Статистическая обработка результатов измерений

 

По результатам вычислений можно заметить, что сумма всех значений вероятностей в интервале [6;10] равна ∑p_i = 0,949266. Это указывает на то, что необходимо вычислить дополнительные значения вероятностей слева и справа от заданного интервала [6;10]. Находим интервал, в котором должна находиться плотность вероятности для того, чтобы выполнить условие ∑p_i = 1, для этого выбираем значение Z = 3,29, соответствующее p=0,999:

(Xср – σ * 3,29; Xср + σ * 3,29) = (8,0745 - 1,031108 * 3,29; 8,0745 + 1,031108 * 3,29) = (4,682153; 11,46685)

 

 

 

 

Таблица 4

Xi-1	Xi		Xiср=(Xi-1+Xi)/2			ni	Zi	φ(xi)	Piтеор	niтеор	≈niтеор
4,5	5		4,75				-3,2242	0,00213	0,00107	0,06417706	0
5	5,5		5,25				-2,73929	0,00908	0,00454	0,27247255	0
5,5	6		5,75				-2,25437	0,03048	0,01524	0,91441756	1
6	6,5		6,25			5	-1,76946	0,08085	0,04042	2,42574530	2
6,5	7		6,75			6	-1,28454	0,16955	0,08477	5,08656612	5
7	7,5		7,25			7	-0,79962	0,28103	0,14051	8,43107670	8
7,5	8		7,75			8	-0,31471	0,36821	0,18410	11,0463866	11
8	8,5		8,25			13	0,17020	0,38134	0,19067	11,4402704	11
8,5	9		8,75			8	0,65512	0,31218	0,15609	9,36550486	9
9	9,5		9,25			7	1,14003	0,20201	0,10100	6,06045107	6
9,5	10		9,75			6	1,62495	0,10333	0,05166	3,09997047	3
10	10,5		10,25				2,10986	0,04178	0,02089	1,25339805	1
10,5	11		10,75				2,59478	0,01335	0,00667	0,40058928	0
11	11,5		11,25				3,07969	0,00337	0,00168	0,10120186	0
0,99937		59,9622279

 

Сумма вероятностей всех частичных интервалов [X_i-1; X_i), лежащих в интервале (4,5; 11,5), равна ∑p_i = 0,9994, а сумма всех частот в этом же интервале равна   ∑n^T_i = 59,9622. Это указывает на то, что все вычисления выполнены обоснованно и с достаточной точностью.

 

Из результатов приведённых  в таблице 4следует, что количество теоретических частот в некоторых интервалах меньше пяти. Поэтому для дальнейшего анализа результатов экспериментальных наблюдений,, в соответствии с теоретическими выводами, необходимо те частичные интервалы, где n^T_i  < 5, объединить с соседними так, чтобы для каждого частичного интервала выполнялось условие  n^T_i ≥ 5. Результаты объединения интервалов и теоретических частот, выполненного по данным таблицы 4, приведены ниже:

 

 

Таблица 5

Xi-1	Xi	Xiср=(Xi-1 + Xi)/2	ni	Piтеор	niтеор	(ni-niтеор)^2/niтеор
5	6,5	5,75	5	0,06128	3,676812	0,476180167
6,5	7	6,75	6	0,084776	5,086566	0,164032362
7	7,5	7,25	7	0,140518	8,431077	0,242908541
7,5	8	7,75	8	0,184106	11,04639	0,840136395
8	8,5	8,25	13	0,190671	11,44027	0,212648501
8,5	9	8,75	8	0,156092	9,365505	0,199092687
9	9,5	9,25	7	0,101008	6,060451	0,145657837
9,5	11	10,25	6	0,080919	4,85516	0,269951856
			60	0,99937	59,962231	2,550608345

 

График 1

Теоретическая и экспериментальная  плотности вероятности

 

Расчёт теоретических  частот с помощью функции Лапласа

Таблица 6

Xi-1	Xi	ni	Zi-1= (Xi-1 -Xср)/~σ	Zi=(Xi -Xср)/~σ	Ф Zi -1	Ф Zi	Pi	niT= Pi *N
6	6,5	5	-2,012	-1,527	-0,5	-0,437	0,063381	3,8028484
6,5	7	6	-1,527	-1,042	-0,437	-0,351	0,085306	5,1183545
7	7,5	7	-1,042	-0,557	-0,351	-0,211	0,14002	8,4011884
7,5	8	8	-0,557	-0,072	-0,211	-0,029	0,182494	10,949641
8	8,5	13	-0,072	0,413	-0,029	0,160	0,188873	11,332355
8,5	9	8	0,413	0,898	0,160	0,315	0,155222	9,3132918
9	9,5	7	0,898	1,382	0,315	0,417	0,101295	6,0777078
9,5	10	6	1,382	1,867	0,417	0,5	0,08341	5,0046124
							1	60

 

 

 

Проверка гипотезы о нормальности распределения случайной  величины по критерию Пирсона

Критерием X² – Пирсона определяется мера расхождения имеющихся в нашем распоряжении выборочных данных с высказанной и проверяемой гипотезой о распределении случайной величины X.

Таблица 7

Xi-1	Xi	ni	Piтеор	niтеор	(ni-niтеор)^2/niтеор
-∞	6,5	5	0,06128	3,676812	0,476180167
6,5	7	6	0,084776	5,086566	0,164032362
7	7,5	7	0,140518	8,431077	0,242908541
7,5	8	8	0,184106	11,04639	0,840136395
8	8,5	13	0,190671	11,44027	0,212648501
8,5	9	8	0,156092	9,365505	0,199092687
9	9,5	7	0,101008	6,060451	0,145657837
9,5	+∞	6	0,080919	4,85516	0,269951856
		60	0,99937	59,96223	2,550608345

Результаты вычислений статистики X² приведены в шестом столбце таблицы 7. 

При выбранном уровне значимости α = 0,100 и числе групп k=8 число степеней свободы v=5. По таблице «Пределы X² в зависимости от числа v» находим X²_кр= 9,24.

В результате получаем:

для X²_наб= 2,55, которое мы нашли по результатам вычислений, приведённых в таблице 7,

X²_наб= 2,55 < X²_кр= 9,24.

Нет оснований отвергать  гипотезу о нормальном распределении  случайной величины.

 

Список литературы