Средняя арифметическая и ее свойства

2.Средняя арифметическая и ее свойства.

 
            Средняя  арифметическая - самый распространенный  вид средней величины. Когда речь  идет о средней величине без  указания ее вида, подразумевается  именно средняя арифметическая. Она исчисляется в тех случаях,  когда объем усредняемого признака  образуется как сумма его значений  у отдельных единиц изучаемой  статистической совокупности. Например, общий фонд заработной платы  - это сумма заработных плат  отдельных работников, общее число  рабочих в промышленности - это  сумма их численностей на отдельных  промышленных предприятиях, общий  сбор урожая - сумма урожаев с  каждого гектара площади и  т.д. 
            При исчислении средней арифметической выполняют две операции: 
 суммируют индивидуальные значения признаков 
полученную сумму делят на число значений 
            В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая может быть рассчитана по формуле простой или взвешенной средней. 
Если исходные данные не систематизированы, то применяется формула простой средней арифметической. 
Если исходные данные сгруппированы и представлены весами (частотами), т.е. с числом единиц, имеющих одинаковые значения признака, то среднюю арифметическую исчисляют по формуле взвешенной средней.  
          При расчете средней арифметической взвешенной: 
 необходимо умножить варианты на все ; 
сложить полученные произведения; 
 сложить веса (частоты); 
 сумму произведений вариант на веса разделить на сумму весов. 
          Обычно средняя арифметическая исчисляется по формуле взвешенной средней. Простую среднюю используют только в тех случаях, когда у каждой варианты частота равна единице или если частоты у всех вариант равны друг другу.    
Принято различать три основных приема расчета средней арифметической: 
если статистические данные по индивидуальным значениям признака, полученные из наблюдения не упорядочены, то техника вычисления средней арифметической сводится к суммированию варианта и делению полученной суммы на число вариант варьирующего признака. Используется формула средней арифметической простой. В тех случаях, когда варианта повторяется и это выражено частотами, применяют формулу средней арифметической взвешенной. 
 
         Если исходные данные представлены общей суммой значений варьирующего признака и численностью единиц совокупности то общий объем признака делится на число единиц совокупности. Такого рода данные имеются в периодической статистической отчетности. 
         В этом случае необходимо проверить, соответствует ли объем признака численности единиц совокупности. Ведь объем осредняемых признаков часто являются самостоятельными категориями и показателями (например, фонд заработной платы), которые подсчитываются независимо от расчета средних величин. Поэтому прежде чем исчислить среднюю, необходимо проверить выполнение вышеуказанного требования. 
         Более того можно привести немало примеров, когда каждое отдельное значение признака вовсе не фиксируется по тем или иным причинам. Так, иногда не подсчитывается урожайность на каждом отдельном гектаре площади, занятой той или иной культурой, но средняя для всей площади урожайность является одним из важных показателей продуктивности земледелия; никогда не подсчитывается, сколько валовой продукции произвел тот или иной рабочий. 
Такие средние по способу расчета и по своему аналитическому значению мало отличаются от относительных величин интенсивности.  
          По-видимому, хотя выше говорили о том, что между средними и относительными величинами есть разница, но в то же время средняя - это отношение двух абсолютных величин, т.е. по сути относительная величина. Только средняя эта должна иметь отношение к любой единице совокупности. Относительная величина этим свойством не обладает. 
          Среднюю арифметическую вычисляют на основе вариационных рядов. Для расчета средней в дискретных рядах варианты (значения которых известно) нужно умножить на частоту и сумму произведений разделить на сумму частот. 
          Вариационные ряды могут быть и интервальными. В этом случае для расчета средней полезно вспомнить, что арифметическая средняя как бы распределяет поровну между отдельными единицами совокупности общую величину признака, в действительности варьирующую у каждой из них. 
          Исходя из этого для расчета средней арифметической по интервальному вариационному ряду надо в каждом интервале определить серединное значение [X], после чего произвести взвешивание обычным порядком, т.е. [Xf]. Среднее значение интервала находится как полусумма нижней границы данного интервала и нижней границы следующего интервала. 
 
