Основные свойства и методы расчета линейных цепей постоянного тока

По теореме об эквивалентном генераторе активный двухполюсник заменим эквивалентным генератором.

 

 

 

Дифференцируем  по и приравниваем производную к нулю

 

 

Тогда

Отсюда  . В линейных цепях без управляемых источников всегда , значит . Такой режим работы двухполюсника называют согласованным режимом. В этом режиме:

 

,

,

.

 

Определить КПД передачи мощности в общем случае нельзя, так как  нужно знать не только , но и мощность, генерируемую внутри двухполюсника. Однако замену активного двухполюсника эквивалентным генератором проводим только из условия, что неизменным должен остаться только режим внешней цепи.

 

6. Эквивалентные преобразования структуры линейных цепей

 

Структуру цепи преобразовывают  для упрощения расчета режима и анализа взаимосвязи величин, описывающих режим.

Преобразование называется эквивалентным, если режим незатронутой преобразованием части схемы, остается неизменным.

Рассмотрим примеры  преобразования, которые проводятся таким образом, чтобы токи, напряжения, уравнения цепи вне преобразованной части цепи не изменялись.

 

рис. 2.8.1

 

1) Эквивалентные преобразования  пассивной части схемы

Заменим ветвь аб с  последовательным соединением элементов  одним эквивалентным сопротивлением , так чтобы и остались прежними.

 

рис. 2.8.2

 

По второму закону Кирхгофа:

- согласно рис. 2.8.1 , тогда

- согласно рис. 2.8.2 , где

Заменим ветви между  точками аб одним эквивалентным  сопротивлением рис. 2.8.3

 

рис. 2.8.3

 

По первому закону Кирхгофа для исходной схемы (см. рис. 2.8.2)

 

;

 

По закону Ома: , ,

Для эквивалентной схемы  запишем:

 

, где

 

2) Эквивалентные преобразования  активной части схемы

Ранее мы выяснили, что  любую часть схемы с двумя  зажимами можно заменить эквивалентным  генератором с параметрами  , , .

 

 

 

По второму закону Кирхгофа (рис. 2.8.4).

 

.

 

По первому закону Кирхгофа: , , тогда (см. рис. 2.8.5).

Сравнивая два выражения, приходим к выводу, что замена будет эквивалентной с точки зрения режима не преобразованной цепи, если выбрать , , следовательно .

3) Устранение из схемы  ветви типа Е

Этот прием бывает полезен, когда схема содержит несколько  ветвей типа E не соединенных между собой, а очень хочется писать уравнение метода узловых потенциалов.

Пусть есть схема с  ветвью типа E, которую мы хотим устранить, но так, чтобы режим в остальных ветвях не изменился должны остаться неизменными токи в остальных ветвях. Для этого необходимо сохранить такую же систему уравнений.

Включим во все ветви, соединенные с одним из узлов  устраняемой ветви, дополнительные источники ЭДС по величине равные устраняемой ЭДС и направленные все одинаково относительно рассматриваемого узла. Дополнительные источники ЭДС должны быть направлены так, чтобы в устраняемой ветви дополнительный источник ЭДС оказался включенным на встречу имевшейся.

Пример:

 

рис. 2.8.6

 

Например, во все ветви  соединенные с 3 узлом, включим источники (см. рис.2.8.7).

 

рис. 2.8.7

 

Проверим, изменились ли токи?

Представим, что мы имели  уравнения для схемы рис. 2.8.6. В схеме рис. 2.8.7 осталось столько же ветвей и столько же узлов, структура схемы такая же, следовательно, такими же останутся уравнения по I закону Кирхгофа. Уравнения по II закону Кирхгофа изменятся, т.к. в правой части этих уравнений появятся дополнительные источники ЭДС, , , . Но численно правая часть этих уравнений не изменится, т.к. в каждое уравнение попало 2 источника ЭДС одинаковой величины и противоположного знака. Следовательно, решение системы для схемы рис. 2.8.6 и для схемы рис. 2.8.7 будет одним и тем же. Теперь ветвь с и имеет нулевое сопротивление и поэтому ее можно заменить проводом (см. рис.2.8.8).

 

рис. 2.8.8

 

Получившийся провод между узлами 1 и 3 сведем в точку, т.е. устраним ветвь типа E (см. рис.2.8.9).

 

рис. 2.8.9

 

Режим получившейся цепи рис. 2.8.9 рассчитываем любым рациональным методом. Возвращаемся к схеме рис. 2.8.6 и по первому закону Кирхгофа находим ток в устраненной ветви.

4) Преобразования "треугольника" сопротивлений в "звезду" и  наоборот

В некоторых задачах можно было бы найти методом сворачивания, но сделать это не удается, т.к. в них имеются не только последовательно и параллельные соединения, но и соединения типа "звезда" и "треугольник".

Пример:

 

 

Для решения таких  задач необходимо знать правило  перехода от заданной "звезды" к  некоторому эквивалентному "треугольнику" сопротивлений и наоборот. И для  схемы "звезда" и для схемы "треугольник" получим выражения через потенциал для токов ветвей подходящих к этим соединениям. Потребуем, чтобы эти токи ветвей и разности потенциалов соответствующих узлов остались неизменными.

 

 

"Звезда":

 

, , то

, тогда

.

 

"Треугольник":

 

.

 

Сравнивая выражения  для тока в этих схемах, получаем, что если I_{1звезды}=I_{1треугольника} одинаковы в обеих схемах и и , одинаковы в обеих схемах, то

 

.

 

Для эквивалентных сопротивлений

 

, ,

 

Чтобы получить формулы преобразования "треугольника" с заданными сопротивлениями , , в эквивалентную "звезду", примем в последних уравнениях в качестве неизвестных сопротивления , , . В результате получим:

 

 

 

Примерный порядок преобразования:

1) в схеме находим соединение, которое хотим преобразовать;

2) удаляем элементы этого соединения;

3) к тем же самым узлам подключаем  эквивалентную схему.

 

 

Список литературы

 

1. Л.А.Бессонов. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. Изд. 10. Учебник для вузов.- М.: Гардаргики, 2002. 638 с.

2. Теория электрических цепей:  Методические указания к лабораторным  работам / Рязан. гос. радиотехн.  акад.; Сост.: С.М.Милюков, В.П.Рынин;  Под ред. В.П.Рынина. Рязань, 2002. 16 с.,2004. 20 с. (№3282, №3624)

3. Электротехника и электроника:  Методические указания к расчетно-графической  работе / Рязан. гос. радиотехн.  акад.; Сост. Г.В.Спивакова. Рязань, 2005. 16 с. (№3665)

4. Основы теории цепей: Методические указания к курсовой работе / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: В.Н.Зуб, С.М.Милюков. Рязань, 2005. 16 с.