Индексный метод изучения динамики производительности труда на предприятиях торговли

 

Задание 1

1. По исходным данным постройте  статистический ряд распределения  организаций по признаку - производительность  труда, млн. руб./чел., образовав  5 групп с равными интервалами.

а). R = X_max – X_min = 1,400 – 1,000 = 0,400 млн. руб./чел.

б). n = 5

в) = = 0,080 млн. руб./чел.

г). Определим интервальные группы:

Х_min – Х₁, где Х₁ = 1,080

Х₁ – Х₂, где Х₂ = 1,160

Х₂ – Х₃, где Х₃ = 1,240

Х₃ – Х₄, где Х₄ = 1,320

Х₄ – Х_maх, где Х_maх = 1,400

д). Строим интервальный ряд распределения организаций выборочной совокупности по производительности труда (млн. руб./чел.)

Таблица 2

Распределение организаций  по группам по производительности труда

№ группы	Группы по производительности труда, млн. руб./чел.	Количество организаций  в группе
1	1,000 – 1,080	2
2	1,080 – 1,160	6
3	1,160 – 1,240	12
4	1,240 – 1,320	7
5	1,320 и более	3
ИТОГО		30

 

Ряд распределения показывает, что наибольшее количество организаций  в выборочной совокупности имеют  производительность труда от 1,160 до 1,240 млн. руб./чел.

 

2. Рассчитайте характеристики  интервального ряда распределения:

а) среднюю арифметическую;

б) среднее квадратическое отклонение;

в) коэффициент вариации;

г) моду;

д) медиану.

Сделайте выводы по результатам  выполнения задания.

а) среднюю арифметическую определяем по формуле:

Для характеристики средних  величин определим середину интервала  и количество накопленных частот.

Таблица 3

Расчетная таблица

№ группы	Группы по производительности труда, млн. руб./чел.	f Количество организаций  в группе	Середина интервала	S Накопленные частоты
1	1,000 – 1,080	2	1,040	2
2	1,080 – 1,160	6	1,120	8
3	1,160 – 1,240	12	1,200	20
4	1,240 – 1,320	7	1,280	27
5	1,320 и более	3	1,360	30
ИТОГО		30	-	-

 

 млн. руб./чел.

Вывод: В среднем производительность труда в организациях составляет 1,208 млн. руб./чел.

б) cреднее квадратическое отклонение определяем по формуле:

Вывод: Производительность труда организаций в выборочной совокупности отклоняется в среднем  от среднего значения на 0,0835 млн. руб./чел.

в) коэффициент вариации определяем по формуле:

Вывод: Коэффициент вариации составляет 6,91%, что меньшее 33%, следовательно, совокупность считается однородной, а средняя типичной для этой совокупности.

г) Определим моду двумя способами: графическим и расчетным. 

где   х_Мo – нижняя граница модального интервала;

i –величина модального интервала;

f_M – частота модального интервала;

f_M-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_M+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Рис.1 Гистограмма распределения количества организаций по производительности труда, млн.руб./чел.

 млн. руб./чел.

Вывод: Мода, равная 1,204 млн. руб./чел. показывает, что наиболее часто  в выборочной совокупности организаций  производительность труда будет  составлять 1,204 млн. руб./чел.

д) Определим медиану двумя способами: графическим и расчетным.

Медианна  рассчитывается по формуле:

где х₀ – нижняя граница медианного интервала;

I – размер медианного интервала;

  –  половина от общего числа наблюдений;

S_Me-1 – сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;

f_Me – частота медианного интервала.

 млн. руб./чел.

Рис. 2  Кумулята распределения количества организаций по  производительности труда, млн.руб./чел.

Вывод: Медиана, равная 1,207 млн. руб./чел. показывает, что у половины выборочной совокупности организаций  производительность труда ниже 1,207 млн. руб./чел., а у второй половины выше 1,207 млн. руб./чел.

Задание 2

1. Установите наличие и характер корреляционной связи между признаками производительность труда, млн. руб./чел. и объем товарооборота, млн. руб. методом аналитической группировки, образовав по факторному признаку 5 групп с равными интервалами.

Построим разработочную  таблицу.

Таблица 4

Разработочная таблица

№ гр.	Группы по производительности труда, млн. руб./чел.	№ органи зации	Производительность труда, млн. руб./чел.	Объем товарооборота, млн. руб.
1.	1,000 – 1,080	1	1,000	30,000
		2	1,050	33,600
	ИТОГО по 1 группе	2	2,050	63,600
2.	1,080 - 1,160	4	1,100	36,300
		20	1,100	38,500
		11	1,150	39,100
		9	1,150	41,400
		23	1,150	41,400
		17	1,150	43,700
	ИТОГО по 2 группе	6	6,800	240,400
3.	1,160 – 1,240	6	1,200	46,800
		8	1,200	48,000
		10	1,200	49,200
		12	1,200	50,400
		14	1,200	51,600
		15	1,200	52,800
		18	1,200	54,000
		22	1,200	55,200
		24	1,200	56,400
		26	1,200	57,600
		29	1,200	58,800
		30	1,200	60,000
	ИТОГО по 3 группе	12	14,400	640,800
4.	1,240 – 1,320	16	1,250	55,000
		13	1,250	57,500
		3	1,250	60,000
		21	1,250	60,000
		7	1,250	62,500
		19	1,300	54,600
		25	1,300	66,300
	ИТОГО по 4 группе	7	8,850	415,900
5.	1,320 и более	5	1,350	64,800
		27	1,350	70,200
		28	1,400	77,000
	ИТОГО по 5 группе	3	4,100	212,000

Построим аналитическую  группировку, использовав данные разработочной  таблицы.

Таблица 5

Аналитическая группировка  выборочной совокупности организаций  по товарообороту, млн. руб./чел.

№ гр.	Группы по производи-тельности  труда, млн. руб./чел.	Кол-во органи-заций в  группе	Производительность труда  в группе, млн. руб./чел.		Объем товарооборота в  группе, млн. руб.
			всего	в среднем по группе	всего	в среднем по группе
1	1,000 –1,080	2	2,050	1,025	63,600	31,800
2	1,080 –1,160	6	6,800	1,133	240,400	40,067
3	1,160 –1,240	12	14,400	1,200	640,800	53,400
4	1,240 –1,320	7	8,850	1,264	415,900	59,414
5	1,320 и более	3	4,100	1,367	212,000	70,667
	ИТОГО	30	36,200	1,207	1572,700	52,423

Аналитическая группировка  организаций по производительности труда показывает, что с увеличением  в среднем по группам группировочного  признака, также увеличивается и  среднее значение объема товарооборота (результативного признака).

2. Измерьте тесноту корреляционной  связи между названными признаками  с использованием коэффициента  детерминации и эмпирического  корреляционного отношения.

Для расчета коэффициента детерминации ŋ² и эмпирического корреляционного отношения ŋ построим промежуточную таблицу.

Таблица 6

№ гр	Группы по производи- тельности труда, млн. руб./чел.	№ орг	Объем товаро-оборота, млн. руб.	= (Усрj - Уср)2	=(Усрj - Итого)2
1	1,000 – 1,080	1	30,000	(30,000 – 31,800)2 = 3,2400	(30,000 – 52,423)2 = 502,7909
		2	33,600	(33,600 – 31,800)2 = 3,2400	(33,600 – 52,423)2 = 354,3053
	ИТОГО по 1 группе	2	63,600	3,2400	857,0962
2	1,080 – 1,160	4	36,300	(36,300 - 40,067)2 = 14,1903	(36,300 - 52,423)2 = 259,9511
		20	38,500	(38,500 - 40,067)2 = 2,4555	(38,500 - 52,423)2 = 193,8499
		11	39,100	(39,100 - 40,067)2 = 0,9351	(39,100 - 52,423)2 = 177,5023
		9	41,400	(41,400 - 40,067)2 = 1,7769	(41,400 - 52,423)2 = 121,5065
		23	41,400	(41,400 - 40,067)2 = 1,7769	(41,400 - 52,423)2 = 121,5065
		17	43,700	(43,700 - 40,067)2 = 13,1987	(43,700 - 52,423)2 = 76,0907
	ИТОГО по 2 группе	6	240,400	5,7222	950,4070
3	1,160 – 1,240	6	46,800	(46,800 - 53,400)2 = 43,5600	(46,800 - 52,423)2 = 31,6181
		8	48,000	(48,000 - 53,400)2 = 29,1600	(48,000 - 52,423)2 = 19,5629
		10	49,200	(49,200 - 53,400)2 = 17,6400	(49,200 - 52,423)2 = 10,3877
		12	50,400	(50,400 - 53,400)2 = 9,0000	(50,400 - 52,423)2 = 4,0925
		14	51,600	(51,600 - 53,400)2 = 3,2400	(51,600 - 52,423)2 = 0,6773
		15	52,800	(52,800 - 53,400)2 = 0,3600	(52,800 - 52,423)2 = 0,1421
		18	54,000	(54,000 - 53,400)2 = 0,3600	(54,000 - 52,423)2 = 2,4869
		22	55,200	(55,200 - 53,400)2 = 3,2400	(55,200 - 52,423)2 = 7,7117
		24	56,400	(56,400 - 53,400)2 = 9,0000	(56,400 - 52,423)2 = 15,8165
		26	57,600	(57,600 - 53,400)2 = 17,6400	(57,600 - 52,423)2 = 26,8013
		29	58,800	(58,800 - 53,400)2 = 29,1600	(58,800 - 52,423)2 = 40,6661
		30	60,000	(60,000 - 53,400)2 = 43,5600	(60,000 - 52,423)2 = 57,4109
	ИТОГО по 3 группе	12	640,800	17,1600	217,3740
4	1,240 – 1,320	16	55,000	(55,000 - 59,414)2 = 19,4834	(55,000 - 52,423)2 = 6,6409
		13	57,500	(57,500 - 59,414)2 = 3,6634	(57,500 - 52,423)2 = 25,7759
		3	60,000	(60,000 - 59,414)2 = 0,3434	(60,000 - 52,423)2 = 57,4109
		21	60,000	(60,000 - 59,414)2 = 0,3434	(60,000 - 52,423)2 = 57,4109
		7	62,500	(62,500 - 59,414)2 = 9,5234	(62,500 - 52,423)2 = 101,5459
		19	54,600	(54,600 - 59,414)2 = 23,1746	(54,600 - 52,423)2 = 4,7393
		25	66,300	(66,300 - 59,414)2 = 47,4170	(66,300 - 52,423)2 = 192,5711
	ИТОГО по 4 группе	7	415,900	14,8498	446,0949
5	1,320 и более	5	64,800	(64,800 - 70,667)2 = 34,4217	(64,800 - 52,423)2 = 153,1901
		27	70,200	(70,200 - 70,667)2 = 0,2181	(70,200 - 52,423)2 = 316,0217
		28	77,000	(77,000 - 70,667)2 = 40,1069	(77,000 - 52,423)2 = 604,0289
	ИТОГО по 5 группе	3	212,000	24,9156	1073,2407
					=(857,0962+950,4070+217,3740+446,0949+1073,2407):30 = 118,1404

Межгрупповая дисперсия:

или 

Коэффициент детерминации

Эмпирическое  корреляционное отношение:

Вывод:

Между изучаемыми признаками имеет место корреляционная связь. Эмпирическое корреляционное отношение  η =0,9380 в соответствии со шкалой Чеддока  говорит о весьма тесной степени  связи изучаемых признаков. Коэффициент  детерминации η² =0,8799 (или 87,99%) показывает, что изменение производительности труда обуславливает изменение объема товарооборота на 87,99%

 

Задание 3.

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,954 определите:

1. Ошибку выборки средней производительности труда и границы, в которых будет находиться средняя производительность труда в генеральной совокупности.
2. Ошибку выборки доли организаций с уровнем производительности труда 1,300 млн.руб./чел. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

 

РЕШЕНИЕ:

Доля типической выборки 10%: m= = 0,1

р = 0,954

t = 2

1. 1,208 млн. руб./чел.

σ = ±0,0835

σ²= 0,0070

     

млн.руб./чел

 

 

Вывод: Ошибка выборки средней производительности труда составляет 0,029 млн.руб./чел. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя производительность труда в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 1,179 млн.руб./чел. до 1,237 млн.руб./чел.

2. m = 5 (число единиц, обладающих данным признаком)

 или 16,7%

 

Вывод: Ошибка выборки доли организаций с уровнем производительности труда 1,300 млн.руб./чел. и более составляет 12,92%. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что генеральная доля будет находиться в пределах от 3,8% до 29,6%.

Задание 4.

Имеются следующие данные по двум организациям за два периода:

№ предприятия	Выпуск продукции, млн. руб.		Среднесписочная численность  работников, чел.
	Базисный период (q0)	Отчетный период (q1)	Базисный период (T0)	Отчетный период (T1)
1	14 400	15 800	120	100
2	9 600	10 800	80	80