          Если имеются интервалы с так называемыми открытыми границами, то для расчета средней условно определяют неизвестные границы. Обычно в этих случаях берут значение последующего интервала для первого интервала и предыдущего - для последнего. 
           После того как найдены средние значения интервалов, расчет средней арифметической делают так же, как и в дискретном ряду: варианты (средние значения интервалов) умножаются на частоты (веса), и сумму произведений делят на сумму частот (весов). 
           Частоты при расчете средних арифметических могут быть выражены не только абсолютными величинами, но и относительными величинами - частостями (W). 
Результаты применительно к одинаковым вариантам будут совпадать. 
          Необходимо небольшое пояснение применительно к расчету средней в интервальных рядах распределения. В действительности распределение отдельных вариантов в пределах интервала может оказаться неравномерным. В этом случае середина интервала будет в той или иной степени отличаться от фактической средней по интервалу. Это в свою очередь может повлиять на правильность общей средней, исчисленной по данным интервального ряда. 
           Степень расхождения зависит от ряда причин. Во-первых, от числа вариант, чем больше число вариант, тем вероятнее, что середина интервала будет мало отличаться от групповой средней. Во-вторых, от величины интервала. Если интервал невелик, то ошибка будет незначительной, т.к. групповая средняя будет мало отличаться от середины интервала. В-третьих, от характера распределения. Чем симметричнее распределение, тем ошибка меньше. В-четвертых, размер ошибки зависит от принципа построения интервального ряда. При равных интервалах середина интервала будет ближе к средней по данной группе. При наличии открытых интервалов расхождение, как правило, взрастает из-за условного обозначения неизвестных границ. 
Общая средняя равна средней из частных (групповых) средних, взвешенных по численности соответствующих частей совокупности. 
Это правило имеет большое значение для всей статистики - организации сбора и обработки данных, их анализа. 
Теперь рассмотрим важнейшие свойства средней арифметической: 
          1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты. 
Другими словами, постоянный множитель может быть вынесен за знак средней 
          2. Если от каждой варианты отнять (прибавить) какое-либо произвольное число, то новая средняя уменьшится (увеличится) на то же число: 
 
          3. Если каждую варианту умножить (разделить) на какое-то произвольное число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько раз 
          4. Если все частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится. 
Дело в том, что веса при исчислении средней арифметической выполняют роль удельного веса (соотношений между группами по количеству единиц). Поэтому замена частот частостями не меняет средней. 
          5. Сумма отклонений отдельных вариантов от средней арифметической всегда равняется нулю. 
Перечисленные свойства могут быть использованы для того, чтобы облегчить технику исчисления средней арифметической.

 

 

 

3.Оценка существенности корреляции.

 

 

 

Значение r	Характер связи	Интерпретация связи
r = 0	Отсутствует	Изменение x не влияет на изменения y
0 < r < 1	Прямая	С увеличением x увеличивается y
-1 > r > 0	Обратная	С увеличением x уменьшается y и наоборот
r = 1	Функциональная	Каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного

Значимость линейного  коэффициента корреляции проверяется  на основе t-критерия Стьюдента. Для этого определяется фактическое значение критерия  :

, 

Вычисленное по формулезначение   сравнивается с критическим  , который получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости   и числа степеней свободы ν.

Коэффициент корреляции считается статистически значимым, если tрасч превышает  ( tрасч >  ).

Универсальным показателем  тесноты связи является теоретическое  корреляционное отношение:

 

,

где            – общая дисперсия эмпирических значений y, характеризует вариацию результативного признака за счет всех факторов, включая х;

 – факторная дисперсия теоретических  значений результативного признака, отражает влияние фактора х на вариацию у;

 – остаточная дисперсия эмпирических значений результативного признака, отражает влияние на вариацию у всех остальных факторов кроме х.

По правилу сложения дисперсий:

,т.е. .

Оценка  связи на основе теоретического корреляционного  отношения (шкала Чеддока)

Значение	Характер связи		Значение	Характер связи
η = 0	Отсутствует		0,5 ≤ η < 0,7	Заметная
0 < η < 0,2	Очень слабая		0,7 ≤ η < 0,9	Сильная
0,2 ≤ η < 0,3	Слабая		0,9 ≤ η < 1	Весьма сильная
0,3 ≤ η < 0,5	Умеренная		η = 1	Функциональная

Для линейной зависимости  теоретическое корреляционное отношение  тождественно линейному коэффициенту корреляции, т.е. η = |r|.

Множественный коэффициент  корреляции в случае зависимости  результативного признака от двух факторов вычисляется по формуле:

 

,

где            – парные коэффициенты корреляции между признаками.

Множественный коэффициент  корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен:  .

Значимость коэффициента множественной детерминации, а соответственно и адекватность всей модели и правильность выбора формы связи можно проверить  с помощью критерия Фишера:

, 

 

где          R2 – коэффициент множественной детерминации (R2  );

k – число факторных признаков, включенных в уравнение регрессии.

Связь считается  существенной, еслиFрасч > Fтабл– табличного значения F-критерия для заданного уровня значимостиαи числе степеней свободы

ν1 = k, ν2 = n – k – 1.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень  тесноты связи результативного  признака и фактора, при элиминировании его взаимосвязи с остальными факторами, включенными в анализ. В случае зависимости у от двух факторных признаков частные коэффициенты корреляции рассчитываются:

 

; , 

 

где          r – парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

В первом случае исключено  влияние факторного признака х2, во втором – х1.

Для оценки сравнительной силы влияния факторов, по каждому фактору рассчитывают частные коэффициенты эластичности:  ,

где            – среднее значение соответствующего факторного признака;

 – среднее значение результативного признака;

 – коэффициент регрессии приi-м факторном признаке.

Данный коэффициент  показывает, на сколько процентов  следует ожидать изменения результативного  показателя при изменении фактора  на 1% и неизменном значении других факторов.

Частный коэффициент  детерминации показывает, на сколько  процентов вариация результативного  признака объясняется вариацией i-го признака, входящего в множественное уравнение регрессии, рассчитывается по формуле:

,

где            – парный коэффициент корреляции между результативным и i-м факторным признаком;

– соответствующий стандартизованный коэффициент уравнения множественной регрессии:   .          

 

 

 

4.Показатели численности и состава населения.

 

 

Численность населения  — измеренная количественно его  совокупность, проживающая на определенной территории. Данные о численности получают в настоящее время на основе переписей населения или постоянно ведущихся систем такого рода, как регистры, банки данных, всевозможные списки населения. При всех учетах численность населения определяется на какую-либо дату, момент времени (при переписях — на критический момент). Поэтому получаемые абсолютные данные являются моментным показателем, а их ряды — динамическими рядами численности населения каждого региона На основе данных текущего учета естественного движения населения и миграции можно рассчитать ежегодную численность населения

Существует ряд показателей  для анализа данных о динамике численности населения Здесь  используются структурные показатели, например, сравнение доли населения, проживающего на отдельных территориях, в регионах. Применяются группировки  и индексы- темпы роста и прироста, а при неравных временных интервалах—  среднегодовые темпы роста и  прироста. Без численности населения  невозможно рассчитать относительные  показатели, характеризующие интенсивность и динамику демографических процессов. В этих случаях берется среднегодовая численность населения: средняя арифметическая, средняя геометрическая или средняя хронологическая. Наиболее широко применяется средняя арифметическая, рассчитываемая как полусумма численностей населения на начало и конец периода.

Следует помнить о том, что переписи и регистры основываются на разных категориях населения: первые — на наличном или постоянном, а  вторые, как правило, на юридическом  или постоянном. Поэтому при сопоставлении  данных о численности населения  необходимо точно определить его  категорию. Например, при проведении переписей населения в СССР учитываются  обе наличное и

постоянное, однако разработка данных в последнее время проводится по постоянному населению, которое  принимается за основу при расчетах. Для сопоставимости сведений с полученными  в предыдущих переписях в публикациях приводятся данные и по наличному населению.

При сопоставлении  численности населения по отдельным  регионам за определенный временной промежуток возникает другая методологическая проблема — каким образом учитывать все территориальные изменения и преобразования. Это касается прежде всего изменений границ стран, а внутри них — отдельных территорий, изменений статуса отдельных населенных пунктов, а следовательно, и порядка отнесения их к городскому или сельскому населению.

В советской статистике существует понятие «пересчета численности  населения отдельных территорий в сопоставимых границах». Например, по переписям 1920 и 1926 гг. численность населения СССР считается в границах до 17 сентября 1939 г., а по Всесоюзной переписи 1939 г. — в старых и новых границах: 170,6 млн. человек и 190,7 млн. человек.

Если изменение  государственных границ в странах происходит довольно редко, то границы отдельных территорий меняются чаще. В статистических учреждениях СССР для текущего учета административно-территориальных изменений ведется специальная картотека, состоящая из трех видов: областной (республиканской), районной и городской. Закладывается она после каждой переписи населения и состоит из следующих разделов: численности населения по переписи в границах соответствующих лет и числа административно-территориальных единиц; численности по предыдущим переписям населения, сведений опреобразовании административно-территориальных единиц, а также изменении границ и переименованиях. Разработка такого рода данных представляется в виде статистической отчетности по ежегодным формам: «Отчет об административно-территориальных изменениях районов» и «Число административно-территориальных единиц». Последняя публикуется в статистических ежегодниках и представляет данные по СССР и союзным республикам.

 

61

 

Получение сведений об общей  численности населения по точным переписным данным стало возможным  только со второй половины XIX в.

Изменение численности населения  мира и его отдельных регионов с 1850 г. по настоящее время представлено в табл. 4.1.

Снижение темпов роста  и прироста населения в странах  зарубежной Европы и их значительное повышение в странах зарубежной Азии, Африки и Латинской Америки  после 50-х годов XX в. привело к перераспределению доли лиц, проживающих в этих регионах: в зарубежной, Европе — с 15,5 до 9,7%, а в трех других регионах — с 74,8 до 80,2%.

Численность населения СССР изменялась следующим образом (табл. 4.2).

Среднегодовые темпы  прироста численности населения  за 1917—1940 гг. составили 0,8%, за 1950—1959 п.— 1,7%, за 1959— 1970 гг.—1,3%, за 1970—1988 гг. —0,9%. За весь послевоенный период ежегодные средние темпы прироста численности населения составляли 0,9% и сильно варьировали по союзным республикам: от 0,6% в Латвийской ССР до 2,5% в Таджикской ССР. При невысоких и довольно близких по величине показателях смертности после 50-х годов определяющим в союзных республиках становится уровень рождаемости. Характерный для населения республик Средней Азии высокий уровень рождаемости привел к быстрому увеличению численности населения: в четырех республиках этого региона численность населения в 1989 г. по сравнению с 1950 г. возросла более чем в 3 раза.