Математические модели кривой намагничивания и петель магнитного гистерезиса

Примечание

Аппроксимация (от латинского "approximate" -"приближаться")- приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов.

Как известно, между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходиться сталкиваться со вторым вариантом. При изучении количественных зависимостей различных показателей, значения которых определяются эмпирически, как правило, имеется некоторая их вариабельность. Частично она задается неоднородностью самих изучаемых объектов неживой и, особенно, живой природы, частично обуславливается погрешностью наблюдения и количественной обработке материалов. Последнюю составляющую не всегда удается исключить полностью, можно лишь минимизировать ее тщательным выбором адекватного метода исследования и аккуратностью работы. Поэтому при выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей, этой или иной степени замаскированных неучтенностью вариабельности значений.    Для этого и применяется аппроксимация - приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию зависимости (или ее "тренд").

При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, много параметрическое уравнение. Однако нет никакого смысла стремиться с максимальной точностью передать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирических данных. Гораздо важнее уловить общую закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной функции. Таким образом, выбирая метод аппроксимации, исследователь всегда идет на компромисс: решает, в какой степени в данном случае целесообразно и уместно «пожертвовать» деталями и, соответственно, насколько обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых переменных. Наряду с выявлением закономерностей, замаскированных случайными отклонениями эмпирических данных от общей закономерности, аппроксимация позволяет также решать много других важных задач: формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значения зависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо, экстраполяции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КРИВОЙ

НАМАГНИЧИВАНИЯ И ПЕТЕЛЬ МАГНИТНОГО

ГИСТЕРЕЗИСА. Часть I. Анализ моделей

Проанализируем наиболее используемые аналитические выражения для описания кривой намагничивания и петель гистерезиса.

Введение

Намагничивание и перемагничивание ферромагнетиков широко ис-

пользуется в различных отраслях науки и техники, в том числе в магнит-

ных методах неразрушающего контроля. Эти процессы являются нелиней-

ными и определяются тремя факторами: инверсией, вращением и парапро-

цессом . Их строгое аналитическое описание представляет большие

трудности. Поэтому технические расчеты магнитных цепей с ферромагне-

тиками проводятся с использованием большого количества математиче-

ских моделей . Однако выбор той или иной математической модели

в каждом конкретном случае затруднен из-за отсутствия анализа границ

применимости различных формул.

В данной работе проанализированы наиболее используемые анали-

тические выражения для описания основной кривой намагничивания и пе-

тель магнитного гистерезиса и подробно рассмотрена математическая мо-

дель с использованием арктангенсовых функций.

Основным требованием при построении модели является достаточ-

ная в каждом конкретном случае точность и простота описания основной кривой намагничивания и петель магнитного гистерезиса во всем диапазо-

не изменения перемагничивающего поля.

1. Моделирование кривой намагничивания

В области слабых магнитных полей (H << Hcs) основная кривая на-

магничивания хорошо описывается формулой Релея:

M = χнH + bRH2

где H напряженность намагничивающего поля, Hcs - коэрцитивная сила по

предельному циклу, M - намагниченность ферромагнетика в магнитном

поле напряженностью H, χн - начальная магнитная восприимчивость, bR -

коэффициент Релея.

В области подхода к насыщению используется формула Фрелиха

 

где Ms - намагниченность насыщения, as - постоянная для описываемого

материала.

Выражение, которое приведено выше может быть представлено также в виде

позволяющем весьма точно определить величину Ms в полях, при которых

M еще значительно меньше Ms.

Для описания кривой намагничивания во всей области изменения

магнитного поля используется большое количество различных функций.

В случае, если H и M (или магнитная индукция B) не меняют знака,

то моделирующая функция может быть четной или нечетной. Если же H и

B изменяют знак, то связывающая их функция может быть только нечет-

ной. Коэффициенты в моделирующих функциях определяются по методу

выбранных точек или по методу наименьших квадратов [3].

По методу выбранных точек результаты расчета привязываются к

экспериментальным данным в заданных точках. Число этих точек на кри-

вой намагничивания определяется количеством независимых коэффициен-

тов, входящих в моделирующую функцию. Выбранные точки должны на-

ходится на аппроксимируемом участке кривой намагничивания, и отра-

жать его характерные особенности.

По методу наименьших квадратов коэффициенты моделирующей

функции определяются из условия минимума среднеквадратичного отклонения ее значений от экспериментальных данных. Этот метод обеспечивает лучшее совпадение моделирующей функции с реальной кривой намагничивания, но является более громоздким по сравнению с методом вы-

бранных точек.

1.1. Кусочно-линейная аппроксимация

Для расчета магнитопроводов с малой нелинейностью магнитных

свойств материала, из которого они изготавливаются, применяют кусочно-

линейную аппроксимацию, при которой аппроксимируемую кривую заме-няют ломаной линией с одной или несколькими точками излома (рис. 1, а,

б). Количество аппроксимирующих участков зависит от требуемой

точности расчета и диапазона изменения намагничивающего поля. Напри-

мер, если материал находится вблизи области насыщения, то для аппроксимации кривой намагничивания используют обычно две прямые

(рис. 1, а). В этом случае полагают, что в области от 0 до Hi

B = μiH,

а в области H > Hi

B = Bi + μ′i (H - Hi),

где Hi и Bi - соответственно напряженность и индукция в точке излома,

μi = Bi/Hi, μ′i = (Bi - B0)/Hi, а B = B0 при H = 0 для второй кривой.

