Преобразование непериодического сигнала в линейной цепи

 

 

3.2 Расчет переходных характеристик

 

По определению переходные характеристики, а именно передаточная характеристика K_u(p) и входной импеданс Z_вх(p):

K_U(P) = U_вых/U_вх  (3.2)

Z_вх(P) = U_вх/I_вх  (3.3)

Используя (3.2) и (3.3) можно получить выражения для выходного напряжения и входного тока в зависимости  от комплексной частоты р:

  (3.4)

  (3.5)

 

Для того чтобы провести расчет переходных характеристик необходим предварительно разложить рациональные функции U_вых(р) и I_вх(р) на простые дроби.

Разложение на дроби проведем с  помощью программы DROBI.BAS. Указанная программа производит разложение на простые дробы операторной функции вида

 (3.6)

Первым шагом проведем разложение функции U_вых(р). Для этого вводим в программу следующие параметры:

Степень полинома числителя m= 2;

Степень полинома знаменателя  n= 2.

Коэффициенты числителя:

a₀ = 0;

a₁ = 0;

a₂ = -0.01.

Коэффициенты знаменателя:

b₀ = 1217;

b₁ = 0.014;

b₂ = 3.1×10^-10.

В результате работы программы были получены следующие результаты:

Целая часть А₀ = -32258.07, кратность полюса в бесконечной точке R=0.

Комплексный полюс р₁ = -22580.65+/-58445.88j, кратность R=1.

Простые дроби вида и ,

где А₁= 7.28408×10⁸, В₁= 8.01965×10⁸, a₁ = 22580.65, b₁ = 58445.88.

 

Аналогично произведем разложение I_вх(р). Вводим в программу следующие параметры:

Степень полинома числителя m=2;

Степень полинома знаменателя n=3.

Коэффициенты числителя:

a₀ = 1;

a₁ = 1.43×10^-5;

a₂ = 3.31×10^-10.

Коэффициенты знаменателя:

b₀ = 0;

b₁ = 1217;

b₂ = 0.014;

b₃ = 3.31×10^-7.

В результате работы программы были получены следующие результаты:

Полюс в начале координат p₁=0, кратность R=1.

Простая дробь вида , где А₁=8.216927×10^-4.

Комплексный полюс р₂ = -2258.065+/-58445.88j, кратность R=1.

Простые дроби вида и ,

где А₂= 8.915368×10^-5, В₂= 4.115172×10^-5, a₂ = 21148.04, b₂ = 56828.67.

 

Далее выполним расчет переходных характеристик  по операторным функциям отклика, представленным в виде простых дробей с помощью программы PERCHAR.BAS.

Для этого введем в программу  результаты разложения функций на простые дроби и следующие параметры:

Максимальное время T₂= 10^-3;

Шаг таблицы во времени T₃= 4×10^-5.

На рисунке 3.4 представлена переходная характеристика выходного напряжения U_вых(t). В таблице 3.2.1 представлены соответствующие значения функции H(t).

 

Рис.3.4. График переходной характеристики Uвых(t).

Таблица 3.2.1.

Значения функции Н(t) для U_вых(t).

t, мкс	H(t)
40	5.825227×107
80	-2.720287×108
120	1.434507×108
160	-3.601507×107
200	-3301039
240	7771819
280	-382549
320	877733.5
360	135218.4
400	-220216.5
440	101665.4
480	-21020.04
520	-4873.202
560	6193.461
600	-2683.499
640	492.298
680	163.8051
720	-172.995
760	70.40788
800	-11.19294

 

Аналогично рассчитаем переходную характеристику I_вх(t). Для этого введем в программу результаты разложения функций на простые дроби и следующие параметры:

Максимальное время T₂= 10^-3;

Шаг таблицы во времени T₃= 2×10^-5.

На рисунке 3.5 представлена переходная характеристика выходного напряжения I_вх(t). В таблице 3.2.2 представлены значения функции H(t).

 

Рис. 3.5. График переходной характеристики Iвх(t).

 

Таблица 3.2.2

Значения функции Н(t) для I_вх(t).

t, мкс	H(t)
20	9.197489×10-4
40	7.992198×10-4
60	7.672234×10-4
80	8.013131×10-4
100	8.338354×10-4
120	8.371321×10-4
140	8.249919×10-4
160	8.168853×10-4
180	8.176269×10-4
200	8.215148×10-4
220	8.233395×10-4
240	8.226768×10-4
260	8.215284×10-4
280	8.211798×10-4
300	8.214805×10-4
320	8.217959×10-4
340	8.218406×10-4
360	8.2173×10-4
380	8.216498×10-4
400	8.216531×10-4

 

 

4. Исследование влияния R₁ на амплитудно-частотную, фазо-частотную и переходные характеристики.

 

Для исследования влияния значения сопротивления резистора R₁ на характеристики фильтра возьмем пять различных величин и по формулам (2.10)-(2.12) найдем значения емкостей и сопротивлений остальных элементов цепи.

Таблица 4.

Значения сопротивлений R₂, R₃ и емкости С для различных значений R₁.

R1, Oм	R2, Oм	R3, Oм	С, нФ
250	54	350	128
500	109	700	64
1000	217	1400	32
2000	435	2800	16
4000	870	5600	8

 

Вычислим выражения для передаточной характеристики фильтра при различных значениях R₁ (Таблица 4.1).

Таблица 4.1.

Выражения для передаточной характеристики при различных значениях R₁.

R1, Oм	Ku(p)
250
500
1000
2000
4000

 

 

1. Исследование влияния  R₁ на амплитудно-частотную, фазо-частотную характеристики фильтра.

 

Исследуем влияние изменения R₁ на частотные характеристики фильтра. В таблице 6 представлены ЛАЧХ и ЛФЧХ фильтра, соответствующие разным значениям R₁.

Таблица 4.1.1.

ЛАЧХ и ЛФЧХ полосового ARC-фильтра для различных значениях R₁.

R1, Oм	ЛАЧХ	ЛФЧХ
250
500
1000
2000
4000

 

Проанализируем полученные результаты. Из таблицы 4.1.1 видно, что с увеличением R₁ амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики фильтра улучшаются и становятся все более близкими к частотным характеристикам идеального полосового фильтра.

 

2. Исследование влияния R₁ на переходные характеристики фильтра.

 

Далее исследуем влияние изменения  R₁ на переходные характеристики фильтра. Для этого вычислим выражения для переходных характеристик фильтра при различных значениях R₁ (Таблица 4.2.1).

Таблица 4.2.1.

Выражения для переходных характеристик U_вых(t) и I_вх(t) фильтра при различных значениях R₁.

R1, Oм	Uвых(t)	Iвх(t)
250
500
1000
2000
4000

 

В таблице 4.2.2 представлены переходные характеристики U_вых(t) и I_вх(t) фильтра, соответствующие разным значениям R₁.

Таблица 4.2.2.

Переходные характеристики U_вых(t) и I_вх(t) полосового ARC-фильтра для различных значениях R₁.

R1, Oм	Uвых(t)	Iвх(t)
250
500
1000
2000
4000

 

Из анализа таблицы 4.2.2 видно, что изменение сопротивления R₁ практически не влияет на переходную характеристику U_вых(t), однако сильно сказывается на переходной характеристике I_вх(t). С увеличением R₁ переходная характеристика по входному току улучшается.

 

Таким образом, результаты исследования влияния R₁ на частотные и переходные характеристики полосового ARC-фильтра показали, что во всех случаях предпочтительным является использование резисторов R₁ с большим сопротивлением, поскольку увеличение данного сопротивления улучшает как частотные, так и переходные характеристики фильтра.

 

Заключение

 

В рамках выполнения курсовой работы нами было решено несколько задач.

Было проведено детальное изучение литературы по теории линейных цепей. Поскольку темой работы являлось изучение активного полосового RС-фильтра, то литературным источникам, касающимся этого вопроса было уделено наибольшее внимание. Был изучен операторный способ представления передаточной функции и входного импеданса. Далее был проведен подробный теоретический вывод аналитических выражений для операторных передаточной функции и входного импеданса для исследуемой цепи фильтра. Проверка вывода в аналитической форме операторного коэффициента передачи по напряжению активного фильтра программой CURS2.BAS показала, что расчет был произведен верно.

Следующим шагом являлся параметрический  синтез ARC-цепи полосового фильтра согласно заданным значениям коэффициента передачи фильтра в полосе пропускания, квазирезонансной частота полюса и добротности полюса.

Поскольку при интегральной технологии изготовления ARC-фильтров, необходимо, чтобы одноименные элементы имели минимальный разброс параметров, то мы приняли, что используемые конденсаторы должны иметь одинаковую емкость. Далее были рассчитаны значения сопротивлений и емкостей всех резисторов и конденсаторов используемых в схеме фильтра. Проверка правильности полученных значений проводилась путем сравнения рассчитанных параметров фильтра (коэффициента передачи ARC-фильтра в полосе пропускания, частоты и добротности полюса) с данными задания. Рассчитанные значения хорошо согласуются с исходными параметрами фильтра.

Далее был проведен расчет и построены графики частотных (амплитудно-частотной, фазо-частотной, амплитудно-фазовой) и переходных (U_вых(t) и I(t)_вх) характеристик ARC-фильтра.

Основной же задачей проекта  являлось изучение влияния значения сопротивления резистора R₁ на частотные и переходные характеристики фильтра. В результате проведенных исследований было установлено, что с увеличением R₁ амплитудно-частотная, фазо-частотная и переходная Iвх(t) характеристики улучшаются. В то же время изменение R₁ практически не влияет на переходную характеристику U_вых(t).

Таким образом, был сделан вывод, что  при проектировании полосовых активных ARC-фильтров в качестве резистора R₁ выгодней всего использовать резисторы с возможно большим значением сопротивления.