Расчет надежности сельскохозяйственной техники

 

При этом экспоненциальный закон и  закон распределения Релея являются частными случаями закона распределения Вейбулла-Гнеденко. Рассматриваемые законы определяют дифференциальной и интегральной функциями и могут быть рассчитаны по специальным методикам по формулам или на ЭВМ, что упрощает расчеты.

2.2. Расчёт коэффициента вариации

Коэффициент вариации V определяется как отношение среднего квадратического отклонения к среднему значению показателя надёжности t_cp

 

 При наличии смещения t_CM величина коэффициента вариации равна

 

; t_CM = t1-0,5A,

где t1 и t₂- значения первого и второго показателей надежности (размеров) в порядке возрастания информации.

t_CM = 47,14-0,5×0,02 = 47,13

 

 Смещение влияет на величину  коэффициента вариации и, следовательно,  на выбор закона распределения.  Окончательно выбор закона ведут  по коэффициенту вариации. Так  при V > 0,33 выбирают закон Вейбулла, а при V < 0,33 закон нормального распределения. В интервале V = 0,3...0,5 выбор закона определяют критериями согласия.

 

2.3. Закон нормального распределения.

Закон нормального распределения  записывается уравнениями:

 

где е - основание натурального логарифма (е = 2,718);

     - среднее значение показателя надежности (размера);

    σ - среднее квадратическое отклонение.

 

       Центрированная дифференциальная функция (при о = 1 и t = 0) табулирована при условии нормирования показателя надёжности в долях среднего квадратического отклонения имеет вид:

 

 

где: t_ci - среднее значение показателя надёжности в заданном интервале А или значение середины интервала статистического ряда.

         А - величина заданного интервала значений показателя надёжности или величина интервала статистического ряда.

 

 

Интегральная  функция или функция распределения  F(t) определяется как интеграл функции плотности вероятности:

 

Формулы для расчёта интегральной функции:

  и  Fo(-t) = 1 - F₀(t)

где: tk- значение заданного показателя надёжности или конца интервала статистического ряда.

 

 

 

 

 

 

 

 

      Полученные расчетные теоретические вероятности вносим в Таблица № 3

Интервал	от 47,14 до 47,16	от 47,16 до 47,18	от 47,18 до 47,20	от 47,20 до 47,22	от 47,22 до 47,24	от 47,24 до 47,26	от 47,26 до 47,28	от 47,28 до 47,30
Частота mi	2	2	2	4	7	9	5	4
Опытная вероятность Pi	0,06	0,06	0,06	0,11	0,2	0,26	0,14	0,11
Теоретическая вероятность f(tci)	0,027	0,065	0,121	0,176	0,1995	0,176	0,121	0,065
Накопленная опытная вероятность ∑Pi	0,06	0,12	0,18	0,29	0,49	0,75	0,89	1
Интегральная теоретическая вероятность F(tki)	0,04	0,106	0,227	0,401	0,599	0,773	0,894	0,960
Расхождение	0,02	0,014	−0,047	−0,111	−0,109	−0,023	−0,004	0,04

      В_max= 0,04

3. Проверка по критериям согласия степени совпадения опытных и теоретических распределений показателей надежности.

3.1. Проверка по критериям согласия Пирсона X² и Колмогорова λ.

После визуальной оценки степени совпадения (согласия) опытной и теоретической дифференциальных кривых проводят более точную оценку их совпадения.

Применительно к показателям надёжности тракторов и с∕х машин применяют критерии Пирсона X² Колмогорова λ.

Критерии Пирсона X² равен сумме квадратов отклонений опытных и теоретических частот в каждом интервале статистического ряда информации.

 

 

где: n - число интервалов статистического ряда;

       m_i - опытная частота (количество случаев) в i-м интервале статистического ряда;

        m_ti - теоретическая частота в i-м интервале.

 

 

Теоретическая частота:

m_ti = N[F(t_ki+1)-F(t_ki)]

где: N - общее количество измерений (повторность информации).

m_t1 = 35 × [0, 04 - 0] = 1,4        

m_t2 = 35 × [0,106 - 0,04] = 2,31

m_t3 = 35 × [0,227 - 0,106] = 4,235

m_t4 = 35 × [0,401 - 0,227] = 6,09

m_t5 = 35 × [0,599 - 0,401] = 6,93

m_t6 = 35 × [0,773 - 0,599] = 6,09

m_t7 = 35 × [0,894 - 0,773] = 4,235

m_t8 = 35 × [0,960 - 0,894] = 2,31

 

 

Два наибольших числа X² отбрасываются, а остальные суммируются:

 

 

Для определения критерия согласия строю укрупненный статистический ряд информации при условии:

                                                 mi > 5   и   п>4

Число интервалов n беру 8 для снижения объема арифметических вычислений.

Вероятность совпадения опытных  и теоретических частот по критерию Пирсона х² определяю по числу степеней свободы r (т. е. номер строки).

                         r=п-к=8−3=5

где n=8 − количество интервалов в статистическом ряду;

      k – число ограничений (связей) для данного закона распределения, равное 3 для ЗРВ и ЗНР.

   Далее в строке 5 по табл. 3.1на стр.28 (Методичка) по рассчитанной величине       X² = 2,341  находим, что вероятность Р = 0,80 > 0,1, следовательно, опытные и теоретические частоты согласуются по 

Критерию Пирсона и принятый закон распределения (ЗНР) действителен для      
описания рассматриваемых событий.

Закон нормального распределения считается  недействительным, если вероятность совпадения:     Р<0,1

 

    Критерий Колмогорова λ определяется по формуле:

 

 

где B_max = 0,04  наибольшее расхождение в Таблица № 3;

 

     По критерию Колмогорова принятый закон недействителен, если P(λ) < 0,05. P(λ)=0,98>0,05

Точность оценки по критерию λ ниже, чем по критерию .

 

3.2. Определение доверительных границ рассеивания показателя и ошибки

расчёта.

Определение доверительных  границ рассеивания размеров подчиняется нормальному закону с параметрами t и b.

Доверительную вероятность примем равной α = 0,90. Тогда по табл. 3.3 найдём значение коэффициента tα для α =0,90 и N = 35.

Коэффициент t α = 1,68

 

Определим доверительные границы  размеров по формулам:

 

 

 

Доверительный интервал:

 

 

Абсолютная ошибка:

 

 

и относительная ошибка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Методика расчета показателей  надежности на ЭВМ.

4.1. Подготовка исходных данных к расчёту на ЭВМ

Составляем  сводную таблицу исходной информации в порядке её возрастания. Определяем размах информации R. Принимаем для расчётов на ЭВМ число интервалов n = 10, находим величину интервала:

 

Для ввода в ЭВМ данные необходимо представить в следующем виде

 

 

 

Таблица № 4

Интервал	от 47,140 до 47,157	от 47,157 до 47,174	от 47,174 до 47,191	от 47,191 до 47,208	от 47,208 до 47,225	от 47,225 до 47,242	от 47,242 до 47,259	от 47,259 до 47,276	от 47,276 до 47,293	от 47,293 до 47,310
Частота появления случайной величины mi	2	2	2	1	3	7	3	9	3	3
Середина интервала tic	47,149	47,166	47,183	47,200	47,217	47,234	47,251	47,268	47,283	47,302

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод:  7,35% деталей необходимо выбросить из-за сильного износа, 32,38%+42,65%=75,03%  деталей можно оставить, так как они входят в номинальные размеры и 17,62% деталей нужно переточить.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.2. Сопоставление расчётов с применением калькуляторов и ПЭВМ

 

Сравнение результатов расчетов на калькуляторе и ПЭВМ проводится по следующим параметрам.

Таблица № 5

Параметры	Расчёт на калькуляторе	Расчёт на ПЭВМ	Расхождения
Средневзвешенное значение tcp	47,23	47,239	− 0,009
Среднеквадратическое отклонение σ	0,04	0,042	− 0,002
Коэффициент вариации v	0,0008	0,0009	− 0,0001
Вероятность совпадения по критерию Пирсона Р(х2)	80	71	9
Вероятность совпадения по критерию Колмогорова Р(λ)	98	64,7	33,3
Абсолютная ошибка е α	1,14	1,2	− 0,06
Относительная ошибка ε α	0,0423	0,050	− 0,0077
Годные детали без ограничений, %	22,16	17,62	4,54
Годные детали ограниченно, в сопряжении с  новыми, %	73,33	75,03	− 1,7
Детали, требующие замены или восстановления, %	4,01	7,35	− 3,34

 

 

Вывод: Несовпадения результатов расчёта на калькуляторе и ПЭВМ связано 
скорее всего с тем, что точность расчёта на ПЭВМ выше чем на калькуляторе, а 
так же несовпадение результатов может быть вызвано ошибками при округлении 
чисел при расчёте на калькуляторе.