Метод средних величин в статистике

 

 где

 

- нижняя граница модального интервала;

- модальный интервал;

- частота в модальном интервале;

- частота интервала перед модальным  интервалом;

- частота интервала после модального  интервала.

Мода широко используется в статистической практике при изучении, например, покупательского  спроса, регистрации цен и т.д.

 

Медиана – это вариант, расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану, необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда.

В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы по формуле:

 

 , где

n – число членов ряда.

В случае четного объема ряда медиана  равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

В интервальных рядах распределения  медианное значение (поскольку оно  делит всю совокупность на две  равные по численности части) оказывается  в каком-то из интервалов признака x. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется по формуле:

 

, где

- нижняя граница медианного интервала;

- медианный интервал;

- половина от общего числа  наблюдений;

- сумма наблюдений, накопленная  до начала медианного интервала;

- число наблюдений в медианном  интервале.

Средние уровни в рядах динамики

 

Средний уровень ряда характеризует  обобщенную величину абсолютных уровней. Он рассчитывается по средней хронологической, т.е. по средней исчисленной из значений, изменяющихся во времени.

Для моментных рядов динамики с  равностоящими уровнями средний  уровень определяется по формуле  средней хронологической моментного ряда:

 , где

 

- уровни периода, за который  делается расчет;

-число уровней;

- длительность периода времени.

Для моментных рядов динамики с  неравностоящими уровнями средний уровень определяется по формуле средней хронологической взвешенной моментного ряда:

 

 , где

 

-уровни рядов динамики;

- интервал времени между смежными  уровнями.

Расчетная часть

 

Задание 9

 

Определите по первичным данным Таблицы 3 (гр. 1)

среднегодовую стоимость основных производственных фондов в расчете  на одно предприятие.

Постройте статистический ряд распределения  предприятий по

среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав  четыре группы предприятий с равными  интервалами, охарактеризовав их числом предприятий и их удельным весом.

По ряду распределения (п.2) рассчитайте  среднегодовую стоимость основных производственных фондов, взвешивая  варианты признака: а) по числу предприятий; б) по удельному весу предприятий.

Сравните полученную среднюю с п.1, поясните их расхождение.

Имеются данные о финансовых показателях  предприятий фирмы

за отчетный период (Таблица 2):

 

Таблица 2

Финансовые показатели предприятий фирмы за отчетный период

 

Предприятия	Получено прибыли, тыс. руб.	Акционерный капитал, тыс. руб.	Рентабельность акционерного капитала, %	Удельный вес акционерного капитала в общем объеме, %
А	1	2	3	4
1	1512	5040	30	42
2	528	1320	40	11
3	1410	5640	25	47

 

Определите средний процент  рентабельности акционерного капитала фирмы, используя показатели:

а) гр. 1 и гр. 2; в) гр. 1 и гр. 3;

б) гр. 2 и гр. 3; г) гр. 3 и гр. 4.

 

Таблица 3

Имеются выборочные данные (выборка 5%-я  механическая) о среднегодовой стоимости  основных производственных фондов и  выпуске продукции предприятий  отрасли экономики за отчетный период, млн. руб.

 

Среднегодовая стоимость  основных производственных фондов

 

№ п/п	Среднегодовая стоимость  основных производственных фондов	Выпуск продукции
А	1	2
1	27	21
2	46	27
3	33	41
4	35	30
5	41	47
6	42	42
7	53	34
8	55	57
9	60	46
10	46	48
11	39	45
12	45	43
13	57	48
14	56	60
15	36	35
16	47	40
17	20	24
18	29	36
19	26	19
20	49	39
21	38	35
22	37	34
23	56	61
24	49	50
25	37	38
26	33	30
27	55	51
28	44	46
29	41	38
30	28	35

 

Решение:

 

Для удобства решения задачи составим ранжированный ряд

(упорядочим в порядке возрастания)  из значений среднегодовой стоимости  основных производственных фондов (Таблица 4):

Таблица 4

Упорядоченная в порядке  возрастания среднегодовая стоимость  основных производственных фондов

 

№ п/п	Среднегодовая стоимость  основных производственных фондов	Выпуск продукции
1	20	24
2	26	19
3	27	21
4	28	35
5	29	36
6	33	41
7	33	30
8	35	30
9	36	35
10	37	34
11	37	38
12	38	35
13	39	45
14	41	47
15	41	38
16	42	42
17	44	46
18	45	43
19	46	27
20	46	48
21	47	40
22	49	39
23	49	50
24	53	34
25	55	57
26	55	51
27	56	60
28	56	61
29	57	48
30	60	46

 

Чтобы определить среднегодовую стоимость  основных

производственных фондов в расчете  на одно предприятие, необходимо применить  формулу средней арифметической простой величины:

 

Ответ: 42 млн. руб.

