Применение дисперсионного анализа в селекционном процессе

 

Гипотеза H0 отвергается, если фактически вычисленное значение статистики F = S /S  больше критического Fα : K 1: K 2 , определенного на уровне значимости α при числе степеней свободы k1 =m-1 и k2 =mn-m, и принимается, если F < Fα : K 1: K 2 .

Таким образом, процедура однофакторного дисперсионного анализа состоит в проверке гипотезы H0 о том, что имеется одна группа однородных экспериментальных данных против альтернативы о том, что таких групп больше, чем одна. Под однородностью понимается одинаковость средних значений и дисперсий в любом подмножестве данных. При этом дисперсии могут быть как известны, так и неизвестны заранее. Если имеются основания полагать, что известная или неизвестная дисперсия измерений одинакова по всей совокупности данных, то задача однофакторного дисперсионного анализа сводится к исследованию значимости различия средних в группах данных.

 

 

 

1.3 Многофакторный дисперсионный анализ

Следует сразу же отметить, что принципиальной разницы между многофакторным и однофакторным дисперсионным анализом нет. Многофакторный анализ не меняет общую логику дисперсионного анализа, а лишь несколько усложняет ее, поскольку, кроме учета влияния на зависимую переменную каждого из факторов по отдельности, следует оценивать и их совместное действие. Таким образом, то новое, что вносит в анализ данных многофакторный дисперсионный анализ, касается в основном возможности оценить межфакторное взаимодействие. Тем не менее, по-прежнему остается возможность оценивать влияние каждого фактора в отдельности. В этом смысле процедура многофакторного дисперсионного анализа (в варианте ее компьютерного использования) несомненно более экономична, поскольку всего за один запуск решает сразу две задачи: оценивается влияние каждого из факторов и их взаимодействие.

Общая схема двухфакторного эксперимента, данные которого обрабатываются дисперсионным анализом имеет вид:

 

Рисунок 1.1 – Схема двухфакторного эксперимента

Данные, подвергаемые многофакторному дисперсионному анализу, часто обозначают в соответствии с количеством факторов и их уровней.1

Предположив, что в рассматриваемой задаче о качестве различных m партий изделия изготавливались на разных t станках и требуется выяснить, имеются ли существенные различия в качестве изделий по каждому фактору:

А - урожайность;

B - ломкость.

В результате получается переход к задаче двухфакторного дисперсионного анализа.

Все данные представлены в таблице 1.2, в которой по строкам - уровни Ai фактора А, по столбцам — уровни Bj фактора В, а в соответствующих ячейках, таблицы находятся значения показателя качества изделий xijk (i=1,2,...,m; j=1,2,...,l; k=1,2,...,n).

Таблица 1.2 – Показатели качества изделий

B1	B2	…	Bj	…	Bl
A1	x11l ,…,x11k	x12l ,…,x12k	…	x1jl ,…,x1jk	…	x1ll ,…,x1lk
A2	x2 1l ,…,x2 1k	x22l ,…,x22k	…	x2jl ,…,x2jk	…	x2ll ,…,x2lk
…	…	…	…	…	…	…
Ai	xi1l ,…,xi1k	xi2l ,…,xi2k	…	xijl ,…,xijk	…	xjll ,…,xjlk
…	…	…	…	…	…	…
Am	xm1l ,…,xm1k	xm2l ,…,xm2k	…	xmjl ,…,xmjk	…	xmll ,…,xmlk

Двухфакторная дисперсионная модель имеет вид:

xijk =μ+Fi +Gj +Iij +εijk , (15)

где xijk - значение наблюдения в ячейке ij с номером k;

μ - общая средняя;

Fi - эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора А;

Gj - эффект, обусловленный влиянием j-го уровня фактора В;

Iij - эффект, обусловленный взаимодействием двух факторов, т.е. отклонение от средней по наблюдениям в ячейке ij от суммы первых трех слагаемых в модели (15);

εijk - возмущение, обусловленное вариацией переменной внутри отдельной ячейки.

Предполагается, что εijk имеет нормальный закон распределения N(0; с2 ), а все математические ожидания F* , G* , Ii * , I* j равны нулю.

Групповые средние находятся по формулам:

- в ячейке:

,

по строке:

по столбцу:

общая средняя:

В таблице 1.3 представлен общий вид вычисления значений, с помощью дисперсионного анализа.

 

 

Таблица 1.3 – Базовая таблица дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты
Межгрупповая (фактор А)		m-1
Межгрупповая (фактор B)		l-1
Взаимодействие		(m-1)(l-1)
Остаточная		mln - ml
Общая		mln - 1

Проверка нулевых гипотез HA, HB, HAB об отсутствии влияния на рассматриваемую переменную факторов А, B и их взаимодействия AB осуществляется сравнением отношений  ,  ,   (для модели I с фиксированными уровнями факторов) или отношений  ,  ,   (для случайной модели II) с соответствующими табличными значениями F – критерия Фишера – Снедекора. Для смешанной модели III проверка гипотез относительно факторов с фиксированными уровнями производится также как и в модели II, а факторов со случайными уровнями – как в модели I.

Если n=1, т.е. при одном наблюдении в ячейке, то не все нулевые гипотезы могут быть проверены так как выпадает компонента Q3 из общей суммы квадратов отклонений, а с ней и средний квадрат  , так как в этом случае не может быть речи о взаимодействии факторов.

Отклонение от основных предпосылок дисперсионного анализа — нормальности распределения исследуемой переменной и равенства дисперсий в ячейках (если оно не чрезмерное) — не сказывается существенно на результатах дисперсионного анализа при равном числе наблюдений в ячейках, но может быть очень чувствительно при неравном их числе. Кроме того, при неравном числе наблюдений в ячейках резко возрастает сложность аппарата дисперсионного анализа. Поэтому рекомендуется планировать схему с равным числом наблюдений в ячейках, а если встречаются недостающие данные, то возмещать их средними значениями других наблюдений в ячейках. При этом, однако, искусственно введенные недостающие данные не следует учитывать при подсчете числа степеней свободы.

 

2. Применение дисперсионного анализа  в селекционном процессе.

 

          Внутригрупповая изменчивость (SS) обычно называется остаточной компонентой или дисперсией ошибки. Это означает, что обычно при проведении эксперимента она не может быть предсказана или объяснена. С другой стороны, SS эффекта (или компоненту дисперсии между группами) можно объяснить различием между средними значениями в группах. Иными словами, принадлежность к некоторой группе объясняет межгрупповую изменчивость, т.к. нам известно, что эти группы обладают разными средними значениями. Проверка значимости в дисперсионном анализе основана на сравнении компоненты дисперсии, обусловленной межгрупповым разбросом (называемой средним квадратом эффекта или MSэффект) и компоненты дисперсии, обусловленной внутригрупповым разбросом (называемой средним квадратом ошибкиили MSошибка; эти термины были впервые использованы в работе Edgeworth, 1885).

 

 

 

Таблица 2.

урожайность	SS	Степени свободы	MS	F	p
Св. член	184758,5	1	184758,5	1775,960	0,000000
сорт	2386,1	10	238,6	2,294	0,028836
орошение	23666,7	1	23666,7	227,492	0,000000
сорт*орошение	1570,7	10	157,1	1,510	0,168189
Ошибка	4577,5	44	104,0

 

Если верна нулевая гипотеза (равенство средних в двух популяциях), то можно ожидать сравнительно небольшое различие выборочных средних из-за чисто случайной изменчивости. Поэтому, при нулевой гипотезе, внутригрупповая дисперсия будет практически совпадать с общей дисперсией, подсчитанной без учета групповой принадлежности. Полученные внутригрупповые дисперсии можно сравнить с помощью F-критерия, проверяющего, действительно ли отношение дисперсий значимо больше 0,05. В рассмотренном выше примере была цель показать влияния орошения на урожайность, F-критерий показывает, что различие между средними статистически не значимо. В данной таблице видно, что только один показатель орошение влияет на урожайность.

 

 График 1.

В данном графике видно, что без полива и применяя технологию орошение показана существенная разница, как отличается урожайность. Только один сорт ИК 21-3 х RG 217 отличался не большой урожайностью.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3.

	сорт	орошение	{1} 25,500	{2} 66,033	{3} 30,800	{4} 72,033	{5} 42,367	{6} 73,500	{7} 41,700	{8} 76,133	{9} 32,833	{10} 46,367	{11} 32,533	{12} 68,467	{13} 32,300	{14} 74,367	{15} 29,733	{16} 73,367	{17} 34,100	{18} 89,800	{19} 36,467	{20} 76,933	{21} 35,367	{22} 73,300
1	SG 10 м х ИКП 244	богора		0,00	0,53	0,00	0,05	0,00	0,06	0,00	0,38	0,02	0,40	0,00	0,42	0,00	0,61	0,00	0,31	0,00	0,19	0,00	0,24	0,00
2	SG 10 м х ИКП 244	орошение	0,00		0,00	0,48	0,01	0,37	0,01	0,23	0,00	0,02	0,00	0,77	0,00	0,32	0,00	0,38	0,00	0,01	0,00	0,20	0,00	0,39
3	SGIOMXR 1710	богора	0,53	0,00		0,00	0,17	0,00	0,20	0,00	0,81	0,07	0,84	0,00	0,86	0,00	0,90	0,00	0,69	0,00	0,50	0,00	0,59	0,00
4	SGIOMXR 1710	орошение	0,00	0,48	0,00		0,00	0,86	0,00	0,62	0,00	0,00	0,00	0,67	0,00	0,78	0,00	0,87	0,00	0,04	0,00	0,56	0,00	0,88
5	SGIOMX R2048	богора	0,05	0,01	0,17	0,00		0,00	0,94	0,00	0,26	0,63	0,24	0,00	0,23	0,00	0,14	0,00	0,33	0,00	0,48	0,00	0,41	0,00
6	SGIOMX R2048	орошение	0,00	0,37	0,00	0,86	0,00		0,00	0,75	0,00	0,00	0,00	0,55	0,00	0,92	0,00	0,99	0,00	0,06	0,00	0,68	0,00	0,98
7	ИК 21-3 с х ИКП 95	богора	0,06	0,01	0,20	0,00	0,94	0,00		0,00	0,29	0,58	0,28	0,00	0,27	0,00	0,16	0,00	0,37	0,00	0,53	0,00	0,45	0,00
8	ИК 21-3 с х ИКП 95	орошение	0,00	0,23	0,00	0,62	0,00	0,75	0,00		0,00	0,00	0,00	0,36	0,00	0,83	0,00	0,74	0,00	0,11	0,00	0,92	0,00	0,74
9	ИК 21-3 xRG 217	богора	0,38	0,00	0,81	0,00	0,26	0,00	0,29	0,00		0,11	0,97	0,00	0,95	0,00	0,71	0,00	0,88	0,00	0,66	0,00	0,76	0,00
10	ИК 21-3 xRG 217	орошение	0,02	0,02	0,07	0,00	0,63	0,00	0,58	0,00	0,11		0,10	0,01	0,10	0,00	0,05	0,00	0,15	0,00	0,24	0,00	0,19	0,00
11	ППГ 160 с PH 53 с х ИК 21-Ззс	богора	0,40	0,00	0,84	0,00	0,24	0,00	0,28	0,00	0,97	0,10		0,00	0,98	0,00	0,74	0,00	0,85	0,00	0,64	0,00	0,74	0,00
12	ППГ 160 с PH 53 с х ИК 21-Ззс	орошение	0,00	0,77	0,00	0,67	0,00	0,55	0,00	0,36	0,00	0,01	0,00		0,00	0,48	0,00	0,56	0,00	0,01	0,00	0,31	0,00	0,56
13	ППГ 270 м 153 мхИКП 137	богора	0,42	0,00	0,86	0,00	0,23	0,00	0,27	0,00	0,95	0,10	0,98	0,00		0,00	0,76	0,00	0,83	0,00	0,62	0,00	0,71	0,00
14	ППГ 270 м 153 мхИКП 137	орошение	0,00	0,32	0,00	0,78	0,00	0,92	0,00	0,83	0,00	0,00	0,00	0,48	0,00		0,00	0,90	0,00	0,07	0,00	0,76	0,00	0,90
15	Лидер 260 Ki J4 х ИКП 324	богора	0,61	0,00	0,90	0,00	0,14	0,00	0,16	0,00	0,71	0,05	0,74	0,00	0,76	0,00		0,00	0,60	0,00	0,42	0,00	0,50	0,00
16	Лидер 260 Ki J4 х ИКП 324	орошение	0,00	0,38	0,00	0,87	0,00	0,99	0,00	0,74	0,00	0,00	0,00	0,56	0,00	0,90	0,00		0,00	0,05	0,00	0,67	0,00	0,99
17	153 мх R 2048	богора	0,31	0,00	0,69	0,00	0,33	0,00	0,37	0,00	0,88	0,15	0,85	0,00	0,83	0,00	0,60	0,00		0,00	0,78	0,00	0,88	0,00
18	153 мх R 2048	орошение	0,00	0,01	0,00	0,04	0,00	0,06	0,00	0,11	0,00	0,00	0,00	0,01	0,00	0,07	0,00	0,05	0,00		0,00	0,13	0,00	0,05
19	153 мх SU7	богора	0,19	0,00	0,50	0,00	0,48	0,00	0,53	0,00	0,66	0,24	0,64	0,00	0,62	0,00	0,42	0,00	0,78	0,00		0,00	0,90	0,00
20	153 мх SU7	орошение	0,00	0,20	0,00	0,56	0,00	0,68	0,00	0,92	0,00	0,00	0,00	0,31	0,00	0,76	0,00	0,67	0,00	0,13	0,00		0,00	0,66
21	ИКП 862-3 ас х R1710	богора	0,24	0,00	0,59	0,00	0,41	0,00	0,45	0,00	0,76	0,19	0,74	0,00	0,71	0,00	0,50	0,00	0,88	0,00	0,90	0,00		0,00
22	ИКП 862-3 ас х R1710	орошение	0,00	0,39	0,00	0,88	0,00	0,98	0,00	0,74	0,00	0,00	0,00	0,56	0,00	0,90	0,00	0,99	0,00	0,05	0,00	0,66	0,00