Выбор периодов следования неэквидистантных последовательностей импульсов

Введение

Изучение большинства разделов радиотехники базируется на знании и умении применять на практике большого количества математических методов и подходов. Для этого в курс обучения студентов радиотехнических направлений подготовки введена дисциплина «Математические методы в радиотехнических расчетах». Материал этой дисциплины призван расширить знания студентов в специальных разделах математики и научить применять их при проведении радиотехнических расчетов.

Большинство математических методов, применяемых в радиотехнике, являются достаточно громоздкими и трудоемкими, поэтому для автоматизации вычислений и расчетов широко используется вычислительная техника и математические пакеты прикладных программ. В настоящее время наиболее популярной программой является MathCAD 14. Эта программная среда сочетает в себе большое количество математических функции с достаточно простым интуитивно-понятным интерфейсом. Кроме этого эта программа позволяет автоматизировать элементарные математические расчеты, представлять полученные результаты при помощи большого количества разнообразных графиков, а так же проводить достаточно сложные научные и экспериментальные исследования.

 

Глава 1. Выбор периодов следования неэквидистантных последовательностей импульсов

 

Импульсные сигналы широко используются в радиосистемах в качестве переносчиков различной информации, а так же при зондировании пространства. При этом различают регулярные (эквидистантные) и неэквидистантные последовательности импульсов. В первых, основные параметры (амплитуда, частота и фаза) от импульса к импульсу последовательности являются неизменными, а у вторых один или несколько параметров изменяются случайно, либо по какому-либо закону.

Наибольшее распространение получили регулярные последовательности импульсов, характеристики которые достаточно хорошо и полно изучены.

Неэквидистантные последовательности импульсов могут быть получены двумя разными путями. В виде таких последовательностей могут формироваться импульсные сигналы, принятые в процессе исследования разного рода систем, либо в результате получения информации (дискретизация сигналов с пропусками и сбоями наблюдений, стохастическое и квазистохастическое кодирование, потоки отсчетов в цифровых системах передачи информации и т.д.) [1]. В ряде задач обработки [2, 3] неэквидистантные последовательности формируются намерено, поскольку при этом появляется возможность выявить дополнительную информацию из принятого сигнала, либо расширить пределы измерений. В первом случае последовательность импульсов уже получена и необходимо синтезировать наилучшие, в некотором смысле, алгоритмы ее обработки, во втором – тип неэквидистантности последовательности импульсов задается, исходя из наиболее предпочтительных критериев дальнейшей их обработки. В представленной работе рассмотрены пути решения второй задачи.

 

1.1 Регулярные последовательности и их свойства

Свойства регулярных последовательностей импульсов в настоящее время достаточно хорошо изучены [см., например, 4, 5], остановимся на основных свойствах этих последовательностей, которые нам понадобятся в дальнейших исследованиях. В большинстве задач характеризуют импульсные последовательности при помощи корреляционных функций, спектральных плотностей, а также для них строят функции неопределенности [5, 6].

Рассмотрим следующую задачу. Пусть формируется последовательность из N импульсов, каждый из которых в пределах периода импульса описывается функцией вида

 

где A(t) – известный закон изменения огибающей импульса; w0 = 2p×f0, f0 – несущая частота; y(t) – известный закон изменения фазы импульса; j0 – начальная фаза и tИ – длительность импульса.

В случае регулярной последовательности все параметры импульсов являются постоянными – период следования T, несущая частота f0, начальная фаза j0 и длительность tИ, изменяются только A(t) и y(t).

Для примера на рис. 1.1 приведена последовательность из десяти видеоимпульсов (w0 = 0) со следующими параметрами: длительность каждого импульса составляет tИ = 100 мкс, период следования T = 1 мс, A(t) = А = 1, y(t) = 0 и j0 = 0.

Рис. 1.1. Регулярная последовательность видеоимпульсов

 

1.1.1 Автокорреляционная функция  регулярной последовательности  импульсов

Наиболее часто для описания свойств импульсных последовательностей рассчитывают ее автокорреляционную функцию (АКФ), которая для детерминированного сигнала вычисляется по формуле [5]

 

Подставим в (1.2) выражение, описывающее сигнал (1.1). С учетом того, что сигнал в пределах периода T отличен от нуля только от –tИ/2 до tИ/2, а так же введенные ограничения A(t) = A, y(t) = 0 и j0 = 0, получим

 

Решением определенного интеграла (1.3) является выражение для АКФ одиночного видеоимпульса

 

или

 

где

 

- функция синус Котельникова.

Для получения выражения АКФ регулярной последовательности импульсов воспользуемся методикой изложенной в [4, 5]:

1. АКФ регулярной последовательности из N импульсов содержит 2N – 1 лепестков;
2. Центральный лепесток имеет максимальную амплитуду, лепестки справа и слева от центрального являются симметричными с уменьшающейся амплитудой;
3. Значение центрального лепестка АКФ последовательности импульсов равна N×R(t) одиночного импульса (1.5);
4. Значение первого бокового лепестка равна (N – 1)×R(t), второго (N – 2)×R(t), и т.д., последний лепесток АКФ определяется соотношением (1.5).

На рис. 1.2 приведена рассчитанная средствами языка программирования С++ по соотношению (1.2) АКФ последовательности, приведенной на рис. 1.1. Полученная АКФ и функция, рассчитанная по описанной выше методике и соотношению (1.5), полностью совпали. Это говорит о том, что получить АКФ регулярной последовательности видеоимпульсов можно как в результате моделирования, так и при помощи расчетов.

Основными характеристиками АКФ являются – ширина центрального лепестка и максимальный уровень боковых лепестков (УБЛ). Из соотношения (1.5) и рис. 1.2 видно, что ширина центрального лепестка, как и всех других, составляет 2tИ. Максимальный УБЛ равен отношению максимального значения бокового лепестка Rmax(t) (в нашем случае это первый боковой лепесток) к максимальному значению центрального R(0)

 

Для рассчитанной АКФ, приведенной на рис. 1.2 УБЛ составляет минус 0,92 дБ.

Рис. 1.2. АКФ регулярной последовательности видеоимпульсов

 

Рассмотрим теперь регулярные последовательности импульсов, у которых w0 ¹ 0, причем исследуем частный случай, когда выполняется условие

 

где M – любое четное число, при этом начальные фазы каждого импульса в последовательности принимают одно и то же значение.

На рис. 1.3, а) приведена последовательность таких импульсов (1.1) при f0 = 10 кГц (из соотношения (1.8) следует, что M = 10), а на рис. 1.3, б) два первых импульса этой последовательности. На рис 1.4, а) полученная АКФ, а на рис. 1.4, б) центральный и два первых ее боковых лепестка.

В случае, когда w0 ¹ 0 последовательность содержит импульсы, состоящие из части периода или нескольких периодов гармонического колебания, и, как следствие, АКФ из треугольной формы, как в случае последовательности видеоимпульсов (рис. 1.2), становится колебательной (рис. 1.4), причем R(t) принимает как положительные, так и отрицательные значения. Как видно из рис. 1.4 при w0 ¹ 0 ширина центрального лепестка, как и в случае последовательности видеоимпульсов составляет 2tИ, а УБЛ увеличился до значения минус 0,51 дБ. Кроме этого из сравнения рис 1.2 и 1.4 видно, что максимум главного лепестка АКФ при w0 ¹ 0 уменьшается по сравнению со случаем, когда w0 = 0. Как и в случае видеоимпульсов, функция, рассчитанная по (1.5) по описанной методике совпала с экспериментальной зависимостью, приведенной на рис. 1.4.

 

а)     б)

Рис. 1.3. Регулярная последовательность импульсов при f0 = 10 кГц

 

Теперь рассмотрим общий случай, когда соотношение (1.8) не выполняется. Например, если у каждого импульса последовательности f0 = 200 Гц (из соотношения (1.8) М = 0,2), то получаем последовательность импульсов, приведенных на рис. 1.5. Из рис. 1.5 видно, что начальные фазы у каждого импульса последовательности принимают разные значения, АКФ такой последовательности показана на рис. 1.6.

 

а)      б)

Рис. 1.4. АКФ регулярной последовательности импульсов при f0 = 10 кГц

 

В ситуациях, когда w0 ¹ 0 и соотношение (1.8) не выполняется использовать описанную методику получения аналитического выражения для расчета АКФ последовательности импульсов на основе выражения для АКФ одиночного импульса нельзя. В общем случае получение такого аналитическое выражение вызывает серьезные трудности и определить АКФ проще при помощи моделирования.

Рис. 1.5. Регулярная последовательность импульсов при f0 = 200 Гц

 

Рис. 1.6. АКФ регулярной последовательности импульсов при f0 = 200 Гц

 

Как видно из приведенных рисунков ширина главного лепестка АКФ остается неизменной при различных значениях w0. Получение аналитического выражения для АКФ в общем случае вызывает сложности, однако для расчета УБЛ АКФ формируемой последовательности импульсов при разных значениях w0 можно использовать следующую методику.

Рассмотрим предельный случай последовательности, когда период и длительность импульса равны друг другу. При этом последовательность импульсов переходит в гармоническое колебание с частотой w0. Т.е. мы наблюдаем сигнал вида

 

На рис. 1.7 приведены – гармоническое колебание с w0 = 500 Гц (пунктирная кривая) и полученная из нее последовательность импульсов (сплошная кривая).

Рис. 1.7. Гармоническое колебание с w0 = 500 Гц (пунктирная кривая) и последовательность импульсов (сплошная кривая)

 

Получим выражение для АКФ сигнала (1.9) при помощи выражения (1.2) при A(t) = A, y(t) = 0 и j0 = 0. После вычисления интеграла и проведения алгебраических упрощений получаем выражения для АКФ

 

где – длительность наблюдаемого гармонического колебания.

На рис. 1.8, а) – в) приведены нормированные АКФ последовательностей импульсов при w0 = 0 Гц, 500 Гц и 1000 Гц (сплошная кривая) и отрезка гармонического колебания длительностью (пунктирная кривая). Из рис 1.8 видно, что АКФ сигналов (1.1) и (1.9) совпадают в точках экстремумов. Т.о. для расчета УБЛ АКФ последовательности импульсов длительностью при различных значениях w0 необходимо:

1. по соотношению (1.10) рассчитать АКФ;
2. найти модули значений АКФ в точках t, 2t, …, Nt или в точках –t, –2t, …, –Nt от точки главного максимума АКФ;
3. выбрать из полученных значений максимальное;
4. по соотношению (1.7) рассчитать значение УБЛ.

а) f0 = 0 Гц     б) f0 = 500 Гц

в) f0 = 1000 Гц

Рис. 1.8. АКФ

 

1.1.2 Спектральная плотность  регулярной последовательности  импульсов

Второй важной характеристикой импульсных последовательностей является спектральная плотность, которая определяет меру энергии, приходящейся на единичную полосу частот [5]. Найдем спектральную плотность периодической последовательности импульсов с постоянным периодом T и постоянной несущей частотой f0 как прямое преобразование Фурье [5]

 

Определим выражение для спектральной плотности одиночного импульса (1.1) при A(t) = A, y(t) = 0 и j0 = 0. Подставим в (1.11) выражение (1.1), с учетом введенных ограничений, получаем

 

Воспользуемся формулой Эйлера

 

и вынесем постоянные множители за знак интеграла, получаем следующее выражение

 

 

Поскольку значения сигнала отличны от нуля только в пределах от –tИ/2 до tИ/2, то и интегрирование будем проводить в этих пределах. Интегралы являются табличными, решением которых являются выражения

 

 

 

С учетом того, что

 

получаем окончательное выражение для спектральной плотности одиночного импульса

 

Если числитель и знаменатель каждой дроби выражения (1.13) умножить и поделить на tИ/2, то получим выражение для спектральной плотности, определяемое через функцию синус Котельникова (1.6), т.е.

 

На рис. 1.9 приведены спектральные плотности одиночного импульса, рассчитанные по соотношению (1.14) при A = 1 и f0 = 0, 5, 10 кГц средствами программы математического моделирования MathCAD.

f0 = 0 кГц      f0 = 5 кГц

f0 = 10 кГц

Рис. 1.9. Спектральные плотности одиночного импульса при разных значениях f0

 

Определим выражение для спектральной плотности последовательности из N импульсов, имеющих постоянный период T. При этом значения сигнала становятся отличными от нуля в пределах –tИ/2..tИ/2,                       –tИ/2+T..tИ/2+T, –tИ/2+2T..tИ/2+2T,…–tИ/2+(N–1)T..tИ/2+(N–1)T, в таких же пределах будем интегрировать (1.12). Каждый интеграл в правой части (1.12) будет являться суммой из N интегралов с пределами интегрирования –tИ/2..tИ/2, –tИ/2+T..tИ/2+T, –tИ/2+2T..tИ/2+2T,…–tИ/2+(N–1)T..tИ/2+(N–1)T. Первообразная каждого из N интегралов одна и та же, разными являются лишь пределы интегрирования. Из выражения (1.12) получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разложим экспоненциальную функцию на множители