Управление динамической системой

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет автоматизации  и информационных технологий

Кафедра системотехники

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ

 

 

Пояснительная записка

 

 

 

 

 

 

Руководитель:

 

________________

(подпись)

 

________________________________

(оценка, дата)

Разработал:

студент группы

 

________________

(подпись)

 

________________________________

(дата)

 

1 Исходные данные:

 

Динамика объекта управления описывается следующей системой дифференциальных уравнений

а)  Уравнение моментов:

                                                          (1)

б)  Уравнение управляющего устройства: 

                                                               (2)

Здесь:

t - время, сек;

J - момент инерции движущихся частей, приведенный к валу  двигателя, кг * м / сек² ;

w - угловая скорость двигателя, 1/сек;

M_g, M_c - момент движущих сил и сил сопротивления, кг * м;

m - управляющее воздействие (безразмерное);

u - задающее воздействие (безразмерное);

, - параметры управляющего устройства

Функции M_g, M_c заданы таблицами 1 и 2, численные значения коэффициентов определены в таблице 3

 

Таблица 1. Зависимость Mg от w и m

w	m
	0.0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
0.00	98.00	100.68	103.36	106.04	108.72	111.40
12.40	89.98	92.92	95.86	98.80	101.74	104.68
24.80	78.89	82.09	85.29	88.49	91.68	94.88
37.20	64.72	68.18	71.64	75.10	78.55	82.01
49.60	47.48	51.20	54.92	58.63	62.35	66.07
62.00	27.16	31.14	35.12	39.09	43.07	47.04

 

Таблица 2. Зависимость Mс от w  

w	0.00	12.40	24.80	37.20	49.60	62.00
Мс	19.60	27.78	45.12	71.63	107.30	152.13

 

Таблица 3.  Значение параметров системы

J	c
0.07	1.12

Начальные условия: при  t = 0 w = 0; m = 0;  ; u = 0.5.              (3)

 

 

2 Перечень графического материала

 

• графики функций Mg, Mc с нанесенными данными исходной таблицы;
• графики переходных процессов в разомкнутой и замкнутой системах, построенные различными способами;
• годографы АФЧХ и Михайлова;
• графики частотных характеристик разомкнутой системы.

 

3 Перечень вопросов, которые должны  быть отражены в пояснительной  записке

 

1. По данным таблиц 1,2 подобрать аналитические выражения для функций Mg, Mc 

2. Найти равновесное состояние системы. Для этого положить и из (1) найти установившуюся скорость .

3. Численно решить систему (1), (2)  при начальных условиях (3) и полученных выражениях  ,  . Решение вести до установления значений w  и m. Проверить  совпадение и .

4. Линеаризовать уравнение (1) в  окрестности точки равновесия  , выписать уравнения линеаризированной системы для непрерывного и дискретного времени, положив шаг по времени Dt=0.05 c. Задав приращение Du=0.05, численно рассчитать переходный процесс в линеаризованной системе .

5. Замкнуть систему, положив

u(t) = k × (w(t) - w* ),                                                                         (4)

где k - коэффициент усиления регулятора, w*- требуемое значение скорости.

Привести линеаризованную  систему  к безразмерной форме, взяв в качестве базового значения  . Введя новые переменные, представить систему в векторно-матричной форме для непрерывного и дискретного времени:

  ,                                                                           (5)

.                                                                    (6)

6. Оценить управляемость системы (5). Составить характеристическое уравнение системы (5). На основе критерия Рауса - Гурвица определить значение коэффициента k = k0,  соответствующее пределу устойчивости линеаризованной системы

7. Найти корни характеристического уравнения  системы (5) и исследовать перемещение корней на комплексной плоскости при варьировании коэффициента усиления k (k=ak0, a=0.9, 0.8, 0.7, 0.6 ). Построить траекторию движения корней. 

8. Построить переходный процесс в системе (5) для одного из значений a при возмущении по w* (положив w*=1.1w0  и начальные условия: t=0,  w(0)=1.1w0, m(0)= 0). Уравнение решить аналитически, выполнив спектральное разложение матрицы А и использовав собственные числа и собственные вектора матрицы А.

9. Используя преобразование Лапласа, получить передаточные функции незамкнутой  системы (5) по каналу u®x1 . На основе  z-преобразования аналогичным образом получить дискретную передаточную функцию системы (6).

10. Выписать выражения для амплитудно-фазовой,  амплитудной, фазовой, вещественной и мнимой частотных характеристик для разомкнутой системы (5). Для одного из значений a (см. п.7) построить годограф АФЧХ и графики характеристик A(w), j(w), Re(w), Im(w) .

11. Оценить устойчивость замкнутой системы (5) по  критериям  Найквиста (по АФЧХ разомкнутой системы) и Михайлова, построив для этой  цели  годограф  Михайлова. Определить запас устойчивости системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

 

Целью данного курсового  проекта является исследование поведения  управляемой динамической системы, описанной системой дифференциальных уравнений. На основе исходных данных мы находим равновесное состояние  системы, вид линеаризованной системы. Исследуем соответствующую ей замкнутую систему и описываем переходный процесс в этой системе. Определяем частотные характеристики системы и устойчивость.

Курсовой проект содержит пояснительную записку из 28 страниц текста, 18 графиков, 1 литературного источника.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение 

1 Нахождение равновесного  состояния системы 

Задание №1 

Задание №2 

Задание №3   

2  Линеаризация системы 

Задание №4 

3  Замкнутая система 

Задание №5 

Задание №6 

4  Переходный процесс в замкнутой системе 

Задание №7 

Задание №8 

5  Частотные характеристики  системы 

Задание №9 

Задание №10 

6  Критерии устойчивости  Найквиста и Михайлова 

Задание №11 

Список используемых источников    

Введение

Теория управления –  это наука, которая изучает процессы в системах управления с информационной точки зрения, обычно абстрагируясь от физической природы объектов и управляющих устройств. Процессы в автоматических системах управления изучает теория автоматического управления.

По степени использования информации об объекте различают разомкнутые  замкнутые системы управления. При разомкнутом управлении воздействие на объект осуществляется по заданной программе вне зависимости от результатов управления в предыдущий период времени. Замкнутые системы управления используют информацию о результатах управления и формируют управляющее воздействие в зависимости от того, насколько достигается цель.  
1 Нахождение равновесного состояния системы

 

Задание №1.

 

По данным таблиц 1,2 подобрать аналитические выражения для функций M_g, M_c 

 

Функцию M_c(w) можно аппроксимировать различными способами, в частности, полиномом:

,       

где   a,  b,  c   определяются по данным таблицы 2 методом наименьших квадратов.

Если учесть, что в  нашем случае n=6 , х1=w, х2=w² , а также, что система линейных уравнений может быть представлена в матричном виде:  Аa=В , то получим следующие функции для вычисления матрицы коэффициентов СЛУ и для вычисления столбца свободных членов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция  может быть получена в виде:

 

 

 

Таким образом получаем функцию для момента сил сопротивления: 

 

Mc( )= 19,6 + 0.29 × + 0.03 × ²

 

Полученные по этой формуле значения и округленные до сотой числа точно соответствуют заданным Mc.

 

Функция для момента сил движения зависит от двух параметров: угловой скорости w  и от управляющего воздействия m . Поэтому она может быть получена в виде

 

      

Также методом наименьших квадратов находим коэффициенты , и , в результате получается

 

 

 

В результате для моментов сил движения и сопротивления  получены математически заданные функции Mc и Mg. На рисунке.1 изображены функции и для m =0..1 и для w= 0..100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1 - функции и

 

 

Задание №2

 

Найти равновесное  состояние системы. Для этого  положить и из (1) найти установившуюся скорость .

 

Исходя из уравнений, описывающих динамику объекта:

а)  уравнение моментов:

                                                                     (1)

б)  уравнение управляющего устройства: 

                                                                          (2)

получим  следующее :

, то есть фактически  , .

Найдем установившееся значение w₀ :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2 - функции

и при = 0.5

 

 

Задание №3

 

Численно решить систему (1), (2)  при начальных условиях (3) и полученных выражениях  ,  . Решение вести до установления значений w  и m. Проверить совпадение и .

 

Нам дана система из двух дифференциальных уравнений  первого  и второго порядка     и     соответственно.

Приведем данную систему  к системе канонического вида : заменим  на новую переменную n  получим каноническую СДУ из трех уравнений первого порядка:

 

 

Система с численными значениями

Решим данную систему  дифференциальных уравнений при и=0.5

 

^{Здесь вектор}

 

График х₁=w представлен на рисунке 2, график х₂=m представлен на рисунке 3, график х₃=z представлен на рисунке 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3 – График функции ω(t).