Анализ вариационных рядов

Федеральное Агентство  по Образованию  РФ

Российская Международная Академия Туризма

Волжско-Камский филиал

 

 

 

Факультет менеджмента

 

Курсовой проект

 

 

по дисциплине: Статистика

тема: Анализ вариационных рядов

 

Выполнила:

Студент  3 курса,

33гр.

Евдокимов А.

Проверил:

к.ф.-м.н., доцент Банцарев К.Н.

 

 

 

 

 

г. Набережные Челны

2011 год

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Переход к рыночной экономике  наполняет новым содержанием  работу коммерсантов, экономистов и  менеджеров. Это предъявляет повышенные требования к уровню их статистической подготовки. Овладение статистической методологией – одно из непременных  условий познания конъюнктуры рынка, изучения тенденций и прогнозирования спроса и предложения, принятия оптимальных решений на всех уровнях управления, коммерческой деятельности на рынке товаров и услуг.

Цель курсового проекта  – изучить некоторые статистические методы: анализ вариационных рядов.

Исследование вариации в статистике и социально-экономических  исследованиях имеет важное значение, так как величина вариации признака в статистической совокупности характеризует  ее однородность.

В статистической практике для изучения и измерения вариации используются различные показатели (меры) вариации в зависимости от поставленных перед исследователем задач. При изучении вопроса о вариации нужно четко представлять себе условия, порождающие вариацию признаков. Следует также усвоить, что изучение вариации признаков общественных явлений находится в прямой связи с группировками, в частности с рядами распределения. Очень важно научиться свободно исчислять все показатели вариации. К ним относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), среднее квадратичное отклонение и коэффициент вариации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Вариационные ряды

 

Единицы изучаемой совокупности обладают интересующим нас признаком  в разной мере. Для каждой единицы  совокупности данный признак принимает различные значения, т.е. имеет некоторую вариацию.

Вариацией признака называется наличие различий в численных значениях признаков у отдельных единиц совокупности.

Чтобы выявить характер распределения единиц совокупности по варьирующим признакам, определить закономерности в этом распределении, строят ряды распределения единиц совокупностей по какому-либо варьирующему признаку.

Ряды распределения, построенные по количественному признаку, называются вариационными.

Форма статистических распределений может быть разнообразной, она зависит от характера изменения признака. В одних случаях значения признака концентрируются возле некоторого центра распределения очень тесно, в других случаях наблюдается значительное рассеивание, хотя средние величины могут быть одинаковыми. В связи с этим необходимо определить характер рассеивания признака.

С этой целью решают следующие  задачи. Во-первых, определяют меру вариации, т.е. количественно измеряют степень  колеблемости признака. Это позволяет  сравнить различные совокупности между собой по степени рассеивания и отслеживать уровень вариации признака одной и той же совокупности в различные периоды.

Во-вторых, для изучения изменчивости признаков выясняют причины, вызывающие вариацию, что предполагает исследование закономерностей вариации в статистических совокупностях.

 

 

1.1. Построение и графическое  изображение вариационных рядов

 

По своей конструкции  вариационный ряд состоит из двух столбцов (граф). В первом столбце приводятся индивидуальные значения признака – варианты – x_i. Во втором столбце содержатся:

• абсолютные числа, показывающие сколько раз в исходной совокупности встречается данное значение признака (данный  вариант). Их называют частотами – f_i .Сумма всех частот должна быть равна общей численности единиц в исходной совокупности;
• относительные числа, показывающие долю или удельный вес каждой группы в общей численности единиц исходной совокупности, их называют частостями – W: f_i (W_i). Сумма всех частостей должна быть равна 1 в долях или 100% в удельных весах.

Вариационные ряды по способу построения бывают двух видов: дискретные и интервальные.

Дискретный  ряд распределения можно рассматривать как такое преобразование ранжированного (упорядоченного) ряда, при котором перечисляются отдельные значения признака, и указывается их частота.

Общая схема ряда распределения  такова: в совокупности, состоящей  из N единиц, некоторая переменная величина x_i (т.е. какой-либо варьирующий признак) принимает различные значения, а каждое из этих значений  имеет частоту f_i. Исходя из этого, дискретный ряд распределения можно представить следующим образом (см. Таблица,1).

Однако приведенная  схема вариационного ряда применима  лишь для тех случаев, когда варьирующий  признак может принимать небольшое  количество значений, т.е. когда число вариантов невелико. Если же вариантов много, невозможно образовать группы для каждого из них. Число групп не должно превышать 12-15 (при достаточно большом числе наблюдений, например, свыше 500), в противном случае вариационный ряд становится слишком громоздким.

Таблица,1

Вариант, xi	Частота, fi
x1 x2 . . . . xn .	f1 f2 . . . fn
Итого	i (или N)

 

Если число вариантов велико или признак имеет непрерывную  вариацию, то объединение отдельных  наблюдений в группы возможно лишь на базе интервала, т.е. такой группы, которая имеет определенные приделы значений варьирующего признака. Эти пределы обозначаются двумя числами, они указывают верхнюю и нижнюю границы, т.е. значение, с которого начинается данная группа, и значение, на котором она заканчивается. При использовании интервалов образуются интервальные ряды распределения. Строя интервальный вариационный ряд, определяют прежде всего число групп, на которую следует разбить всю совокупность. Чем больше групп, тем уже будет интервал и тем точнее описание распределения. Однако слишком большое число групп затрудняет понимание характера вариации. Вопрос о числе групп следует решать в каждом случае особо в зависимости от изучаемого объекта, объема совокупности. Чаще всего строят вариационные ряды из 7-10 групп.

Для определения числа групп, на которые делят совокупность, используют формулу Стерджесса:

k= 1 + 3,322*lgN, где N - общее число единиц совокупности.

По формуле Стерджесса можно определить и длину интервала i.

, где x_max - x_min - размах вариации.

Применение формулы  Стерджесса не всегда дает хорошие  результаты.

Интервалы могут быть закрытые и открытые. Закрытые интервалы ограничены с обеих сторон, т.е. имеют границу как нижнюю («от»), так и верхнюю («до»). Открытые интервалы имеют какую-либо одну границу: либо верхнюю, либо нижнюю. Наличие открытых интервалов хотя и нежелательно, но тем не менее почти неизбежно, так как ради компактности ряда все крайние случае необходимо сводить в одну группу. Однако, признавая неизбежность образования открытых интервалов, следует подчеркнуть, что они не должны включать в себя значительную часть общего числа наблюдений, иначе описание всего распределение будет недостаточно точным.

Для анализа структуры  совокупности и расчета обобщающих характеристик необходимо дополнять исходную таблицу несколькими дополнительными колонками (графами), в которых указываются такие элементы вариационного ряда, как середина интервала и накопленная частота.

Середину интервала для интервального ряда, в котором верхние и нижние границы соседних интервалов совпадают, находят как  полусумму  нижнего и верхнего значений интервала. Что касается открытых интервалов, то длина первого интервала приравнивается условно к длине второго, а центральным вариантом последнего интервала обычно служит сумма его нижнего значения и половины предпоследнего интервала.

Любое распределение  можно охарактеризовать с помощью  накопленных частот. Накопленная частота показывает число единиц совокупности, у которых значение варианта не больше данного. Накопленная частота для данного варианта  или для верхней границы данного интервала получается суммированием (накапливанием) частот всех предшествующих интервалов, включая данный.

Графически вариационный ряд можно изобразить, как и любой ряд значений аргумента и функции, используя прямоугольную систему координат и строя точки с координатами (х₁, f₁), (x₂, f₂), … (x_n, f_n). Если затем последовательно соединить полученные точки отрезками прямой, а из первой и последней точки опустить перпендикуляры на ось х, получим замкнутую фигуру в виде многоугольника, которая называется полигоном и графически представляет распределение совокупности по признаку х. Полигон чаще используется для дискретных вариационных рядов.

Интервальный вариационный ряд изображают в виде гистограммы. Для ряда с равными интервалами на оси х откладывают отрезки, равные длине интервала. На этих отрезках, как на основаниях, строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частоте или частости. Площадь всей гистограммы численно равна сумме частот, или численности единиц в совокупности (если на оси ординат отложить частоты).

Любой вариационный ряд  можно представить графически в  виде прямой накопленных частот. При  этом на оси х откладывают варианты или верхние границы интервалов, а на оси у – соответствующие накопленные частоты. Полученные точки соединяют для непрерывного признака плавной кривой, которая называется кумулятивной кривой. Можно построить кумулятивное распределение «не меньше чем», а можно «больше чем». В первом случае график кумулятивного распределения называется кумулятой, во втором – огивой.

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Основные показатели среднего  уровня вариационного ряда

 

При изучении особенностей статистического распределения  прежде всего следует найти его  центральное значение, т.е. средний уровень. Для характеристики центра распределения применяются показатели, получившие название средних величин.

В статистике применяются  различные виды (формы) средних величин. Форму средней выбирают исходя из экономической сущности осредняемого признака. Самый распространенный вид средних -  средняя арифметическая: простая или взвешенная.

Средняя арифметическая простая:

, где n - численность совокупности.

Применяется, когда объем  совокупности представляет сумму всех индивидуальных значений варьирующего признака.

Для интервального вариационного  ряда расчет средней арифметической должен быть выполнен по формуле средней  арифметической взвешенной. Взвешивание  – это лишь технический прием, посредством которого суммирование одинаковых значений заменяется умножением этих значений на их частоты.

Средняя арифметическая взвешенная:

 

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными, а относительными величинами (в процентах или долях единицы). При этом упрощаются расчеты, так как  составляет единицу или 100%. При замене частот на частости средняя величина характеристики не изменится, а формула примет следующий вид:

Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

1. Средняя арифметическая постоянной величины а равна этой же постоянной величине: .

2. Сумма отклонений значений вариантов от средней равна нулю:

(если частоты равны единице);

(если частоты различны).

3. Если из всех вариантов х_i вычесть постоянную величину х₀ и на основе разностей вычислить среднюю , то она будет меньше средней исходного ряда на эту постоянную величину. Поэтому, чтобы получить среднюю из исходных вариантов, необходимо к средней прибавить ту же постоянную величину х₀: .
4. Если все варианты х_i разделить на постоянную величину i и из частных ( ) вычислить среднюю, то она будет меньше средней исходного ряда в h раз. Для того чтобы получить среднюю из исходных вариантов, нужно среднюю умножить на эту же постоянную величину i: .
5. Если у всех вариантов х_i частоты f_i равны друг другу, то средняя арифметическая взвешенная равна средней арифметической простой.