Анализ динамики объемов экспорта и импорта Бразилии за период с 1977 по 2008 гг

I период:

Рис.14. Динамика объемов экспорта Бразилии за период с 1981 по 2000 гг.

Рис.15. Динамика объемов импорта Бразилии за период с 1981 по 2000 гг.

II период:

Рис.16. Динамика объемов экспорта Бразилии за период с 2001 по 2007 гг.

Рис.17. Динамика объемов импорта Бразилии за период с 2001 по 2007 гг.

 

Выявление и анализ основной тенденции временного ряда

Выравнивание по скользящей средней

Одной из важнейших задач статистического анализа рядов динамики является выявление и описание основной тенденции развития изучаемого явления, закономерности изменения уровней ряда. Основная тенденция развития того или иного явления складывается под воздействием долговременно действующих внутренних и внешних причин и условий, благодаря которым, в основном, формируется величина уровня ряда. При анализе рядов динамики могут быть выделены четыре компоненты, формирующие уровни:

,  

где   T – главная компонента, отражающая основную тенденцию развития, так называемый тренд; C – циклическая (конъюнктурная) компонента; S – сезонная компонента; e – случайная компонента.

Для выявления и анализа  общей тенденции развития изучаемого явления необходимо абстрагироваться от влияния нетрендовых факторов. Достичь этого, в определенной степени, позволяют приемы сглаживания или выравнивания временного ряда.

Один из наиболее простых  приемов сглаживания заключается  в расчете скользящих, или, как  иногда их называют, подвижных средних. Применение последних, позволяет сгладить периодические и случайные колебания и тем самым выявить присутствующую в развитии тенденцию.

Пусть динамический ряд  состоит из уровней y_t, t = 1, ..., n. Для каждых m последовательных уровней этого ряда (т < n) можно подсчитать среднюю величину. Вычислив значение средней для первых т уровней, переходят к расчету средней для уровней y₂, ..., y_т+i, затем y₃, ..., y_m+2 и т. д. Таким образом, интервал сглаживания, т. е. интервал, для которого подсчитывается средняя, как бы скользит по динамическому ряду с шагом, равным единице. Если т нечетное число, а предпочтительнее брать именно нечетное число уровней, поскольку в этом случае расчетное значение уровня окажется в центре интервала сглаживания и им легко заменить конкретное фактическое значение, то для определения скользящей средней можно записать следующую формулу:

                                  ,                               

где –  значение скользящей средней для момента t, y_i – фактическое значение уровня в момент i; i – порядковый номер уровня в интервале сглаживания; m – интервал сглаживания (период скольжения).          

Величина р легко определяется из продолжительности интервала сглаживания. Поскольку т = 2р + 1 при нечетном т, то

.

Проведем сглаживание  динамического ряда 3-х и 7-и членными скользящими средними. На рис. 20показано сглаживание динамического ряда экспорта Бразилии за весь период (с 1977 по 2007 гг.), соответственно, 3-х и 7-и членными скользящими средними. А на рис. 21 – сглаживание динамического ряда импорта Бразилии за тот же период, соответственно, 3-х и 7-и членными скользящими средними.

Рис.20. Сглаживание динамического ряда экспорта 3-х м 7ми членными скользящими средними

 

Рис.21. Сглаживание динамического ряда импорта 3-х и 7ми членными скользящими средними

 

На представленных графиках отчетливо видно, что выравнивание с периодом скольжения семь лет лучшие сглаживает динамический ряд.

Простые скользящие средние — относительно грубый статистический прием выявления тенденции. В ряде случаев сглаживание с помощью простой скользящей средней оказывается настолько сильным, что тенденция развития проявляется лишь в самом общем виде, а отдельные важные для экономического анализа детали теряются. Часто после сглаживания мелкие волны или вообще исчезают, или меняют свой знак, т. е. вместо выпуклого участка на кривой получают вогнутый, и наоборот.

