Гармоникалық тербеліс

Гармоникалық тербеліс

Гармоникалық тербелмелі қозғалыс деп нүкте қозғалысының тепе-теңдік қалпынан ауытқу шамасының синусоида немесе  косинусоида  бойымен  периодты түрде қайталанып отыруын айтамыз.

Егер тербелістегі нүктенің тепе-теңдік қалпынан ауытқу шамасын х арқылы белгілесек, онда осы ауытқудың уақытқа  байланысты өзгеруі мына формуламен (28-сурет)өрнектеледі:

немесе                                                                                      (7.31.1)

Енді қозғалыстағы нүктенің кинематикасын қарастырайық. А нүктесі радиусы R шеңбер бойымен тұрақты ω бұрыштық жылдамдықпен сағат тіліне қарсы бағытта бірқалыпты қозғалсын (32-сурет).

Егер алғашқы t=0 уақыт мезетінде оның орны K₀-ге сәйкес келсе, онда нүкте t уақыттан кейін шеңбер бойымен қозғала отырып φ=ωt бұрышына бұрылады.

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 
                                                

 

 

                                              

 

K₁ нүктесінің X және Y осьтеріндегі проекцияларын  М және N арқылы белгілейік. K₁ нүктесі шеңбер бойымен қозғалғандықтан M,N нүктелері X,Y осьтері бойынша периодты түрде қайталанып орын ауыстырады. Сөйтіп, M,N нүктелері О  нүктесінің маңында X,Y осьтері бойымен тербелмелі қозғалыс жасайды. Олай болса, М және N нүктелерінің уақытқа байланысты ауытқуы (7.31.1)-формулалар бойынша анықталады, яғни 32-суретте көрсетілгендей, бұл формулаларды мына түрде жазуға болады: 

Егер t=0 мезетте тербелістегі нүкте өзінің тепе-теңдік қалпында болмаса, онда оның алғашқы фазасы (φ₀) туралы сөз болады. Сонда соңғы теңдеулер (7.31.1) формулаға ұқсас болып шығады. 

Сонымен, егер нүкте шеңбер бойымен бірқалыпты айналмалы қозғалатын болса, онда оның диаметрге түсірілген проекциялары сол диаметр бойымен гармоникалық тербелмелі қозғалыс жасайды. Бұл айтылған пікір гармоникалық тербелмелі қозғалыстың кинематикалық анықтамасын сипаттайды. 

Тербелістегі нүктенің тепе-теңдік қалпынан ең үлкен ауытқуын оның амплитудасы (А) деп атайды. Ал тербеліс периодына кері шама тербеліс периодының жиілігі (v) делінеді. Бұл шама бірлік уақыт ішіндегі тербеліс санын көрсетеді. Егер нүкте шеңберді  толық бір айналып шықса, онда φ=2Ү  , олай болса бұрыштық жылдамдық мына түрде жазылады:

өйткені v=1/T тең. Сонымен (99)       формуладағы А – тербелістегі нүктенің амплитудасы,   - оның фазасы. Ал φ ₀- тербелістің алғашқы фазасы.

Енді гармоникалық тербелмелі қозғалыс жасайтын нүктенің жылдамдығы мен үдеуін анықтайық. Ол үшін   және a=dv/dt ескеріп, (7.31.1) формуланы жазайық:

                                           (7.31.2) 

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

(7.31.2) формуладағы (-) таңбасы  үдеудің ауытқудыңбағытына қарама-қарсы екендігін көрсетеді.Сөйтіп, гармоникалық тербелістегі нүктенің жылдамдығы тепе-теңдік қалыптың маңына, ал үдеуі ауытқудың шеткі мәндерінде максимум мәніне ие болады.

Енді нүктенің қандай күштің әсерінен гармоникалық тербеліске келетіндігін табайық. Ньютонның екінші заңы бойынша F=ma (7.31.2) формуланы пайдаланып бұл теңдікті былай жазайық: 

                                             (7.31.3)

Бұдан тербелістегі нүктеге әсер етуші  күш оның ауытқу шамасына тура пропорционал және әрдайым тепе-теңдік қалыпқа  қарай бағытталады. Сондықтан мұндай күшті қайтарушы күш деп атайды. Олай болса, күштің периоды мен фазасы үдеудің периоды мен фазасына дәл келіп отырады.

