Шпаргалка по статистике

1-b = P(H1/H1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

37. Проверка гипотезы о равенстве  генеральных средних при известных  дисперсиях. Признак x и h распределены нормально с известными дисперсиями.

Пусть по выборкам x1, x2, ... , xn объема n, h1, h2, ... , hm объема m, получены выборочные средние значения ( ; ). Выдвигается гипотеза о равенстве генеральных средних: H0: M(x) = M(h); При конкурирующей гипотезе:

H1: M(x) ¹ M(h); В качестве проверки гипотезы выбираем новую СВ ;  

- СВ:

Д(Z)- дисперсия  Д(( - )/s( - )) =

M(Z) = 0; Д(Z) = 1. Для того, чтобы выбрать Zкр. и при заданном уровне значимости a, определить принимается или не принимается основная гипотеза, найти вероятности.

P(0 < Z < Zкр.) + P(Z > Zкр. прав.) = ½ Ф(Zкр.) + a/2 = ½ Ф(Zкр. прав.) = ½ - a/2

Zнабл. =

|Zнабл.| < Zкр.прав. Þ Н0  |Zнабл.| > Zкр.прав. Þ Н0 отвергается.

38. Проверка гипотезы о равенстве  генеральных средних при неизвестных  дисперсиях.  

Пусть x и h нормально распределенные СВ, предполагается, что неизвестны, но равны между собой дисперсии. x1, x2, ... , xn h1, h2, ... , hm

; : Н0: М(x) = М(h)     Н1: М(x) ¹ М(h)

Для проверки гипотезы Н0, вводится СВ t, которая представляет собой

 

Теоретическое обозначение признака; СВ Т распределена по закону Стъюдента, зависит от первого параметра, который называется числом степеней свободы (k).

k = n + m – 2 (по  таблице для распределения Стъюдента  при заданном значении k и уровне  значимости a в зависимости от вида альтернативной и конкурирующей гипотезы, находятся либо односторонние tкр., либо двухсторонние tкр.).

Ткр. прав. = - Ткр. лев.  | Тнабл. | < Ткр. двуст. Þ Н0 | Тнабл. | > Ткр. двуст. Þ Н0 отвергается.

42. Марковские случайные процессы. Размеченный граф состояний.

Предположим, что дана система S. Предп., что состояние  этой сис-мы хар-ся параметрами состояний. Если состояние системы меняется во времени случайно, то говорят, что в сис-ме протекает случайный процесс. Сис-ма —аудитория. Для хар-ки состояния используется параметр—число студентов, тогда эта система с дискретными состояниями. Будем рассматривать системы с дискретными состояниями и непрерывным t: сис-ма мгновенно в произвольные сегменты t скачками меняет состояние. Если параметр t принимает дискретные значения (t=1,2,3,...), то происходит процесс с дискретным временем (случайная последовательность), если же t изменяется на некотором интервале, то процесс с непрерывным временем. Если случайные величины семейства принимают дискретные значения, то имеет место процесс с дискретными значениями, если же непрерывное, то с непрерывными значениями. Предположим, что рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным t. Пусть S1, S2,...,Sn —возможные состояния сис-мы. Для описания процесса, происх. в сис-ме, надо знать вер-ти каждого состояния на произвольный момент t. Р1(t)—вер-ть того, что в момент t сис-ма находится в 1-ом состоянии. Процесс, протекающий в системе, наз. марковским, если для него вероятность попасть в состояние Xi=Si в момент ti зависит не от всего прошлого, а лишь от состояния Xi-1=Si, в котором процесс был в предыдущий момент времени ti-1. Графом называется совокупность вершин и дуг, соединяющих эти вершины. Для описания процесса, протекающего в системе, удобно использовать размеченный граф состояний, в котором в кач-ве вершин исп-ся различные состояния системы, а в кач-ве дуг—стрелки, показ. возможные переходы за 1 шаг из состояния в состояние. При этом над каждой стрелкой указ. Плотность вероятности соответствующего перехода.

43. Система дифф. уравнений Колмогорова  для вероятностей состояний.

Пусть дан марковский случайный процесс. Рi(t)—вер-ти состояний: i=1,n(все с чертой), тогда для Рi(t) выполняется следующее дифференциальное уравнение

d Рi(t)/dt=å( от i<>k,k=1 до n) lki* Рi(t)—å( от j<>1,j=i до n) lij*Pi(t);  i=1,n(все с чертой) (1) Система из n уравнений , т.к. для любого момента t å( от i=1 до n) Pi(t), то в системе (1) одно любое уравнение м-но отбросить. И, задав начальное условие на момент t=t0, P1(t0)=1, Pi(t0)=0, i=1,n( все с чертой).

