Основные задачи математической статистики

Наблюдаемыми значениями критерия называют значение величины К, полученные по выборке и обозначают К _набл.

Событие К _набл. > k_кр. – маловероятное событие, которое можно считать практически невозможным при справедливости Н₀, и если оно все же произошло, то этот факт противоречит гипотезе Н₀, отсюда следует, что её надо отвергнуть.

Левосторонняя критическая  область находится с помощью  равенства:

Р_Но (К < k_кр.) = α

             

              k                    К

Для построения двусторонней критической области составляем равенство:

P_Но (К < k_1.) + Р_Н1 (К > k_2.) = α.

В частности, если распределение  критерия К  симметрично относительно нуля, то:

Р_Но (|К| > k_кр..) = α.

Р (К > k_кр..) = α.

 

 

 

                    

    -k_кр.            k_кр.  

Замечание 1. Значение К _набл.  может оказаться в критической области не только потому, что гипотеза Н₀ ложна, но и по другим причинам:

- недостаточный объем  выборки;

- недостатки ведения  эксперимента и др.

В таком случае, отвергая правильную гипотезу Н₀, мы допускаем ошибку 1-го рода. Вероятность ошибки равна α.

Замечание 2. Если Н₀ принята, то это не означает, что она доказана. Действительно, только один факт, подтверждающий правильность некоторого общего утверждения, вовсе не доказывает его.

Отвергают гипотезу Н₀ более категорично. Только один пример, противоречащий общему утверждению, полностью опровергает это утверждение. Поэтому в первом случае, когда значения К _набл. попадают в область принятия гипотезы, более правильно говорить: «Данные эксперимента согласуются с гипотезой Н₀ и не дают основания её отвергнуть». Ответ во втором случае, когда К _набл. попадает в критическую область, гипотеза Н₀ отвергается.

Замечание 3. Чем меньше α  и β, тем критерий К  лучше. Однако, при заданном объеме выборки добиться одновременного уменьшения α и β невозможно. Единственным способом одновременного уменьшения α и β является увеличение объема выборки n.

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

Пусть некоторая случайная величина имеет плотность распределения, зависящее от параметра Q, f(t,Q) одномерно или многомерно принимает значения из некоторого множества .

Зададим уровень значимости для проверки гипотез . Среди всевозможных критериев проверки Н₀ целесообразно выбрать критерий, у которого мощность наибольшая.

Оптимальным критерием (К_опт.) называется критерий, который имеет наибольшую мощность из всех критериев проверки Н₀ для заданного уровня значимости .

Мощность:

Составим функцию правдоподобия:

- независимая выборка из распределенной  случайной величины.

Если гипотеза Н₀ верна, то .

Если гипотеза Н₁ верна, то .

Отношение правдоподобия:

Теорема Неймана-Пирсона.

Среди всех критериев заданного  уровня значимости , проверяющих простую гипотезу Н₀ против конкурирующей гипотезы Н₁ оптимальным критерием является критерий отношения правдоподобия.

С помощью такого оптимального критерия находим постоянную с, что выполняет равенство .

Полученное значение с  можно построить критическое  значение и рассчитать область критерия.

Указанное равенство равносильно  следующему: , где .

 

14. Построение  оптимальных критериев для проверки  гипотез о параметров нормального и биномиального распределений.

Пусть – независимая выборка из нормального распределения с параметрами a и .

I Пусть - значение известно, относительно параметра a. ; конкурирующая ; причем . Построим оптимальный критерий воспользовавшись теоремой Неймана-Пирсона. , если верна , то   Составляя ф-цию правдоподобия , т.е. так как это нер-во , где - некоторое число. , то есть оптим. Критерием является , а

Опр.: – квантилью (квантилем) данной случайной величины называется такое число , которое является 2корнем уравнением. где - функция распределение этой случайной величины, если случайная величина имеет параметры 0 и 1, то функция: поэтому является квантилем этого распределения если выполняется рав-во РИСУНОК. Заметим, что для норм-ого распределения . Учитывая, что имеет норм-ое распределение с параметрами a и . Найдем ошибки 1-ого и 2-ого рода и рассчитаем мощность , заметим, что если . Ошибка 2-ого рода = т.е. противоположное событие принимается неправильной гипотизей. = где отсюда будет равен Это рав-во дает тот объем выборки, который обеспечивает ошибки 1 и 2-ого рода Если правая часть рав-ва не целая, то в кач-ве выбирается ближайшее к нему большее целое число. Мощность критерия равна: 1-=; так как . Оптимальным критерием является который выражается через квантиль нор-ного распределения. отвергается, если , т.е. откуда или . Критическая область односторонняя. РИСУНОК.

Зам.: если конкурирующая гипотеза имеет вид: где , то прейдем к нер-ву и тогда =(квантиль). гипотиза отвергается если критическая область левосторонняя.

