Передаточная функция системы: последовательное, параллельное соединение звеньев; система охвачена обратной связью, сложная система

Федеральное агентство по образованию  РФ

Филиал «СЕВМАШВТУЗ» Санкт- Петербургского

государственного технического морского университета в г.Северодвинске

 

 

 

Кафедра №7 «Океанотехника и энергетические установки»

Дисциплина «Автоматизация СЭУ»

 

 

Курсовой проект

Тема: «Передаточная функция системы: последовательное, параллельное соединение звеньев; система охвачена обратной связью, сложная система»

 

 

 

 

 

Студент  Савушкин В.В.

Группа           1342

Преподаватель Стенин В.А.

 

 

 

 

 

 

 

г. Северодвинск

2012 г.

§ 1. Обозначения, применяемые в структурных схемах.

Типовое динамическое звено обозначается на структурной схеме условно  в виде прямоугольника с указанием  передаточной функции внутри него. Для звена с запаздыванием  иногда внутри прямоугольника указывается время запаздывания τ и наносится штриховка.

Необходимость разветвления и суммирования сигналов при осуществлении обратных связей также требует определенного отображения на структурной схеме. При разветвлении сигнала предполагается, что к каждому звену поступает один и тот же сигнал. Так как сигнал не обладает массой или энергией, то в месте разветвления он не делится; в этом месте па структурной схеме ставится точка. Суммирование сигналов обозначается кружком с указанием знака сигнала. В некоторых случаях знак сигнала не указывается, а кружок разделяется на секторы.

Структурная схема рассматривается  как схема прохождения и преобразования сигналов в системе управления. Отдельные звенья структурной схемы не обязательно должны соответствовать определенным конструктивным элементам системы; они изображают части системы, характеризуемые определенными переходными или передаточными функциями. Точки разветвления и узлы суммирования сигналов обычно разделяют отдельные звенья; один конструктивный элемент может быть представлен несколькими типовыми звеньями, а иногда несколько элементов объединяются в одно типовое звено. Все это облегчает расчет и конструирование систем.

Структурную схему составляют на основании  функциональной схемы, причем вначале  определяют связи, по которым сигналы  могут распространяться только в  одном (прямом) направлении. Звенья при  этом соединяют определенным образом, указывая стрелками направление распространения сигналов. Затем находят связи обратного прохождения сигналов и также наносят их на структурную схему. После этого в схему вводят возмущающие воздействия.

 

§ 2. Правила преобразований структурной схемы при различном соединении звеньев

Структурная схема, содержащая несколько  звеньев, в дальнейшем может быть преобразована с целью получения  эквивалентных передаточных функций разомкнутой и замкнутой систем; при этом используют указанные ниже правила.

Последовательное соединение звеньев. Это такое соединение, когда выходная переменная каждого предыдущего звена является входным воздействием для последующего звена (и только для него одного).

Рассмотрим последовательное соединение двух простых звеньев, имеющих передаточные функции:

 

                                              

                                                          2.1а

                                              

                                                         2.1б

где:

                                                

                                                                        2.2

Для эквивалентного звена запишем:

 

                                            

                                                         2.3

Если учесть (2.1) и (2.2), то получим:

 

                                   

                               2.4

Таким образом, передаточная функция  последовательно соединенных звеньев равна произведению их передаточных функций. Это справедливо при любом количестве последовательно соединенных звеньев. Для цепи, состоящей из п звеньев, при последовательном соединении (рис. 2.1а) эквивалентная передаточная функция:

 

                            

                             2.5а

Следовательно, можно записать:

 

Выражение (2.5а) справедливо и для обратных передаточных функций последовательно соединенных звеньев:

 

                            

                                           2.5б

Из (2.1а) следует, что собственный оператор эквивалентного звена равен произведению собственных операторов, а оператор воздействия ‒ произведению операторов воздействий последовательно соединенных звеньев.

Параллельное соединение звеньев. Это такое соединение, когда на вход всех звеньев подается один и тот же сигнал, а выходная переменная равна сумме выходных переменных звеньев (рис. 2.1, б).

 

 

Рассмотрим параллельное согласное  соединение двух простых звеньев, имеющих  передаточные функции:

  

 

                                                    

 

 

 

Для эквивалентного звена запишем:

 

С учетом (2.6) последнее выражение  запишется в виде:

 

Таким образом, при параллельном соединении п звеньев (см. рис. 7.1, б) эквивалентная передаточная функция:

 

                                    

                        2.7

Если два звена соединены  так, что их выходные сигналы вычитаются, то эквивалентная функция:

 

                                  

                                                           2.8

При параллельном соединении устойчивых звеньев результирующее звено будет также устойчивым. Однако в зависимости от того, складываются или вычитаются выходные сигналы звеньев, при параллельном соединении минимально-фазовых звеньев можно получить неминимально-фазовое результирующее звено. Например, при параллельном соединении безынерционного и инерционного звеньев, сигналы которых вычитаются, имеем:

 

,

что при k_l > k₂ соответствует неминимально-фазовому звену.

Аналогичный результат можно получить и в других случаях. Указанные правила для параллельного соединения не относятся к обратным передаточным функциям. Для них необходимо, используя (2.7), определить эквивалентную передаточную функцию, а затем взять функцию, обратную ей.

Звенья с обратными связями. В некоторых случаях, на вход звена кроме входного воздействия подается часть выходного сигнала х_о∙с. В зависимости от знака сигнала обратной связи различают положительные и отрицательные обратные связи. Устройство, осуществляющее передачу выходной переменной па вход звена, может быть представлено (в зависимости от его свойств и характеристик) каким-либо типовым динамическим звеном с передаточной функцией К_о∙с(р) В общем случае сигнал х_о._с является выходом некоторого устройства обратной связи; входом для этого устройства будет выходная переменная основного звена, поэтому можно записать:

 

                                       

                                   2.9

 

                                          

                                                2.10

где К (р) — передаточная функция звена для прямой цепи прохождения сигнала.

В уравнении (2.9) знак «+» соответствует положительной, а знак «—» — отрицательной обратной связи. По уравнениям (2.9) и (2.10) можно получить эквивалентную передаточную функцию звена с обратной связью в общем случае. Уравнение (2.9) с учетом (2.10) запишется как:

 

откуда:

 

                                         

                                 2.11

Знак «—» в (2.11) соответствует положительной, знак «+»— отрицательной обратной связи.

В зависимости от того, каким звеном представлена обратная связь, она может  быть жесткой, гибкой или смешанной.

 

§ 3. Структурные схемы и передаточные функции одноконтурных и многоконтурных замкнутых систем.

Если система состоит из простых  звеньев, соединенных последовательно, и сигнал проходит только по одной цепи, то при замыкании этой цепи путем подачи выходной переменной на вход (главная обратная связь) будет получена одноконтурная замкнутая система (рис. 3.1).

Рассмотрим случай, когда на систему  действует только задающее воздействие Х_вх (рис. 3.1 а). При этом сигнал, подаваемый на вход первого звена,

 

                                                 

                                                          3.1

Используя (2.5), можно получить передаточную функцию К (р) разомкнутой системы и записать следующее уравнение:

 

                      

                                   3.2

     

откуда:

 

                                             

                                                     3.3

На основании (3.3) передаточная функция замкнутой  системы

 

                                       

                                            3.4

Если действует только внешнее  возмущение, то передаточная функция разомкнутой системы относительно возмущения, приложенного к звену п (рис. 3.1 б). имеет вид:

 

                                  

                                                                3.5

При этом определится передаточная функция замкнутой системы при  возмущающем воздействии:

 

                        3.6

Обычно возмущающее воздействие  в виде нагрузки прикладывается к управляемому объекту (см. звено п на рис. 7.2). Следовательно, передаточная функция замкнутой системы относительно возмущающего

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис 3.1

воздействии W_z(р) характеризуется передаточной функцией разомкнутой системы К(р) и передаточной функцией К(р) звена (или ряда звеньев), к которому приложено возмущающее воздействие. Передаточная функция К _z(р) определяется относительно возмущения Z(р) и выхода X_вых (р).

Указанное позволяет в каждом случае получить передаточные функции системы  при наличии возмущающего воздействия, приложенного к входу любого звена. Чтобы оценить влияние какого-либо воздействия па изменение любой промежуточной переменной величины замкнутой системы, надо сначала составить структурную схему относительно рассматриваемого воздействия и выходной переменной (рис. 7.2, б). Далее находится передаточная функция К(р) разомкнутого участка цени между точкой приложения возмущающего воздействия и рассматриваемой выходной переменной. Все остальные звенья схемы системы выносятся в участок цепи главной обратной связи ГОС. при этом определяется их эквивалентная передаточная функция:

 

 

В результате напучится структурная  схема в виде эквивалентного звена К. (р). охваченного обратной связью с передаточной функцией Д" (р). Но соответствующей формуле для звена с обратной связью составляется передаточная функция с учетом:

 

как это указано в (7.17). При заданном сигнале на входе и отклонении управляемой переменной на вход системы  наступает сигнал ошибки Ах, определяемый по уравнению (7.12).

Аналогичное выражение можно напучить, представив структурную схему относительно х,,, и выхода в виде Дл\ В этом случае передаточная функция цепи прямого прохождения сигнала равна единице, а все звенья системы оказываются включенными в цепь ГОС:

 

                                                

При этом передаточная функции замкнутой  системы:

 

В более общем случае структурная  схема сложной автоматической системы  может содержать смешанное соединение звеньев и дополнительные внутренние обратные связи, представленные различными типовыми звеньями. Чтобы определить передаточные функции таких систем, следует выполнить некоторые преобразования участков структурной схемы.

Если структурная схема системы  содержит несколько внутренних обратных связен, она называется многоконтурной; преобразование ее участков выполняется с учетом (2.5), (2.9) и (2.11). При этом сначала приводятся к эквивалентным звеньям участки с параллельным соединением простых звеньев и звеньев с обратными связями, затем, нс- пользуя (7.4) или (7.6), находится передаточная функция замкнутой многоконтурной системы.