Более тонкий прием, базирующийся на той же самой идее, что и  простые скользящие средние, заключается в применении взвешенных скользящих средних, экспоненциального сглаживания. Поскольку процедура экспоненциального сглаживания чаще используется при решении задач прогнозирования.

 

Аналитическое сглаживание  временного ряда. Уравнение тренда.

Кривые роста, описывающие  закономерности развития явлений во времени – это результат аналитического выравнивания динамических рядов. Выравнивание ряда с помощью тех или иных функций в большинстве случаев  оказывается удобным средством  описания эмпирических данных. Это средство при соблюдении ряда условий можно применить и для прогнозирования. Процесс выравнивания состоит из следующих основных этапов:

- выбора типа кривой, форма которой соответствует  характеру изменения динамического  ряда;

- определения численных значений (оценка) параметров кривой;

- апостериорного контроля  качества выбранного тренда.

Аналитическое сглаживание  с использованием той или иной функции позволяет получить выровненные, или, как их иногда не вполне правомерно называют, теоретические значения уровней динамического ряда, т. е. уровни, которые наблюдались бы, если бы динамика явления полностью совпадала с кривой. Эта же функция с некоторой корректировкой или без нее, применяется в качестве модели для экстраполяции (прогноза).

 Вопрос о выборе  типа кривой является основным  при выравнивании ряда. При всех  прочих равных условиях ошибка  в решении этого вопроса оказывается  более значимой по своим последствиям (особенно для прогнозирования), чем ошибка, связанная со статистическим оцениванием параметров.

Поскольку форма тренда объективно существует, то при выявлении  ее следует исходить из материальной природы изучаемого явления, исследуя внутренние причины его развития, а также внешние условия и  факторы на него влияющие. Только после глубокого содержательного анализа можно переходить к использованию специальных приемов, разработанных статистикой.

Весьма распространенным приемом выявления формы тренда является графическое изображение  временного ряда. Но при этом велико влияние субъективного фактора, даже при отображении выровненных уровней.

Наиболее надежные методы выбора уравнения тренда основаны на свойствах различных кривых, применяемых  при аналитическом выравнивании. Такой подход позволяет увязать  тип тренда с теми или иными  качественными свойствами развития явления. Нам представляется, что в большинстве случаев практически приемлемым является метод, который основывается на сравнении характеристик изменения приростов исследуемого динамического ряда с соответствующими характеристиками кривых роста. Для выравнивания выбирается та кривая, закон изменения прироста которой наиболее близок к закономерности изменения фактических данных.

При выборе формы кривой надо иметь в виду еще одно обстоятельство. Рост сложности кривой в целом  ряде случаев может действительно  увеличить точность описания тренда в прошлом, однако в связи с тем, что более сложные кривые содержат большее число параметров и более высокие степени независимой переменной, их доверительные интервалы будут, в общем, существенно шире, чем у более простых кривых при одном и том же периоде упреждения.

В настоящее время, когда  использование специальных программ без особых усилий позволяет одновременно строить несколько видов уравнений, широко эксплуатируются формальные статистические критерии для определения  лучшего уравнения тренда.

Из сказанного выше, по-видимому, можно сделать вывод о том, что выбор формы кривой для выравнивания представляет собой задачу, которая не решается однозначно, а сводится к получению ряда альтернатив. Окончательный выбор не может лежать в области формального анализа, тем более, если предполагается с помощью выравнивания не только статистически описать закономерность поведения уровня в прошлом, но и экстраполировать найденную закономерность в будущее.

Рассмотрим наиболее используемые типы уравнений тренда:

1. Линейная форма тренда:

                                           ,                                           

где – уровень ряда, полученный в результате выравнивания по прямой; – начальный уровень тренда; – средний абсолютный прирост, константа тренда.

Для линейной формы тренда характерно равенство так называемых первых разностей (абсолютных приростов) и нулевые вторые разности, т. е. ускорения.