Мысалы ретінде (7.31.3) теңдікті қанағаттандыратын  серпімді күштерді, яғни Гук заңы лайық:                                                        F=-kx                                                  (7.31.4)

мұндағы k=ma²-қа тең.

Егер тербеліс Х осінің бойымен түзу сызықты болады десек, онда үдеу a=d²x/dt²  болар еді. Сонда Ньютонның екінші заңы бойынша:                                   

                              (7.31.5)

Осы   (7.31.5) формула гармоникалық тербелмелі қозғалыстың дифференциал теңдеуі деп аталады.

Сонымен, гармоникалық тербеліске мынадай динамикалық анықтама беруге болады. Нүктенің гармоникалық тербелісі деп ауытқы шамасына пропорционал күштің әсерімен тепе-теңдік қалыптың маңында тербелетін және тербелістің орташа мәніне қарай бағытталған тербелісті айтамыз.    

 

Гармоникалық тербелістердің графиктері

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет

Гармоникалық тербелістегі шамалардың уақытқа тәуелділігін көрнекі түрде кескіндеу үшін графиктік тәсілді қолданған ыңғайлы. Егер масштаб белгілі болса, гармоникалық тербелістердің графигінен тербелістің негізгі сипаттамаларын анықтауға болады. Электромагниттік тербелістердің: зарядтың, ток күшінің және ток күшінің өзгеру жылдамдығының уақытқа тәуелділік графиктерін салайық. Ол үшін зерттеліп отырған шама уақыттың функциясы ретінде берілу қажет. Заряд үшін :   теңдеуін қолдануға болады, яғни Ток күшінің тербеліс теңдеуін алу үшін зарядтың уақыт бойынша туындысын аламыз:  . Егер   деп белгілесек, соңғы өрнек   немесе   түріне келеді. Ток күішнің өзгеріс жылдамдығыньщ теңдеуін жазу үшін зарядтан екінші туынды алайық:  . Мұндағы   ток күшінің амплитудасын ескерсек, соңғы өрнек былай жазылады:  .

Біз ток күшінің өзгеріс жылдамдығы өздік индукция электр қозғаушы күшін анықтайтынын білеміз,  , сонда  .   деп белгілесек,   аламыз. Конденсатор астарларының арасындағы кернеуді (потенциалдар айырымын) анықтайық. Ол үшін электрсыйымдылығының өрнегінен   тауып және   деп белгілесек, кернеудің лездік мәнін аламыз  .

Енді жоғарыдағы теңдеулердің графиктерін  салайық. Абсцисса осінің астыңғы жағында периодтың бөліктерімен алынған уақыт, ал үстіңгі жағында соған сәйкес тербеліс фаза. Масштаб барлық графиктерде бірдей. Егер масштаб белгілі болса, абсцисса осінен периодты (жиілікті), ординаталар осінен тербелістегі шаманың амплитудасы мен лездік мәнін табуға болады. Фазалық ығысулар да (графиктерді салыстырса) көрініп түр. Конденсатордың астарларындағы заряд пен кернеу максимал болған мезетте ток күші нөлге тең.

Контурдағы ток күшінің тербелістері фаза бойынша зарядтың тербелістерінен   ге озып отырады. Заряд пен кернеудің тербелістері бірдей фазада жүреді. Жалпы, фазаның мәнін емес, әр түрлі тербелістердің фазалық айырымын білу маңызды.^[1]

Еркін жіне еріксіз тербелістер. Резонанс

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет

Мазмұны

 

  [жасыру] 

• 1 Еркін тербелістер
• 2 Еріксіз тербелістер
• 3 Периодты күштің тербелмелі жүйеге әрекет етуі
• 4 Резонанс
• 5 Пайдаланылған әдебиет

Еркін тербелістер[өңдеу]

Біз қозғалысын қарастырып отырған денелер тобын механикада денелер жүйесі немесе жай ғана жүйе деп атайды. Жүйеге енетін денелер арасындағы әрекет ететін күштерді ішкікүштер, ал жүйеге енбейтін денелер тарапынан жүйе денелеріне әрекет ететін күштерді сыртқы күштер дейді.

Тербелістердің ең карапайым түрі — жүйе тепе-теңдік күйінен ауытқығаннан кейін ішкі күштердің әрекетінен пайда болатын тербелістер. Ондай тербелістер еркін тербелістерге жатады.

Еркін тербелістер деп  дене тепе-теңдік күйінен шығарылғаннан  соң сыртқы күштің әрекетінсіз болатын тербелістерді айтады, Серіппеге бекітілген жүктің не жіпке ілінген жүктің тербелістері еркін тербелістерге мысал бола алады. Алдыңғы тақырыпта алынған тербеліс периодының формулалары осы еркін тербелістерге қатысты.

Еркін тербелістердің жиілігін жүйенің меншікті тербеліс жиілігі  немесе меншікті жиілік деп те атайды. Тербелістің меншікті жиілігі тербелмелі жүйенің қасиеттеріне, яғни серіппелі маятникте дененің массасы мен серіппенің қатаңдығына, ал математикалық маятникте оның ұзындығына байланысты анықталады.

Сонымен, серіппелі және математикалық маятниктер еркін тербелістер жасайды. Мұндай тербелістер табиғатта кептеп кездеседі.

Маятниктердің тербелістерімен  танысқаннан кейін, бізге енді дене қандай жағдайда еркін тербелістер жасайтынын ұғыну қиын емес. Біріншіден, тербелмелі жүйеде біріне-бірі "ұқсас" күштер әрекет етуі керек. Серіппелі маятникте бұл — серпімділік күші.

Оның координаталар осіне түсірілген проекциясы (Ғ_х = -kx) серіппенің деформациясына, яғни дененің ығысуына пропорционал болады. Бұл күш тербелген дененің тепе-теңдік күйіне қарай бағытталған. Жіпті маятникте бұл — ауырлық күші мен серпімділік күшіне теңәрекетті күш. Оның проекциясы (Ғ^х = -mgx/l) да дененің ығысуына пропорционал және бұл күш те тепе-теңдік күйіне қарай бағытталған. Екіншіден, жүйедегі үйкеліс мейлінше аз болуы керек, олай болмаған жағдайда тербеліс тез өшіп қалады. Себебі үйкеліс күші қозғалысқа қарсы бағытталғандықтан, оның әрекетінен теріс жұмыс өндіріледі де, механикалық энергия азаяды. Энергияның азаюымен амплитуда кемиді. Сөйтіп, тербеліс өшеді. Өшетін тербелістерді гармоникалық тербелістер деп есептеуге болмайды, өйткені гармоникалық тербелістерде амплитуда тұрақты.

Еріксіз тербелістер[өңдеу]

Еркін тербелістер әйтеуір  бір тоқтайды. Тербелісті өшпейтін ету үшін үйкелісті жеңуге кететін энергияны толықтырып отыру қажет. Тербелмелі жүйенің энергиясын оған сыртқы периодтытүрде өзгеріп отыратын күшпен әрекет ету арқылы толықтыруға болады. Жүйенің энергиясы осы сыртқы күш жұмысының есебінен толығады. Бұл жағдайда тербелістер енді еркін емес, еріксіз болады; осы тербелістерді тудырушы периодты түрде өзгеріп отыратын күш мәжбур етуші күш деп аталады. Сонымен еріксіз тербелістер дегеніміз — сыртқы периодты күштіңәрекетінен болатын тербелістер.

Периодты түрде қайталанып отыратын күштер тіпті өздері тербелмелі жүйеге жатпайтын денелердің де периодты қозғалысын тудырады. Мысал үшін есіктің периодты түрде ашылып-жабылуын немесе тігін машинасы инесінің қозғалысын еске түсірейік. Бұл кезде периодты өзгеріп отыратын күш әрекетінен болатын қозғалыстың (тербелістің) периоды сол күштің периодына тең болатынын байқау қиын емес.

Периодты  күштің тербелмелі жүйеге әрекет етуі[өңдеу]

Ал енді периодты күштің тербелмелі жүйеге әрекет ететін жағдайын қарастырайық. Тербелмелі жүйенің езінің де меншікті тербеліс периоды болады емес пе, ал күш басқа бір периодпен өзгеруі мүмкін. Тәжірибеге жүгінейік. Тербелмелі жүйе ретінде серіппеге бекітілген жүкті алып, осы серіппелі маятникті гармоникалық тербелістер алуға арналған механизмнің жібіне ілеміз. Тұтқаны бірқалыпты айналдыра бастасақ, жүктің қозғалысы алғашқыда күрделі болады. Бірақ бірнеше айналымнан кейін біз жүктің қозғалысы дұрыс периодты тербелістерге айналғанын көреміз. Бұл кезде біз тұтқаны қандай жылдамдықпен айналдырсақ та, жүктің орныққан тербелісі тұтканың айналу периодына тең периодпен жүзеге асады. Бұдан мынадай қорытынды жасауға болады.

1. Периодты түрде өзгеретін күш әрекет ететін тербелмелі жүйеде периодты қозғалыс орнытады. Мұндай қозғалысты еріксіз тербелістер деп атайды.
2. Еріксіз тербелістердің периоды мәжбүр етуші күштің периодына тең.

Жоғарыда еркін тербелістер энергияның шығын болуына байланысты біртіндеп өшетінін кердік. Ал еріксіз тербелістер болса, үйкелістің болғанына қарамастан, мәжбүр етуші күштіңәрекеті бар болған кезде периодты болып табылады. Бұл еріксіз тербелістер кезінде үйкеліске шығын болған энергия жүйеге әрекет етуші периодты күш жұмысының есебінен үнемі толығып тыратындығымен түсіндіріледі. Ал еркін тербелістер кезінде жүйеге тек қозғалыстың алғашкы сәтінде ғана энергия қоры беріледі де, қозғалыс осы энергия қоры түгел таусылғанша ғана жалғасады.

Резонанс[өңдеу]

Орныққан еріксіз тербелістердің жиілігі қашанда сыртқы күштің жиілігіне  тең. Енді осы еріксіз тербелістер амплитудасының жиілікке қалай тәуелді екенін айқындайық.

Керілген жіпке екі маятник ілеміз. Мұндағы А маятнигінің ұзындығы езгермейді. Ал В маятнигінің ұзындығын жіптің бос ұшын әрлі-берлі қозғай отырып өзгертуге болады. Егер маятникті тербеліске келтірсек, онда ол керілген жіп арқылы A маятникке қайсыбір периодты күшпен әрекет етеді. Соның салдарынан енді А маятник те еріксіз тербеле бастайды.

В маятниктің ұзындығын азайта отырып, оның тербеліс жиілігін өзгертуге болады. Сөйтіп, А маятникке әрекет ететін мәжбүр етуші күштің жиілігін өзгертеміз. Сонда осы мәжбүр етуші күштің жиілігі А маятник тербелісінің меншікті жиілігіне жақындағанда (маятниктердің ұзындықтары теңелгенде), А маятниктің тербеліс амплитудасы кенет артып кететінін байқауға болады. Міне, осы мәжбүр етуші күштің тербеліс жиілігі мен тербелмелі жүйенің меншікті жиілігі дәл келген кездегі еріксіз тербелістер амплитудасының кенет арту құбылысы резонансдеп аталады.

Резонанс құбылысымен  қай-қайсымыз да жиі ұшырасамыз.

Бірақ көбінесе оған мән бермейміз. Мысалы, үйдің тұсынан трамвай, трактор, пойыз, жүк машинасы, т.б. өте шыққан кезде, терезенің әйнегі дірілдеп, шыныаяқтар сылдырлайды. Өйткені сыртқы тербелістер жиілігі үйдегі денелердің меншікті жиілігімен сәйкес келеді де, соның салдарынан резонанс құбылысы пайда болады.

Резонанс пайдалы да, зиянды да болуы мүмкін. Пайдалы болған кезде оны арттыруға тырысады. Мысалы, жол құрылысында, үйдің іргетасын құйғанда, құйматасты (бетонды) немесе сусыма нәрселерді тығыздау үшін арнайы вибратор-тығыздағыштар пайдаланылады. Ал зиянды болғанда, резонансты болдырмау үшін әртүрлі шаралар қолданылады. Мысалы, электрқозғалтқыштар, бу және газ турбиналарының табаны іргетасқа бекітілген болса, олардың тербелісі біртұтас еден арқылы машина орналасқан үйге беріледі. Соның салдарынан іргетастың еріксіз тербелістерінің амплитудасы үлкен мәнге жетіп, нәтижесінде үйдің құлауы да мүмкін.