Лекции по "Статистике"

Өзгерменің  өрісі.Статистикалық  сандық  қатардың  негізгі  көрсеткіштерінің  ішіндегі  ең  жай  түрі, яғни  белгілердің  бір – бірінен   сандық  шамамен  қаншаға  өзгергендігін   көрсететін  көрсеткіш  өзгерменің  өрісі  болып   саналады.

 Сонымен , өзгерменің  өрісі деп сандық  қатар белгілерінің  ең  үлкен  және  ең  кіші  мән  шамаларының  арасындағы  айырмашылықты  айтады. Ол  екі шекті шаманың айырмасын көрсетелі. Статистикада  өзгерменің  өрісі R – әріпімен  белгіленеді және  мына  формула  арқылы  есептеледі:

                          R = X көп – X аз,

 мұнда  Хкөп  - сандық  қатар белгілерінің  үлкен мәні;

 Хаз – сандық  қатар белгілерінің  кіші  мәні.

 Мысалы, бригада   жұмыс  істейтін  жұмысшылардың   ең  тқменгі  еңбекақысы  2000  теңге,  ал  ең  жоғарғы еңбекақы  3000 теңге  десек, онда  өзгерменің  өрісі 1000 (3000 - 2000)  теңгеге тең болады. Бірақ, біл көрсеткіштің   сол өзіне тән кейбір  кемшіліктеріде  кездеседі.

Біріншіден, өзгерменің  өрісі  белгінің  ең  шекті  екі  сандық  мәні  бойынша  есептелгенімен, оның  ішкі  құрлымындағы  өзгерістер  мен  ауытқушылық  көрсетілмей, жасырын   қалып  қояды. Осының  салдырынан  өзгерменің  өрісі  әрбір  қатардағы  белгінің  құбылмалылығын  дұрыс  сипаттай  алмайды.

Екіншіден, сандық  қатардың  жилік  көрсеткіштерді  есепке  алынбайды. Ол  орташа  сызықтық  ауытқу, шашыранды  (дисперсия)  және  орташа  шаршылық  ауытку  сияқты  өзгерменің  негізгі  көрсеткіштерін  есептеу  кезінде  қолданылады. Осыған  орай  өзгерменің  бұл  көрсеткіштері   жай  және  салмақталған  болып  екіге  бөлінеді.

Егер  сандық  қатардың   белгілері  беріліп, жиіліктері  берілмеген  болса, онда  теориялық  және  тәжрибелік  зерттеу  кезінде  орта  шамамен  қатар  жеке  бірліктердің  жиынтық  көрсеткіштерінің   өзгермелілгі, fқұбылмалылығы  өарастырылады  және  оларды  статистикада   өзгерменің  көрсеткіштері  деп  атайды.

Орташа  сызықтық  ауытқу. Оны ауытқудың нақты (абсалюттік) арифметикалық орташа  шамасы  деп те  атайды. Яғни  орташа  сызықтық  ауытқу  деп әрбір белгінің (х) жеке  мәнінен арифметикалық  орташа  шаманы (х) алып, одан  шыққан  ауытқу  қосындыны Σ (х - х)белгі  санына -  (n) немесе  әр  қатардағы ауытқу  көрсеткіштерін (х - х) жиеліктеріне  f  көбейтіп, ал  оның  қосындысын Σ (х -х) f  сол жиеліктің жалпы жиынтығына  Σ f бөлгеннен шыққан  шаманы  айтады. Бұл орташа  сызықтық  ауытқуды  жай және  салмақталған  тәсілмен  есептеу болып саналады.

Статистикалық  өзгерме  көрсеткіштерін  есептеу  кеінде  кейбір   математикалық  қасиеттердің  қолданылу  тәсілдеріне  өзгеріс  енгізуге  тура  келді. Мысалы, белгілердің   орташа  шамадан ауытқу  қосындысы әрқашан нөлге тең болды. Сондықтан олардың бірін – бірі  жойып жібермеуі үшін  жақшаны түзу  сызықпен  көрсетеміз.Оған  мысал ретінде төмендегі (9.1 - кесте)көрсеткіштер  көрсетілген: 

      Бригада   жұмысшыларының  алған  айлық   еңбекақы  мөлшері (теңге)

Жұмысшылардың рет нөмірі (n)	Айлық  еңбекақы (x)	X –  X X = 2600	(X - X)	(X - X )
1      2      3      4      5      Барлығы :	1900      2400      3100      2600      3000         13000	-700     -200      500        0      400              -	700      200      500        0      400       1800	490000 40000 250000     0 160000   940000

                  

Берілген   мәліметтер  бойынша  орташа  сызықтық  ауытқуды  есептеу  үшін  алдымен  арифметикалық   орташа  шаманы  табамыз.  Ол  арифметикалық  орташа  шаманың  жай  түрінің  формуласы  бойынша  есептеледі:

                     Σ х        1300

            Х  =          =            = 2600 теңге.

                      n           5

 

 Енді   орташа  сызықтық  ауытқуды  жай  түрі  бойынша  есептейміз  жіне  ол   360 теңгеге  тең  болады:

 

                           Σ (x – x )        1800

                  d =                    =               = 360теңге.

                                 n                5

 

 Шаршыранды  немесе  дипресия   деп  әрбір  қатардағы  белгінің  (х)алдындағы  айырмаларды (х-х)  екі есе дәрежелеп (х-х)²  және  бір – біріне  қосып, одан  шыққан  ауытқу  қосындыны  Σ(х -х)² белгі санына (n), немесе  дәрежеленген  ауытқу  көрсеткіштері жиеліктеріне (f)  көбейтіп, оның  қосындысын  [ Σ (х-х)² f ]  сол жиеліктің жалпы жиынтығына (f)  бөлгеннен шыққан  бөліндіні айтады.

Шашырандының  анықтамасын  қысқарған  түрде  былай  айтуға  болады:орташа  сызықтық  ауытқудың  алымындағы  жақша ішіндегі  көрсеткіштерді  дәрежелеу.

Өзгерменің  коэффиценті  дегеніміз  орташа  шаршы ауытқу (ơ) көрсеткішін арифметикалық орташа  шамаға  (х)-кіші  бөлу.Статистикада ол  латынның  V- әріпімен  белгіленеді және  мына  формула арқылы  есептеледі:

                                             ơ

                                     V =       = · 100‚

                                            X

 

     мұнда ơ – орташа  шаршы  ауытқу;

      х- арифметикалық   орташа  шама.

Статистикалық  сандық  қатар белгілері  мен  жиілік  мәндеріне  байланысты    шашыранды  мен  орташа  шаршы  ауытқуды  есептеу  кейбір  жағдайда  қиындау  тиеді.Сондықтан, жұмыс  көлемі  мен  есептеу  тәсілін  жеңілдету  үшін  төменгі  берілген  математикалық  қасиеттерге  сүйенуге  болады:

1. Егер  барлық  белгі  мәндерінін  (х)  тұрақты  бір  шаманы  (А) алсақ, одан  шашырандының  мәні  өзгермейді: 

  

                               ơ ² (х-А) = ơ ²

Демек,  шашырандыны берілген  белгілі мәндерімен  емес, олардың тұрақты бір шамадан   ауытқыған мәндері бойынша   есептеуге болады:

                                   

                               ơ ² = ơ ² (х-А)

2.Егер  барлық  белгі   міндерін тұрақты  бір  шамаға  (А) бөлсек, онда  шашыранды  А² рет, ал  орташа  шаршы  ауытқу  А рет  азаяды:

 

                               ơ ² [  ]= ơ ²: А²

 

Демек, барлық  белгі  мәндерін  тқрақты  бір  шамаға  бөлу  арқылы  (деңгей  арлығының  айырмасына)  орташа  шаршы  ауытқудыды  табамыз, ол  содан  кейін  оны  тұрақты  шамаға  көбейтеміз:

 

                              ơ = ơ [  ] ·А 

3.Орта  шамалық   шашыранды  әрқашан  кез  – келген  шамадан  есептелген  шашырандыдан  аз  болады: ơ ²  > ơ ²‚мұнда ơ ² кез –  келген  шамадан есептелген  шашыранды; ơ ² - орта  шамалық шашыранды.

4.Шашыранды  мәнінің   шаршысы  орташа  мен  олардың   орта  шама  шаршысының  айырмасына  тең  болады:

                             ơ ² = х²-х ²‚

 

                                           

мұнда  х ² =  ———‚         х²=(—)

 

Енді  шашыранды  былай  жазуға  болады:

                                                            

                            ơ ²  = —— - (——)

 

Енді  белгі  мәндері  кіші  сандық  көрсеткіштермен  берілетін  болса, онда  осы  формуланы  қолдау  өте  ыңғайлы  болады. Оны  нақты  көрсету  үшін  8.3- кесте  көрсеткіштеріне  қайта  ораламыз  және  9.3- кестеде  қысқа  түрде  көрсетеміз:

 

              Шашырандыны  ơ² = х² - х²  формула  бойынша  есептеу

      

x	f	x²	x²f
41        43        45        47        49     Барлығы:	I I              25              50             9             5                         100	1681           1849           2025           2209            2401                —	18491         46225         101250         19981         12005            197952

                       

   Статистикалық   жиынтықтардың  өзгермелі, құбылмалы   белгілеріне  түрлі  себептер  әсерін  тигізеді. Олар  өздерінің тигізетін әсерлеріне  қарай кездейсоқ  және  тұрақты  болып  екіге  бөлінеді. Соған  сәйкес  өзгерме  де  кездейсоқ  және  тұрақты  болуы  мүмкін. Бірақ  оларды  бір – бірінен  ажырата  білуміз  және  жалпы өзгермедегі атқаратын рөлін анықтаумыз  қажет. Жалпы статистикалық көрсеткіштерге  талдау  жасау кезінде қортындылаушы өзгерме   көрсеткіштердің ішінде  жиі қолданылатын  түріне  жататыны   шашыранды  болып  саналады.

   Статистикада  біртектес  өзгерме көрсеткіштерінің  бір немесе  бірнеше топтарға  бөлуіне байланысты  шашыранды да  үш  тұрге бөлінеді: жалпы,  топаралық және  топтық  немесе топішілік.

   Жалпы  шашыранды (ơ ²).Біз оны жоғарыда  қарастырдық. Ол  жалпы өзгермелі жиынтық  белгілеріне әсерін  тигізетін барлық  жағдайлар     мен себептерді   сипаттайды.

   Топаралық   шашыранды  (δ²)  деп  жеке  топтық  орташа  шаманың  жалпы   жиынтықты  орташа  шамадан   ауытқуын   айтады.

   Топаралық   шашыранды  өзгерме  белгілеріне   әсер  тигізетін  тұрақты  себептерді  көрсетеді. Мұнда  топтау  негізінде  әсерін  тигізетін  себептердің  өзгергендігі  қарастырылады. Яғни  жалпы  жиынтықтың өзіне  тән  өзгермелі   белгілері  бойынша  жеке  топтарға  бөлінуін  анықтайды.

Топтық  (топішілік)  шашыраннды  немесе  орташа  топтық  шашыранды (ơ² және ơ²) деп  әрбір  топ  бойынша  кездейсоқ  себептердің  тигізген  әсерінен  оның  өзгергендігін  және  мәні  мен  маңызын  анықтауды  айтады.

 Орташа  топтық  шашырандыны  топтау  негізіндегі   себептерден  әсер  етуінен  оның  кездейсоқ   өзгергендігі  көрсетіледі.Оны  есептеу  үшін  ең  алдымен  әрбір  топ   бойынша  топтық  шашыранды  (ơ²)‚содан  соң  осы  көрсеткіштер  арқылы  орташа  топтық  шашыранды  есептелінеді.

  Математикалық   статистикада  жалпы шашыранды (ơ²)  әрқашанда топаралық   шашыранды (δ²)  мен орташа  топтық  шашыранды (ơ²) шамаларының қосындысына тең болады  деп дәлелденген. Және  олардың бір – бірімен байланыстылығы  мына  формула арқылы  көрсетіледі:

                               

                                                ơ² = δ² + ơ² 

  Мұны  шаршынды  қосындысының  ережесі  деп   айтады.

Бұл  ереженің  өзіне  тән  ілімдік  және  тәжрибелік  маңызы  мынада:  біріншіден, егер  жоғарыда  берілген  теңдестіктің  екі  шамасы  белгілі  болса, онда  үшінші  белгісіз  шаманы  анықтауға  немесе  есептелген  көрсеткіштердің  дұрыстығын  тексеру  қиындық  тудырмайды.Оны  мынадай  түрде  жазуға  болады: δ² = ơ² - ơ² ; ơ² = ơ² - δ².Екіншіден, бұл  ереженің   маңызды  болып  саналатыны  сонда, егер  жалпы шаршынды  мен топаралық шаршынды  есептелген  болса, онда  топтау  белгісінің  әсерін  тез анықтай аламыз. Үшіншіден, топтық  шаршынды   жалпы шаршындыдан әрдайым кіші  болады  ơ² < ơ². Себебі, жеке  жиынтық бірліктері  жалпы  жиынтық  бірліктерімен  салыстырғанда біртекті  болып  келеді.

 Себебі, жеке  жиынтық   бірліктері  жалпы  жиынтық   бірліктерімен  салстырғанда  біртекті  болып  келеді.

  Егер  топаралық   шаршындыны  жалпы  шаршындыға  бөлетін  болсақ, онда  одан  шыққан  көрсеткішті   төмендеу (детерминация)  коэффициенті  деп  атайды.

Сонымен, жоғарыда  берілген  шашырандының  түрлері  мен  қосу  ережесін  толық  түсіну  үшін  нақты  мысал  ретінде   төменде  берілген  көрсеткіштерді  есептейміз:

 

Жұмысшылардың орташа  айлық еңбекақы  б-ша топқа бөлінуі,теңге	Жұмысшылар  саны
	цех	цех	цех	Зауыт  бойынша
700-800      800-900      900-1000      1000-1100      1100-1200      1200-1300      1300-1400    Барлығы:	10         20         50         60         40         20         —        200	30        40        10        80        70        60        10        300	10         40        140        120         80         60        50        500	50       100       200       260         190       140         60       1000

   

Осы  берілген  көрсеткіштерді  қолдана  отырып  ықшамдалған  тәсілмен  зауыт  және  әрбір  цех  бойынша  ортақ  айлық   еңбекақы  мөлшерлерін, шашырандыларды  есептейміз.  Ол  үшін  қосымша  есептеу  кестесін  құрастырамыз.

 Енді  кесте   бағаналарындағы  есептелген  көрсеткіштер  арқылы  зауыт   және  әрбір  цех  бойынша   ықшамдалған  тәсілдің  мына  формуласын   

х =A+ m d  қолдана  отырып  орташа  айлық  еңбекақыны  анықтаймыз.

Саналы (альтернативті)  белгілі  шашыранды.Әлеуметтік – экономикалық  құбылыстар  мен  процестерді   зерттеу  кезінде  оның  бөліктері  өзіне  тән  сандық  белгілері  бойынша  қарастырылса, кейбір  дағдайда  осы  құбылыстардың  жеке  бөліктерін  сапа  бойынша қарасыруға  тура  келеді. Себебі,  олардың бегілі  бір бөлігінде сапа  белгісі болса, қалған  бөлігінде оның  болмауы мүмкін.Мысалы, бір топта оқитын  студенттердің үлкен бөлігін өте жақсы және  жақсы оқитындар  тобына  жатқызсақ, ал  қалған  бөлігі  төменгі  топқа  жатады. Немесе  шағарылған  100 дана  өнімнің 80  данасы  жоғары  сапалы  десек, қалған 20 данасы  төмен сапалы  болуы мүмкін.Демек, өндірілген  өнім  көлемі  жоғары  және  төмен сапалы  екі бөліктен  тұрады. Статистикада  мұндай  бөліктерге  бөлінуді  сапалы (альтернативті) белгілі  өзгерме  көрсеткіші  деп  атайды.