 

2. Параболическая (полином  2-ой степени) форма тренда:

                                                                           

Для данного типа кривой постоянными являются вторые разности (ускорение), а нулевыми – третьи разности.

Параболическая форма  тренда соответствует ускоренному или замедленному изменению уровней ряда с постоянным ускорением. Если < 0 и > 0, то квадратическая парабола имеет максимум, если > 0 и < 0 – минимум. Для отыскания экстремума первую производную параболы по t приравнивают 0 и решают уравнение относительно t.

 

3. Экспоненциальная форма тренда

                                                 

4. Степенная форма  тренда:

 

                                                                                         

5. Полином 3-ей степени:

                                          

              

 

Экспорт, первый период

Линейная форма тренда

Proportion of variance accounted for: ,92583664    R =,96220406

 

 

Рис.23. Результаты расчета параметров линейной модели тренда

В таблице на рис.23 названия столбцов означают следующее:

Estimate – числовые значения параметров уравнения;

Standard еrror – стандартная ошибка параметра;

t-value – расчетное значение t-критерия;

df – число степеней свободы (n-2);

p-level – расчетный уровень значимости;

Lo. Conf. Limit и Up. Conf. Limit – соответственно нижняя и верхняя граница доверительных интервалов для параметров уравнения с установленной вероятностью (указана как Level of Confidence в верхнем поле таблицы).

Таким образом, уравнение  линейной модели регрессии имеет  вид:

Yt=16,37692 + 1,85413*t

 

Рис.24. Результаты дисперсионного анализа линейной модели тренда

В верхней заголовочной строке таблицы на рис.24. выдаются пять оценок:

Sum of Squares – сумма квадратов отклонений;

df – число степеней свободы;

Mean Squares – средний квадрат;

F-value – критерий Фишера;

p-value – расчетный уровень значимости F-критерия.

В левом столбце указывается  источник вариации:

Regression – квадраты теоретических (полученных по тренда) значений признака;

Residual – отклонения фактических значений от теоретических (полученных по уравнению тренда);

Total – отклонения фактических значений от их средней величины.

На пересечении столбцов и строк получаем однозначно определенные показатели:

Regression / Sum of Squares – сумма квадратов прогнозных значений;

Residual / Sum of Squares – сумма квадратов отклонений теоретических и фактических значений (для расчета остаточной, необъясненной дисперсии);

Total / Sum of Squares – сумма первой и второй строчки (сумма квадратов фактических значений);

Corrected Total / Sum of Squares – сумма квадратов отклонений фактических значений от средней величины (для расчета общей дисперсии);

Regression vs. Corrected Total / Sum of Squares – повторение первой строчки;

Regression / Mean Squares – сумма квадратов прогнозных значений, деленная на число степеней свободы;

Residual / Mean Squares – остаточная, необъясненная дисперсия;

Regression vs. Corrected Total / Mean Squares – повторение первой строчки;

Regression / F-value – расчетное значение F-критерия.

 

 

Представим таблицу наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для линейной модели тренда.

 

Рис.25. Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для линейной модели тренда

Столбцы таблицы на рис.25 означают следующее:

Observed – наблюдаемые значения (то есть уровни исходного динамического ряда);

Predicted – прогнозные значения (полученные по уравнению тренда для данных моментов времени);

Residuals – остатки (разница между фактическими и прогнозными значениями).

Далее целесообразно  построить графическое изображение, на котором линия линейного тренда будет наложена на исходный динамический ряд – это позволит визуально оценить степень соответствия.

Рис.26. Исходный динамический ряд и линейный тренд

Аналогичным образом  построим другие уравнения тренда.

Параболическая (полином 2-ой степени) форма тренда

На рис.27 и 28 представлены, соответственно, результаты расчета параметров и результаты дисперсионного анализа полинома 2-й степени.

Proportion of variance accounted for: ,93872153    R =,96887643

Рис.27. Результаты расчета параметров полинома 2-й степени

Таким образом, полином 2-й  степени имеет вид: