Статистическая обработка данных

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

Введение     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     3

Глава 1. Статистическая обработка  данных     .     .     .     .     .     .     .    .     .       4    

1. Постановка задачи. Цель работы. Исходные данные .     .     .     .     .     4
2. Вычисление основных выборочных характеристик по заданной

выборке       .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .    .     .     .     .     .     5

3. Результаты вычисления интервальных оценок для математического

ожидания и дисперсии    .     .     .     .     .     .    .     .     .     .     .     .      .    7

4. Результаты ранжирования выборочных данных и вычисление моды и

медианы         .     .    .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .   10

5. Параметрическая оценка функции плотности распределения    .     .     .   12
6. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной

величины по критерию Пирсона      .     .     .     .     .     .     .     .     .     .    17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Первое и главное: Статистические данные являются важнейшей частью глобальной информационной системы государства.

Многовековая и древняя история статистики (от латинского слова status - «состояние и положение вещей») свидетельствует о крайней важности существования данной науки.

Актуальность работы вызвана тем, что в наше время  важность правильной, рациональной организации  и реализации статистических методов  вошла в повседневный обиход современной жизни. Это неудивительно. Статистика является корреляционной наукой. Она включает в себя разделы как теоретические, так и прикладные (экономическая, социальная, отраслевая статистика). В этой связи статистика представляет собой необходимое звено в системе организации и функционирования, как малого субъекта бизнеса, так и страны в целом.

Курсовая работа состоит из двух глав. Первая глава призвана обеспечить анализ количественной стороны массовых явлений, служит основой для принятия соответствующих управленческих решений. Также в данной главе рассматривается определение функции плотности и построение ее графика, сравнение экспериментальной и теоретической вероятности. Вторая глава раскрывает понятие рынка труда, в ней рассмотрены основные категории трудоспособного и экономически активного населения, рассмотрены коэффициенты, с помощью которых и определяется количественная оценка социальных явления (таких как занятость, безработица).

Целью курсового  проекта является изучение и усвоение основных понятий математической статистики, овладение методикой статистического оценивания числовых характеристик случайной величины и нормального закона распределения, знакомство с методикой применения статистических критериев для проверки гипотез.

 

Глава 1. Статистическая обработка данных

1.1. Постановка задачи. Цель работы. Исходные данные

1) Постановка задачи

По выборке  объёма N провести статистическую обработку результатов эксперимента.

2) Цель работы

Изучить и  усвоить основные понятия математической статистики. Овладеть методикой статистического оценивания числовых характеристик случайной величины и нормального закона распределения. Ознакомиться с методикой применения статистических критериев для проверки гипотез.

3) Исходные данные

Проведен  эксперимент, в результате которого была получена выборка N = 60, которая соответствует случайной величине, распределённой по нормальному закону. Эта выборка изложена в следующей таблице.

Выборка
14,9016	10,7443	7,9914	7,3008	0,6985	10,4378	6,5624	6,5551
7,8505	7,0294	8,9656	-1,2977	4,2431	5,8034	10,7181	8,4763
13,1690	2,4107	8,1896	5,9827	0,1409	7,9197	11,6722	5,0216
7,3753	5,7062	9,2750	13,0976	2,4884	9,0347	5,0416	10,9562
13,0781	6,1542	-0,0798	4,9533	12,5462	6,0147	7,3358	6,3708
7,8689	3,8468	8,5297	9,3215	3,7153	7,0054	6,2812	5,2248
13,9451	6,3246	4,8902	9,2855	4,7837	3,7483	9,8990	10,7906
8,1010	6,3254	6,1970	4,9291

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Вычисление  основных выборочных характеристик  по заданной выборке

 

1. Среднее арифметическое случайной величины Х (N = 60):

= = =7,1974

2) Среднее линейное отклонение:

3) Дисперсия случайной  величины Х:

4) Несмещенная оценка  дисперсии:

5) Среднеквадратическое  отклонение:

 

6) Несмещенная выборочная оценка для среднеквадратического отклонения:

 

7) Коэффициент вариации:

 

 

8) Коэффициент асимметрии случайной  величины Х:

9) Коэффициент эксцесса  случайной величины Х:

10) Вариационный размах:

R = X_max – X_min = 14,9016 – (-1,2977) = 16,1993

 

На основании полученных вычислений можно сделать следующие выводы:

1. необходимое условие для того, чтобы выборка имела нормальный закон распределения, не выполняется, т.к. для коэффициента вариации V не выполняется неравенство:

V = 48,17295 % < 33%

Отсюда следует, что не все выборочные значения случайной величины Х положительны, что мы и видим в исходных данных.

2. для нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса должны быть равны нулю, т.е. As = E = 0.

По результатам вычисления асимметрия близка к нулю и составляет As = -0,06395.

В нашем случае асимметрия положительна, это значит, что «длинная часть» кривой расположена справа от математического ожидания. Коэффициент  эксцесса в отличие от коэффициента асимметрии нельзя считать близким к нулю, так как Е = -0,0708. Он отрицательный, значит, кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая.

В связи с этим необходимы дополнительные исследования для выяснения  степени близости распределения выборки к нормальному распределению.

 

3. Результаты вычисления интервальных оценок для математического ожидания и дисперсии.

Для вычисления интервальной оценки математического ожидания воспользуемся  формулой:

Где а = М[X] – математическое ожидание

N – 1 = V = 59 – число степеней свободы

t_v;p – величина, численно равная половине интервала, в который может попасть случайная величина , имеющая определенный закон распределения при заданной доверительной вероятности Р и заданном числе степеней свободы V.

 

Подставляем в формулу вычисленные ранее значения , и N.

Задаемся доверительной  вероятностью:

Р₁ = 0,95         Р₂ = 0,99

Для каждого значения Р_i (i=1,2) находим по таблице значения t_59;p и вычисляем два варианта интервальных оценок для математического ожидания.

 

При Р₁ = 0,95      t_59;0,95 = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

При Р₂ = 0,99      t_59;0,95 = 2,66

 

 

Для интервальной оценки дисперсии существуют неравенства:

Поставляем в неравенство  известные значения и N, получим неравенство, в котором неизвестны и .

Задаваясь доверительной вероятностью Р_i (или уровнем значимости а) вычисляем значения и . Используем эти два значения и степень свободы V = N – 1 = 59, по таблице находим и .

 = =                         = =

 и  - это границы интервала, в который попадает случайная величина Х, имеющая (хи-квадрат) распределение вероятности Р_i и заданной степени свободы V (V=59).

Для Р₁ = 0,95                       и       

находим по таблице:   = = 40,4817

= = 83,2976

Подставляя в неравенства  и и, вычисляя, получим интервальную оценку.

 

При Р₂ = 0,99                         и       

находим по таблице:   = = 35,5346

= = 91,9517

Поставляя в неравенства  и и, вычисляя, получим интервальную оценку.

Для интервальной оценки среднеквадратического отклонения имеем:

При Р₁ = 0,95

 

При Р₂ = 0,99

 

1.4. Результаты ранжирования выборочных данных и вычисление моды и медианы

Используя исходные данные, записываем все заданные значения выборки  в виде неубывающей последовательности значений случайной величины Х. Данный ранжированный ряд представлен  в таблице 4.1.

Таблица 4.1.

Ранжированный ряд

 

1	-1,2977	11	4,7837	21	6,0147	31	7,0294	41	8,4763	51	10,7443
2	-0,0798	12	4,8902	22	6,1542	32	7,3008	42	8,5297	52	10,7906
3	0,1409	13	4,9291	23	6,1970	33	7,3358	43	8,9656	53	10,9562
4	0,6985	14	4,9533	24	6,2812	34	7,3753	44	9,0347	54	11,6722
5	2,4107	15	5,0216	25	6,3246	35	7,8505	45	9,2750	55	12,5462
6	2,4884	16	5,0416	26	6,3254	36	7,8689	46	9,2855	56	13,0781
7	3,7153	17	5,2248	27	6,3708	37	7,9197	47	9,3215	57	13,0976
8	3,7483	18	5,7062	28	6,5551	38	7,9914	48	9,8990	58	13,1690
9	3,8468	19	5,8034	29	6,5624	39	8,1010	49	10,4378	59	13,9451
10	4,2431	20	5,9827	30	7,0054	40	8,1896	50	10,7181	60	14,9016