II Пусть - значение известно, причем , основная гипотеза причем . Если справедлива основная гипотеза ; если наоборот, то . Должно выполняться нер-во при условии, что , решение сведем к K. , заметим, что величина имеет распределение . - распределение, тогда , откуда ; поэтому - квантиль распределения . Получаем, что , это является если критическая область правосторонняя.

Пусть случайная величина распределена по Биномиальному закону с вероятностью P, т.е. , где Выдвинем гипотезу , где . Составим отношение правдоподобий должно выполняться нер-во , это нер-во сводится к таким образом , критической точкой будет , по интегральной теореме Муавра-Лапласса, биноминальному распределение асимптотически сходиться к нормальному распределению асимптотической конечностью.= - квантиль норм. Распределения. а теперь ошибки 2-ого рода. . Выразим объем выборки, который обеспечивает ошибки 1-ого и 2-ого рода .

 

 

 

15. Оптимальные  критерии для проверки сложных  гипотез.

I Пусть – независимая выборка из нормально распределенных генеральной совокупности с параметрами a и - причем значение известно, а относительно другого параметра a выдвинуто 2 гипотезы. ; (простая нулевая) и сложная конкурирующая , для любого фиксированного значения , где , получим нер-во: где фиксируя различные значения получим, что ошибка 2-ого рода зависит от значения = тогда мощность критерия тоже зависит от - Если , то Если График мощности получается путем преобразование графика функции Лапласа. РИСУНОК.

II Пусть . Тогда при любом фиксированном значение a=; получим : где а следовательно . При любом фиксированном значение a= приведем к нер-ву , где , причем Поэтому нет единого критерия, который максимизировал бы функцию мощности для всех значений a, тогда рассматривают критерий, который достигает наибольшей мощности при выполнении нер-ва: то есть двусторонний критерий. Функция мощности -. Если , то . Если Тогда график будет. РИСУНОК.

III Пусть даны 2 независимые выборки из генеральной совокупности имеющая нормальное распределение с параметрами 0 и и из нормального распред. Совокупности с параметрами 0 и .

Теор.: Неймана-Пирсона для проверки гипотезы , при сложно конкурирующей гипотезе , приводим к нер-ву: . В левой части нер-ва имеет распределение Фишера-Следекора с и степенями свободы. Пусть -функция этого распределение, тогда вероятность того, что такое нер-во выполняется при справедливости нулевой гипотезы равна. , . Квантиль распределения Фишера-Снедекора. То есть Критическая точка . Критическая область правосторонняя, если наблюдаемое значение критерия превышает , то отвергается на уровне значимости . РИСУНОК. Если конкурирующая гипотеза имеет вид: , то строится двусторонний критерий, который достигает наибольшей мощности. Тогда отвергается при или . РИСУНОК. Так как распределение Фишера-Снедекора не симметричны, то ,. Однако доказано, что распределение Фишера-Снедекора ; то есть .

 

IV Пусть даны 2 независимые выборки из 2 нормально распределенных генеральных совокупностей из из совокупности с параметрами   и , а другая выборка из совокупности с параметрами и . Требуется проверить ; при .

a) Значение и - известны, вычисляя выборочные средние сравниваем между собой

и , -. Случайная величина , имеет нормальное распределение с параметрами 0 и 1. Действительно, = при условии справедливости . а значит z работает хорошо с функцией Лапласа, получим: РИСУНОК. Если конкурирующая гипотеза имеет вид: , то получают: получаем, что . РИСУНОК. Если конкурирующая гипотеза: , то получаем. . РИСУНОК.

б) Значение и – неизвестны, но известно, что они равны между собой, тогда однако величина , не подчиняется нормальному закону, тогда которое имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Если гипотеза , то То отвергается. Если , то , а поскольку распределение симметрично от нуля, то РИСУНОК. Если , то РИСУНОК.

Зам.: При больших выборках , распределение Стьюдента становиться очень близким к нормальному распределению. Поэтому в кач-ве критерия получим , где выборочная дисперсия 1-ой выборки. - выборочная диспресия 2-ой выборки.

16 . Непараметрические  критерии.

Если построение критерия не опирается на предположение о  конкретном виде распредиления случайной величины  и не исправленные параметры, то такой критерий называют непараметрическим . они являются функциями от опытных значений случайной величины с их частотами.

1. Критерий Пирсона.

Пусть проверяется  о том ,что независимая выборка … случайно величины ξ имеет функцию распределения  F(x), конкурирующая гипотеза , состоит в том ,что функция распределения величина ξ реализация которой является выборка отличная от F(x).

-, и по данной гипотезе F(x) найдем числа , которое является вероятностями значения величины в промежутке обозначается -число выбранных значений в промежутке случайные величины - имеют полиномиальное распределение поэтому о том что вероятности этого распределения равны . рассмотрим величину случайную: (1).

