы здесь не ставим целью рассказать о теории прогнозирования в целом. Наша задача - показать на примере линейной регрессии применение эконометрических моделей в прогнозировании значений экономических показателей.

В обыденном понимании прогнозирование - это предсказание будущего состояния интересующего нас объекта или явления на основе ретроспективных данных о прошлом и настоящем состояниях при условии наличия причинно-следственной связи между прошлым и будущим. Можно сказать, что прогноз - это догадка, подкрепленная знанием. Поскольку прогностические оценки по сути своей являются приближенными, может возникнуть сомнение относительно его целесообразности вообще. Поэтому основное требование, предъявляемое к любому прогнозу, заключается в том, чтобы в пределах возможного минимизировать погрешности в соответствующих оценках. По сравнению со случайными и интуитивными прогнозами, научно обоснованные и планомерно разрабатываемые прогнозы без сомнения являются более точными и эффективными. Как раз такими являются прогнозы, основанные на использовании методов статистического анализа. Можно утверждать, что из всех способов прогнозирования именно они внушают наибольшее доверие, во-первых, потому что статистические данные служат надежной основой для принятия решений относительно будущего, во-вторых, такие прогнозы вырабатываются и подвергаются тщательной проверке с помощью фундаментальных методов математической статистики.