Анализ и прогнозирования временного ряда развития Тюменской области

Для определения параметров аналитического уравнения при выравнивании данного ряда можно использовать МНК. Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид (2.8):

 

                                          

                                    (2.8)

 

В данном случае отсчет времени  ведется от середины ряда, так как  число уровней ряда четное (n=10). Два серединных момента следует обозначить как -1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через . Следовательно сумма показателей времени будет равна нулю ( ) и система нормальных уравнений преобразуется следующим образом (2.9):

 

                                 

                                    (2.9)

 

 

 Расчеты параметров уравнений прямой приведены в Табл.2.4:

 

Таблица 2.4

 

Расчет теоретических  уровней линейного тренда от середины ряда

 

Год	Численность населения, тыс.чел. yi	Условные обозначения  периодов, ti	ti2	yiti	Выравненные уровни,
1	2	3	4	5	6
1995	3187	-5	25	-15935	3199,36
1996	3197	-4	16	-12788	3208,36
1997	3228	-3	9	-9684	3217,37
1998	3244	-2	4	-6488	3226,38
1999	3237	-1	1	-3237	3235,39
2000	3254	1	1	3254	3253,41
2001	3272	2	4	6544	3262,42
2002	3265	3	9	9795	3271,43
2003	3270	4	16	13080	3280,44
2004	3290	5	25	16450	3289,45
Итого	32444	0	110	991	32444,01

 

Подставив данные суммы (графы 2, 4, и 5) в указанные уравнения можно получить, при n=14, следующие результаты:

 

                              

 

По рассчитанным параметрам записывается уравнение прямой ряда динамики:

 

(2.10)

 

 

В графе 6 Табл.2.4 приведены теоретические уровни, рассчитанные по уравнению (2.10) (путем подстановки в него значений t_i).

Правильность расчета  уровней выравниваемого ряда динамики может быть проверена следующим  образом: сумма значений эмпирического  ряда должна совпадать с суммой вычисленных уровней выравненного ряда, т.е. (итоги гр. 2 и 6).

Коэффициент регрессии  в уравнении (2.10) равен  и характеризует среднее годовое изменение (уменьшение) численности населения Тюменской области за 1995-2004 гг.

2. Выравнивание по параболе второго порядка.

Нужно определить аналитическое  выравнивание, иными словами составить  уравнение тренда, по данным о среднедушевых  денежных доходах населения Тюменской  области за 1995-2004 гг. В качестве гипотетической функции теоретических уровней можно принять прямую .

Параметры искомого уравнения  тренда ( ) находятся при решении системы нормальных уравнений, полученных методом наименьших квадратов (МНК). Отсчет уровней, как и в предыдущем случае, ведется от середины ряда. Необходимые расчеты приведены в Табл.2.5.

Следовательно сумма  показателей времени будет равна  нулю ( ) и система нормальных уравнений преобразуется следующим образом (2.11):

 

      

            (2.11)

При подстановке в (2.11) рассчитанных значений, которые получены в Табл.2.5, получаются следующие результаты:

 

Затем несложно найти  :

 

При совместном решении  первого и третьего уравнения  системы можно найти: и

После нахождения всех искомых  параметров можно составить уравнение  тренда (2.12):

 

(2.12) 
 

В графе 8 Табл.2.5 приведены  теоретические уровни, рассчитанные по уравнению (2.12) (путем подстановки в него значений t_i).

 

Таблица 2.5

 

Выравнивание ряда динамки  по параболе второго порядка от середины ряда

 

Год	Среднедушевые денежные доходы населения, тыс.руб. yi	Условные обозначения  периодов, ti	ti2	ti4	yiti	yiti2	Выравненные уровни,
1	2	3	4	5	6	7	8
1995	1085	-5	25	625	-5425	27125	1190,24
1996	1202	-4	16	256	-4808	19232	1128,48
1997	1284	-3	9	81	-3852	11556	1089,84
1998	1034	-2	4	16	-2068	4136	1074,32
1999	917	-1	1	1	-917	917	1081,92
2000	1122	1	1	1	1122	1122	1166,48
2001	1319	2	4	16	2638	5276	1243,44
2002	1355	3	9	81	4065	12195	1343,52
2003	1504	4	16	256	6016	24064	1466,72
2004	1576	5	25	625	7880	39400	1613,04
Итого	12398	0	110	1958	4651	145023	12398

 

Сравнивая теоретические  уровни с эмпирическими, можно отметить, что они очень схожи, а их суммы равны. Таким образом, парабола второго порядка является подходящей функцией для отражения основной тенденции изменения уровней (тренда)  за исследуемый промежуток времени.

 

2.2. Измерение колеблемости  в рядах динамики

 

Если рассматривать  динамические ряды месячных уровней  производства молока, мяса, ряды объема продаж разных видов обуви или одежды, ряды заболеваемости населения, выявляются регулярно повторяющиеся из года в год сезонные колебания уровней. В силу солнечно-земных связей частота полярных сияний, интенсивность гроз, те же изменения урожайности отдельных сельскохозяйственных культур и ряд других процессов имеют тциклическую 10–11 летнюю колеблемость. Колебания числа рождений, связанные с потерями в войне, повторяются с угасающей амплитудой через поколения, то есть через 20–25 лет.

Тенденция динамики связана  с действием долговременно существующих факторов, причин и условий развития, хотя, после какого-то периода условия могут измениться и породить уже другую тенденцию развития изучаемого объекта. Колебания же, напротив, связаны с действиями краткосрочных или циклических факторов, влияющих на отдельные уровни динамического ряда, и отклоняющих уровни тенденции то в одном, то в другом направлении.

При статистическом изучении динамики необходимо четко разделить  два ее основных элемента – тенденцию  и колеблемость, чтобы дать каждому  из них количественную характеристику с помощью специальных показателей.

Выделяют следующие типы колебаний уровней ряда:

• тренд (является долговременной компонентой ряда динамики);
• циклические колебания (являются долгопериодическими);
• сезонные колебания (обнаруживаются в рядах, где данные приведены за кварталы или месяцы);
• случайные колебания (обнаруживаются в результате действия большого числа относительно слабых второстепенных факторов).

При измерении колеблемости уровней в рядах динамики могут  использоваться следующие показатели:

1. Размах, или амплитуда, отклонений отдельных уровней от их средне<span class="dash041e_0431_044b_0447_043d_044b_0439_0020_