 

Построим статистический ряд распределения  предприятий по

среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав  четыре группы предприятий с равными  интервалами:

Сначала найдем интервал группировки:

 

, где

 

- максимальное значение признаков  совокупности;

- минимальное значение признаков  совокупности;

- число групп.

 

= 60;

= 20;

= 4.

 

 

Тогда образуем четыре группы (Таблица 5):

 

Таблица 5

Статистический ряд распределения  предприятий по среднегодовой стоимости  основных производственных фондов

 

Группы	Среднегодовая стоимость  основных производственных фондов
20-30	20
	26
	27
	28
	29
30-40	33
	33
	35
	36
	37
	37
	38
	39
40-50	41
	41
	42
	44
	45
	46
	46
	47
	49
	49
50-60	53
	55
	55
	56
	56
	57
	60

Взвесим варианты признака по числу  предприятий и по их удельному  весу:

3.

 

 , где

 - рентабельность капитала;

 – прибыль;

– капитал.

 

а) 

б)

 

в)

 

г)

 , где

 - удельный вес акционерного капитала  в общем объеме.

 

Значит:

;

;

.

 

Тогда:

;

;

.

 

Подставим полученные формулы в  формулу рентабельности акционерного капитала:

 

Ответ: 29%

Аналитическая часть

 

Используя данные Таблицы 6 Численность  экономически активного населения, занятых и безработных (тысяч  человек) из Российского статистического  ежегодника 2003 года (стр.129), найдем среднюю  арифметическую простую величину, среднюю  гармоническую простую величину, моду и медиану в дискретных рядах.

Таблица 6

Численность экономически активного населения, занятых и  безработных (тысяч человек)

 

	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002
Численность экономически активного населения - всего	70861	69660	68079	67339	72175	71464	70968	71919
мужчины	37336	36749	35925	35379	37639	37154	36846	36937
женщины	33525	32911	32154	31960	34537	34310	34122	34982
в том числе:
занятые в экономике -всего	64149	62928	60021	58437	63082	64465	64664	65766
мужчины	33720	33087	31554	30587	32838	33374	33435	33615
женщины	30429	29841	28467	27850	30244	31091	31229	32151

 

Средняя арифметическая простая величина:

 

Найдем среднюю численность  экономически активного населения  – всего за 1995-2002 годы.

 

Средняя гармоническая простая  величина:

 

Найдем среднюю численность  экономически активного населения  – всего мужчин за 1995-2002 годы.

 

<="" div="" style="margin: 0px; padding: 0px; border: none; font-size: 12px; vertical-align: baseline; background-color: transparent; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; ">

width="635" height="46" border="0" />

 

Мода в дискретном ряду:

 

Найдем моду ряда значений численности  экономически активного населения, занятых в экономике за 1995-2002 годы.

Модой в дискретном ряду является величина признака, которой соответствует  максимальная частота. В данном случае это 2002 год (65766 тысяч человек).

Полученный результат говорит  о том, что в 2002 году была самая  высокая численность экономически активного населения, занятых в экономике.

 

Медиана в дискретном ряду:

 

Найдем медиану ряда значений численности  экономически активного населения, занятых в экономике мужчин.

Медианой в дискретном ряду является центральный член ранжированного ряда.

Упорядочим данный ряд.

30587; 31554; 32838; 33087; 33374; 33435; 33615; 33720.

В данном случае четный объем ряда, поэтому медиана равна средней  из двух вариантов, находящихся в  середине ряда.

Используя данные Таблицы 7 Распределение  численности безработных по возрастным группам (в процентах к итогу) из Российского статистического  ежегодника 2003 года (стр.142), найдем моду и медиану в интервальных рядах.

Таблица 7

Распределение численности  безработных по возрастным группам (в процентах к итогу)

 

	до 20	20-24	25-29	30-34	35-39	40-44	45-49	50-54	55-59	60-64
2002	8,9	17	13,2	11,9	11,6	13,1	10,7	8,3	2,5	2,8

 

Мода в интервальном ряду:

 

Найдем моду интервального ряда значений численности безработных  по возрастным группам в 2002 году.

Модальным рядом будет ряд 20-24 лет, т. к. именно ему соответствует наибольшая частота (17 %).

 

Полученный результат говорит  о том, что в 2002 году самая высокая  численность безработных приходилась  на возраст 22,7 лет.

Это значение можно изобразить графически (рис. 1)

 

Медиана в интервальном ряду: