Группировка статических материалов. Средние величины

б) для вариационного  ряда

.                                            (2.6)

Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем откланяются конкретные варианты от их среднего значения.

Коэффициент вариации (γ) – выражен в % отношении среднего квадратического отклонения  к средней арифметической

.                                                 (2.7)

Совокупность считается  количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.

 

 

Правило сложения дисперсий

Общая дисперсия ( ) измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием факторов, обусловивших эту вариацию.

Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общей средней и может быть вычислена как простая по (формуле 2.3) или взвешенная дисперсия (по формуле 2.4).

Межгрупповая  дисперсия (δ²) характеризует систематическую вариацию результативного порядка, обусловленную влиянием факторного признака, положенного в основание группировки.

Определение по формуле

δ²

,                                       (2.8)

где x_i – средняя по каждой группе;

     x_об – средняя по совокупности

Внутригрупповая дисперсия ( ) отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки

а) внутригрупповая дисперсия для негруппированных данных может быть исчислена по формуле

,                                           (2.9)

б) для сгруппированных  данных

.                                    (2.10)

На основании внутригрупповой  дисперсии  можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий

                        .

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий

                        .

Пример 3

Вычислить показатели вариации (s² ,s, d, R, ) по следующим исходным данным (табл.4).

 

Таблица 4- Распределение  рабочих-сдельщиков n-го цеха по фактической выработке деталей

Дневная выработка деталей, шт.	Число рабочих-сдельщиков, чел.
8 9 10 11 12	29 33 79 47 12	232 297 790 517 144	-1,9 -0,9 0,1 1,1 2,1	55,1 29,7 7,9 51,7 25,2	104,69 26,73 0,79 56,87 52,92
Итого:	200	1980	–	169,6	242,0

1)Находим  среднюю  по совокупности

 

 

 

2) Размах вариации    R = X_max – X_min ,   R = 12 – 8 = 4 шт.

3) Среднее линейное отклонение   d = = = 0,848 шт.

Сравниваем отклонение с величиной  Среднее отклонение вариантов признака от их средней величины несущественное, следовательно, совокупность в отношении признака однородна, а средняя  типична для данной совокупности.

3)   ;   4)  

Среднее квадратическое отклонение невелико по сравнению с  Вывод тот же, что и при определении среднего линейного отклонения.

5) Коэффициент вариации  , 

следовательно, совокупность однородна.

 

Пример 4

Имеется производительность труда двух групп рабочих n-го цеха (табл.5).

 

 

Таблица 5 -Производительность труда 2-х групп рабочих n-го цеха

Показатель	Рабочие, прошедшие техническое  обучение					Рабочие, не прошедшие    техническое обучение
Выработка, дет./см.	84	93	95	101	102	62	68	82	88	105
Число рабочих, чел.	1	2	1	4	2	2	2	3	2	1

Рассчитать три вида дисперсии, проверить правило сложения дисперсий.

Решение

Производительность труда  – результативный признак. Численность – это частота.

Определим средние значения производительности труда

1) групповые средние

 дет.

 дет.

2) общая средняя     дет.

Определим внутригрупповые дисперсии (всего две группы, следовательно, дисперсий будет тоже две)

 

  =

  =

 

Межгрупповая дисперсия (

Средняя из внутригрупповых

Общая дисперсия, рассчитанная с использованием правила сложения дисперсий, имеет следующее значение

Общая дисперсия, рассчитанная по базовой формуле, дает тот же результат

Эмпирическое  корреляционное соотношение

Вывод: Фактор технического обучения объясняет 66,1% вариации производительности труда.

 

3. Статистическое  исследование связей между явлениями

 

Корреляция -  это статическая зависимость между случайными величинами, не имеющая строго функционального характера, при котором изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.

Корреляционная  связь- это связь, при которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено изменением факторных признаков.

Факторный признак- это признак, обуславливающий изменение других, связанных с ними признаков, а признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, являются результативными.

По степени тесноты связи различают количественные критерии оценки тесноты связи (табл.6)

 

Величина коэффициента корреляции	Характер связи
До ± 0.3	Практически отсутствует
± 0.3 -  ± 0.5	слабая
± 0.5 - ± 0.7	умеренная
± 0.7 - ± 1.0	сильная

 

Для изучения корреляционной связи применяют метод аналитической группировки. Чтобы выявить зависимость с помощью этого метода, нужно провести группировку единиц совокупности по факторному признаку, и для каждой группы вычислить среднее значение результативного признака.

По аналитическому выражению выделяют прямолинейные (линейные) и нелинейные. Если статистическая связь между явлениями может быть приближенно выражена уравнением прямой линии, то ее называют линейной связью; если же она выражается уравнением кривой линии, то такую связь называют криволинейной.

Помимо метода аналитических группировок для оценки тесноты связи применяется такой показатель как линейный коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле 

,                                 (3.1)

где x- отдельные значения факторного признака, положенного в основание    группировки;

       - среднее значение факторного признака;

        y - отдельные значения результативного признака;

        - среднее значение результативного признака;

         n - число наблюдений.

Для практических вычислений при  малом числе наблюдений линейный коэффициент корреляции исчисляют  по формуле 

. (3.2)

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале -1£  r ³  1.

Отрицательное значение указывает на обратную связь, положительное - на прямую. При r = 0 – линейная связь отсутствует. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине = 1, тем теснее связь между признаками. При r =± 1 связь - функциональная.

 

     Пример 5

По пяти однотипным предприятиям (табл.7) имеются следующие данные о выпуске  продукции (х) в тыс. ед. и о расходе  условного топлива (y) в тоннах.

Таблица 7- Данные о выпуске продукции  и расходе топлива

 

х.	5	6	8	8	10
y	4	4	6	5	7

 

 

С помощью линейного  коэффициента корреляции определить наличие  связи между расходом топлива  и выпуском продукции.

Решение:

1. Построим макет таблицы

 

х	y			хy
5	4	25	16	20
6	4	36	16	24
8	6	64	36	48
8	5	64	25	40
10	7	100	49	70
37	26	289	146	202

             r = = = 0.77

 

Вывод: Связь между  выпуском продукции и                                            расходом топлива – сильная.

 

4. Ряды динамики.

 

Ряды динамики – это ряды с изменяющимися во времени значениями статистических показателей, расположенных в хронологическом порядке.

Составными элементами ряда динамики являются показатели уровней ряда и периоды времени (года, кварталы, месяцы, сутки) или моменты (даты) времени.

Уровни ряда обычно обозначаются через “у”, моменты или периоды  времени, к которым относятся  уровни, - через  “t ”.

Анализ интенсивности  изменения во времени осуществляется с помощью показателей, получаемых в результате сравнения уровней. К таким показателям относятся:

- абсолютный прирост;

- темп роста;

 - темп прироста.

Показатели анализа  динамики могут вычисляться на постоянной и переменной базах сравнения. При  этом принято называть сравниваемый уровень отчетным, а уровень, с которым производится сравнение - базисным.

Для расчета показателей  анализа динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с  одним и тем же базисным уровнем. В качестве базисного выбирается либо первоначальный уровень, в ряду динамики, либо какой-то новый этап развития явления. Такие показатели называются  базисными.

Для расчета показателей  анализа динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные  таким образом показатели анализа  называются цепными.

Абсолютный  прирост (сокращение) характеризует увеличение или уменьшение уровня ряда за определенный промежуток времени.

Для характеристики интенсивности, т.е. относительного уменьшения, уровня динамического ряда за к.л. период времени, исчисляют темпы роста (снижение). Интенсивность изменения уровня оценивается отношением отчетного уровня к базисному.

Показатель интенсивности  изменения уровня ряда выраженный в  долях единицы, называется  коэффициентом роста, а в процентах – темпом роста. Эти показатели изменения отличаются только единицами измерения.

Коэффициент роста (снижения) показывает, во сколько раз сравниваемый уровень больше уровня, с которым  производится сравнение.

Темп роста всегда представляет собой положительное  число.

Относительную оценку скорости измерения уровня ряда динамики в единицу времени дают показатели темпа прироста (сокращения).

Темп прироста (сокращения) показывает, на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше уровня, принятого за базу сравнения, и вычисляется как отношение абсолютного прироста к абсолютному уровню, принятому  за базу сравнения.

Темп прироста может  быть положительным, отрицательным  или равным нулю, и выражается в  процентах или долях единицы (коэффициент  прироста).

Показатели изменения  уровней ряда динамики могут быть исчислены по формулам

Абсолютный прирост