В итоге  м-но решить сис-му дифф. ур-ний и найти все вер-ти состояний Pi(t), i=1,n(все с чертой). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

44. Предельные вероятности состояний.  Нахождение предельных вероятностей.

Предположим, что  дан марковский случайный процесс, тогда, используя уравнение Колмогорова, можно найти Рi(t); i =

Предельными или  финальными вероятностями называют пределы

, если эти вероятности существуют, т.е.  = Рi.

Если эти предельные вероятности существуют, то в системе устанавливается стационарный режим, при котором состояние системы меняется случайным образом, но вероятность каждого состояния остается неизменной.

Предельная вероятность  в марковском случайном процессе существует, если этот процесс удовлетворяет свойству транзитивности. Процесс в протекающей системе называется транзитивным, если существует интервал времени t, в течение которого система может перейти из любого состояния Si в любое другое состояние Sj.

Алгебраические  уравнения для предельной вероятности состояний

Пусть марковский случайный процесс удовлетворяет  свойству транзитивности, тогда для  него при t ® ¥ существуют предельные вероятности состояний Pi=const.

  ,  Þ, в этом случае вместо дифференциального уравнения Колмогорова получили систему линейных уравнений относительно вероятности состояний

       

Одно уравнение  отбрасывается, остается n уравнений, решая  эту систему получаем Р1, Р2, ... , Рn. 
 
 
 
 
 
 
 
 

45. Процессы гибели и размножения.  Формулы для нахождения предельных вероятностей.

Мы  предполагаем, что  все потоки, переводящие  систему из любого Si в Si+1 и из Si в Si-1 являются простейшими.

li, i+1

li, i-1

Процессы  такого типа называются процессами гибели и  размножения.

Составим систему уравнений для нахождения предельной вероятности состояний:

S0: l01P0 = l10P1 S1: l10P1 + l12P1 = l01P0 + l21P2 S2: l21P2 + l23P2 = l12P1 + l32P3 ...  Sn: ln, n-1 Pn = ln-1, n Pn-1 P0 + P1 + P2 + ... + Pn = 1

Из первого  уравнения выражаем P1 =

l01P0 + l12P1 = l01P0 + l21P2

P2 =

P3 =       Pn =    ...

P0 + ... + = 1

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

46. Потоки событий. Простейший поток и его свойства.

Потоком событий называется последовательность каких-то однородных событий, следующих  друг за другом через  случайные интервалы  времени, т.е. в произвольные моменты времени. 
 
 

Потоки избираются на числовой оси, представляющей ось времени, точками, соответствующими моменту наступления событий.

Например: - поток  вызовов, поступающих на станцию  скорой помощи;

- поток автомобилей,  пересекающих перекресток.

Среднее число  событий, происходящих в единицу  времени называется интенсивностью потока. l - среднее число событий в потоке, происходящее за единицу времени. Свойства потока:

1. Поток называется стационарным, если вероятность наступления того или иного числа событий за интервал времени длины а зависит от длины этого интервала и не зависит от того, в какой момент времени начинается отсчет этого интервала.

t2 – t1 = a

2. Поток событий называется потоком без последействия (без последствия), если для любых непересекающихся интервалов времени длины t1 и t2.

Вероятность появления  того или иного числа событий в интервале t2 не зависит от того, какое число событий произошло в интервале t1.

Иначе, отсутствие последствия означает независимость  наступления событий во времени.

3. Поток называется  ординарным, если  вероятность наступления  двух и более событий за некоторый достаточно малый интервал времени t пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события за этот интервал.

Поток, обладающий всеми тремя перечисленными свойствами называется простейшим.

47. Закон распределения числа событий  за фиксированный промежуток  времени и закон распределения  интервала времени между событиями  в простейшем потоке.

Пусть рассматривается  какой-то поток событий. С ним  всегда можно связать дискретную СВ – число событий, происходящих за интервал длины t. Эта СВ дискретна. С этим же потоком можно связать НСВ – интервал времени между событиями. Т – интервал времени между событиями в потоке. Для простейшего потока доказано, что число событий, попадающих на интервал длины t является ДСВ, распределенной по закону Пуассона. Вероятность того, что за время t произойдет ровно k событий.