Т: при n -> случайная величина (1) сходится равномерно по распредилению ХИ квадрат с r-1 степенью свободы. функция ХИ квадрат с r-1 степенью свободы., тогда ==1-, те =1- -квант распределения ХИ квадрат с r-1 степенью свободы. Если наблюдаемое значение величины (1), превосходит , то  гипотеза  отвергается . в противном случаи нет оснований отвергать гипотезу это правило используется при

З: - это абсолютные частоты попадания в промежуток . теоритические абсолютные частоты, тогда можно записать - это относительные частоты.

З: если предполажение с S- параметрами F(x,), то число степеней свободы распределения ХИ квадрат к которому сходится величина (1) будет равно r-1-s , r-1-s=r-3. Т к для нормального распределения s=2 , а для показательного r=2, s=1 , а у равномерного распределения r=3 , s=1/ случайная величина (1)- называется  ст . Пирсона.

2. Критерий Колмогорова

Пусть проверяется таже гипотеза , что в (1) и пусть по независимой выборке … построим эмпирическую функцию распределения , рассмотрим величину :

 

Т: если F(x) непрерывна , то распределение случайной величины независит от вида функции F(x), те инвариантно.

Эта теорема дает основания  протабулировать величину  для одного распределения например равномерного и использовать это и для других распределений.

Т(колмогорова): если F(x)- непрерывна ,то .этот факт используется с хорошим приближением при n>20. Если наблюдаемое значение величины - превысит -квантиль правой и части равенства (2) то гипотеза , отвергается на уровне значимости . Иначе наоборот.

С выражением в правой части (2) связан еще один критерий смирнова. Пусть имеются две независимые выборки … для случайной величины ξ, , … - для случайной величины и пусть построены эмпирические функции : , рассмотрим величину

= sup , пусть F(x)- функция распределения ξ, а G(x)- функция распределения для .

Т: если F(x), G(x)- непрерывны то

Этот факт используется для  проверки гипотезы выборки взятой из одного и того же распределения.; F(x)G(x). Эти выборки можно взяты из разных распределений называются гипотезой однородности. Гипотезы о виде неизвестной функции распределения выдвигает гипотезу согласия о критериях и проверки их согласия

Критерий Пирсога и Колмогорова являются критериями согласия.

Последняя теорема дает основания  для проверки гипотезы однородности ; F(x)= G(x).если наблюдаемое значение величины - превышает значение - квантиль правой части равенства (3), то тогда отвергает критерий Смирного , который является критерием однородности.

3. Критерий однородности .

а) критерий смирного

б) критерий Вилкоксона

в) критерий знаков

г) критерий однородности ХИ квадрат 

д) Макномары

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.Линейная регрессия.

Пусть исследуемая система  двух величин  и η т.е двумерная случайная величина . Пусть в результате n-независимых опытов получено n пар значений ,. Изобразим соответствующие точки на координатной плоскости и получим поле корреляции. Рисунок. Одному и тому же значению может соответствовать несколько значений . Их среднее арифметическое - выборочный аналог условного математического ожидания Одному и тому же могут соответствовать несколько значений Их среднее арифметическое - выборочный аналог условного математического ожидания ). ; ) . Если точки поля коррел. расположены по прямолинейной конфигурации, то говорят о прямолинейной корреляционной связи между двумя величинами. Условное мат.ожидание является функцией от , а явл. функцией от (ξ на η). Они называются функциями регрессии. Если обе являются линейными то говорят случайная величина связаны линейной корреляционной зависимостью. ; . Найдем прямую от которой как можно меньше отклон. экспериментальные точки , . Найдем , чтобы сумма квадратов расстояний экспериментальных точек от прямой была минимальной. – min. Система{} Разделим на n. => Система{; }. Система нормальных уравнений в мет. наим. квадр. Система{ } Умножим на , где. Найдем В знаменателе есть выборочная дисперсия для сл.вел. . то есть Обозначим то есть . . Если выборочный коэф. коррел.   то , тогда т.о. ур-ие искомой прямой:   . Т.о. наилучшим приближением, . выборочное уравнение регрессии на . Оно опред. зависимость между значениями сл. вел. и средними значениями случ. вел. . Углов. коэф.   наз. выборочным коэф. регрессии на . Аналогично найдем чтобы эксперимент. точки наимен. образом отклонялись от прямой , тогда выборочное уравнение регрессии на η. С наилучшим приближением ). Рисунок. T.( - центр совместного эмпирического распределения. Если то прямые сливаются; то нет линейной корреляционной зависимости, но это не означает что зависимости нет вообще она может быть нелинейной. Замечание. Числитель в ф-ле  коэффициента корреляции между η и называется ковариацией. Если и η - независим. сл. вел. то и тогда , обратно если , то величина ξ и η наз. некоррелируемыми, но это не означает что они независимы. Свойство: . Если , то между ξ и η имеется функциональная связь. Функц-ая зависимость – частный случай коррел-ой зависимости.