Определение точного значения математического ожидания и дисперсии (и соответственно СКО)

Точечные оценки

Определение точного  значения математического ожидания и дисперсии (и соответственно СКО) возможно только при бесконечном числе измерений или при наличии так называемой генеральной совокупности данных

где p^*(x_i) — вероятность появления результата измерения в интервале значений от х_iдо х_i+1 при дискретном распределении результатов измерения. При отсутствии систематической погрешности принимается, что математическое ожидание т_х = Q, где Q — истинное (действительное) значение измеряемой ФВ.

В результате измерительного эксперимента получают некоторую выборку  из генеральной совокупности данных — ограниченное число значений x_i, и по этой выборке оценивают значения математического ожидания и дисперсии. Пригодность оценок, полученных с помощью ограниченного числа измерений, проверяют с помощью ряда статистических критериев, таких как состоятельность, несмещенность и эффективность.

Состоятельная оценка — это оценка, которая сходится при увеличении числа измерений к своему пределу по вероятности.

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру.

Эффективной называется оценка, дисперсия которой меньше дисперсии любой другой оценки данного  параметра.

Установлено, что всем вышеуказанным критериям удовлетворяют точечные оценки.

Формулы для  вычисления точечных оценок результатов  измерений:

• оценка истинного значения — среднее арифметическое значение измеряемой величины из n единичных результатов

• оценка СКО — средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений в ряду п единичных измерений

• оценка средней квадратической погрешности результатов измерения среднего арифметического

Точечными называются оценки, выражаемые одним числом, а  поскольку они представлены ограниченным числом данных (результатов измерений), случайно выбранных (полученных) в результате измерительной процедуры, то эти оценки также называются выборочными.

Оценки с помощью  доверительных интервалов

Более полный и  надежный способ оценивания измеренной ФВ заключается в определении интервала (а не только точечного значения), в котором с заданной степенью достоверности будет находиться значение оцениваемого параметра. Поскольку увеличение числа измерений повышает уверенность в получении правильного результата, доверительные интервалы сужаются, при этом сохраняется вероятность нахождения истинного значения внутри него. Доверительные границы результатов измерений определяются как наибольшее и наименьшее значения результатов измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение результата измерений.

• Полагая, что результаты измерения не содержат систематической погрешности, вероятность нахождения действительного значения измеряемой ФВ при получении единичного результатаизмерения х в интервале от х₁ =х- t_pσ до х₂ = х + t_pσ при заранее известном СКО σ будет равна (см. (2.2) и (2.14) при |t₁| = |t₂| = t_p)

Для абсолютной погрешности δ = |x-m_x| =|x-Q| вероятность попадания погрешности единичного результата измерения в интервал ±t_pσ будет равна

• Если проведено n измерений, СКО заранее известно, то вероятность нахождения действительного значения измеряемой ФВ в доверительном интервале от х₁ до х₂ будет равна (табл. ПЗ и П4)

гдеt_p=|х –m_х|/σ_x.Видно, что доверительный интервал сузился в раз при той же вероятности, что и в предыдущем примере.

Аналогично (3.7) записывается вероятность Р нахождения погрешности измерения среднего δ= |x-Q|в заданном интервале

Половина доверительного интервала называется доверительной  границей, и результат измерения представляется в виде

• Если произведено небольшое (ограниченное) число измерений, а сами измерения (предположительно) распределены нормально, то вероятность нахождения действительного значения измеряемой ФВ в доверительном интервале (при неизвестном СКО) будет определяться распределением Стьюдента (рис. 3.1)

где S- определяется по формуле (3.5); S(t, к) — дифференциальная функция распределения Стьюдента, зависящая от параметра t_p = (х - Q)/S_x и числа степеней свободы k = n- 1 (см. табл. П5 и П6). Для погрешности измерения можно написать следующее соотношение:

Рис. 3.1. Нормальное распределение и распределение Стьюдента

Результат измерения  записывается в виде

Практически при n> 20 распределение Стьюдента переходит в нормальное и для оценки попадания результатов измерения можно использовать функции (2.10)—(2.15) и табл. ПЗ и П4.

Оценки с помощью  неравенства Чебышева

Зная  дисперсию или СКО, можно с помощью неравенства Чебышева оценить вероятность непревышения погрешности δ заданного значения ε>δ. При этом нет необходимости знать вид распределения погрешности. Неравенство Чебышева можно записать двояко [3, 7]:

где |δ| = |x-m_x| — погрешность однократного измерения. Первое соотношение (3.14) определяет вероятность непревышения случайной погрешности некоего наперед заданного значения ε, а второе — вероятность превышения погрешности ε.

Интервальные  оценки дисперсии

Так же как и  математическое ожидание, оценка дисперсии  определяется с какой-то доверительной вероятностью в области истинного значения дисперсии. Если известно (или предполагается довольно точно), что результаты измерения распределены по нормальному закону, то плотность вероятности величины

распределяется  по закону Пирсона с k = n - 1 степенями свободы (рис. 3.2).

Рис. 3.2 Дифференциальное (а) и интегральное (б) распределение  Пирсона

Интегральная  функция распределения Пирсона  определяется как вероятность того, что все значения дроби (3.15) будут  меньше или равны некоторому заданному значению X²_k,P:

Значения этой вероятности табулированы (табл. П7), и дифференциальная функция распределения зависит только от k. С помощью этой таблицы определяют доверительные границы попадания результатов оценки дисперсии с заданной вероятностью.

Вначале, задаваясь  некой малой вероятностью q-уровнем значимости, определяют вероятность того, что отношение (3.15) не вышло за пределы 0,5q как малых, так и больших значений ξ (рис. 3.2, б):

Затем определяют доверительный интервал для СКО  в виде

Неравенство в  квадратных скобках означает, что  истинное значение СКО результатов  измерений σ с вероятностью P = 1 - q лежит между значениями S₁, и S₂, которые соответственно равны

При к> 30 для  определения границ доверительных  интервалов можно использовать приближенные формулы для вычисления х

где tp определяется из условия Ф (t_p) = Р по таблицам нормального распределения (табл. ПЗ и П4). Иногда проводят одностороннюю оценку доверительной вероятности дисперсии — только сверху. При этом определяют границу которую СКО не превысит с заданной вероятностью Р.

Решение задач

Задача 3.1 В условиях нормального распределения погрешности измерения получены следующие оценки результатов измерения: средняя арифметическая длина стержня х = 13,043 мм и ее СКО S = 0,028 мм. Число измерений n = 4. Определить вероятность P{13,113 > Q> 12,973}

Решение. Найдем СКО среднего значения по формуле 

и число степеней свободы k = n - 1 =4 - 1 = 3. Поскольку интервалы симметричны относительно среднего значения, то величину t_p определим из соотношения

По табл. П6 при t_p= 2,5, k = 3 найдем вероятность Р= 0,9122.

Таким образом, вероятность того, что истинное значение лежит в интервале от12,973 до13,113, равна 0,9122 или 91,22%.

 

Задача 3.5. В условиях нормального распределения измерений получены следующие оценки измеряемой величины: х = 94,238 мм,Sx = 0,016 мм. Определить интервал, в котором может находиться истинное значение величины Q с вероятностью 0,9360, если число измерений равно 16.

Решение. Найдем СКО среднего значения по формуле

и число степеней свободы k = n - 1 =16 - 1 = 15. Поскольку нам известна величина Р и значение k, то по таблице П6 мы можем узнать величину t_p. Она равна t_p=2.

Примем, что истинное значение Q будет находиться в симметричном интервале, найдем их разность.

Найдем значения X₁=94,238-0,016=94,222

X₂=94,238+0,016=94,254

Истинное значение Q будет находиться в интервале от 94,222 до 94,254 с вероятностью 0,936.

 

Задача 3.7. Обработка результатов измерения длины изделия дала следующие результаты: х = 81,730 мм, S_x = 0,008 мм, число измерений n = 4. Определить вероятность того, что истинное значение Q будет находиться между х₁ = 81,720 мм и х₂ = 81,740 мм.

Решение. Найдем СКО среднего значения по формуле 

и число степеней свободы k = n - 1 =4 - 1 = 3. Поскольку интервалы симметричны относительно среднего значения, то величину t_p определим из соотношения

По табл. П6 при t_p= 2,5, k = 3 найдем вероятность Р= 0,9122.

Таким образом, вероятность  того, что истинное значение лежит  в интервале от 81,720 до 81,720, равна 0,9122 или 91,22%.