Если ферромагнетик намагничивается от размагниченного состояния

до состояния магнитного насыщения, то для построения модели требуется

не менее трех прямых, при этом тангенс угла наклона первой прямой уста-

навливают равным величине начальной магнитной проницаемости

(рис. 1, б).

Достоинством кусочно-линейной аппроксимации является то, что

при ее использовании нелинейную задачу можно свести к линейной, а ее

главным недостатком - скачкообразное изменение производной при пере-

ходе от одного участка модели к другому, что при использовании числен-

ных методов расчета может привести к недопустимым погрешностям.

1.2. Гиперболическая аппроксимация

Для аппроксимации основной кривой намагничивания в области

подхода к насыщению применяется формула Фрелиха в виде гиперболической функции (рис. 1, в)

где p1 и p2 - коэффициенты, определяемые методом выбранных точек.

Однако кривая намагничивания, определяемая этой функцией, не-

симметрична относительно начала координат и может быть использована

только в случае, если H и B не меняют знака и лишь в области сильных по-

лей. Причем из нее вытекает, что магнитная проницаемость не имеет экс-

тремума, а это не соответствует действительности.

1.3. Аппроксимация с использованием арктангенса

Математическая модель кривой намагничивания с использованием

арктангенса имеет вид

B = p1arctg(p2H) + p3H

Так как первое слагаемое в выражении (7) с ростом H асимптотически приближается к прямым, параллельным оси абсцисс и расположенным

от нее на расстоянии ± p1, то изменение магнитной индукции в этой области характеризует второе слагаемое.

Данная аппроксимация является нечетной и может быть использована для расчета магнитных цепей как с постоянным, так и с переменным

полем. При малых значениях H расчетная кривая идет обычно несколько

выше, а при больших немного ниже реальной кривой намагничивания.

Коэффициенты p1, p2 и p3 можно определить, выбрав три точки на

кривой намагничивания. При этом для определения коэффициента p2 сле-

дует решить уравнение

а коэффициенты p1 и p3 можно определить по выражениям

                          

 

1.4. Экспоненциальная аппроксимация

Среди аппроксимаций экспоненциальной группы формул наибольшее распространение получило выражение:

            

где коэффициенты p1 и p2 определены по методу выбранных точек.

  Для минимизации расхождений с экспериментальной кривой точки

для привязки следует выбирать так, чтобы одна из них находилась в ненасыщенной области, а вторая после перегиба , но вблизи ее.

Данную аппроксимацию рекомендуется применять для расчета магнитных цепей с постоянным полем.

1.5. Аппроксимация степенным полиномом

Неплохие результаты получаются при аппроксимации основной кривой намагничивания нечетным степенным полиномом вида

H = p1B + p2B^3 + p3B^5 + …

или

B = q1H + q2H^3 + q3H^5 + …,

где p1, p2, p3 …, q1, q2, q3 … - коэффициенты, определяемые обычно методом выбранных точек.

Чем больше членов в правой части выражения, приведенные выше, тем

лучше совпадают расчетная и реальная кривые намагничивания.

Во многих случаях ограничиваются только двумя членами полинома

H = p1B + p2B^3

или

B = q1H + q2H^3 (*)

В этом случае расчетная кривая до загиба обычно идет несколько

ниже, а за загибом немного выше реальной кривой намагничивания. При

использовании трех членов степенного полинома наблюдается обратная

картина - до загиба расчетная кривая идет несколько выше, а за загибом

немного ниже реальной кривой намагничивания. При этом допустимая

точность приближения достигается лишь на ограниченных участках кри-

вой намагничивания.

При использовании двух членов степенного полинома коэффициен-

ты для выражения (*) имеют вид

q1=(B1*H2^3-B2*H1^3)/(H1*H2^3-H1^3*H2)

и

q2=(B2*H1-B1*H2)/(H1*H2^3-H1^3*H2)

Увеличение числа членов степенного полинома приводит к сложно-

стям в определении коэффициентов аппроксимации.

Аппроксимация степенным полиномом является нечетной и может

быть использована для расчета магнитных цепей как с постоянным, так и с

переменным полем.

1.8. Аппроксимация гиперболическим синусом

Аппроксимации основной кривой намагничивания гиперболическим

синусом

H = p1*sh(p2*B)

в принципе близка к аппроксимации полиномом по степеням B, так как

разложив гиперболический синус в ряд, получаем полином по степеням B.

Поэтому данная аппроксимация ведет себя подобно аппроксимации поли-

номом по степеням B.

Коэффициенты p1 и p2 для выражения, представленного выше, определенные методом выбранных точек, имеют вид:

p2=(ln(H2/H1))/(B2-B1) и p1=H2/sh(p2*B2)

Аппроксимация гиперболическим синусом является нечетной и может быть использована для расчета магнитных цепей как с постоянным, так и с переменным полем.

1.9. Аппроксимация гиперболическим тангенсом

Аппроксимация гиперболическим тангенсом может иметь вид

H = p1th(p2B)

или

B = q1sh(q2H)

Она близка к аппроксимации полиномом по степеням B (или H), так

как разложив гиперболический тангенс в ряд, получаем полином по степеням B (или H). Поэтому данная аппроксимация ведет себя подобно аппроксимации полиномом по степеням B (или H). В формуле Фрелиха отмечается, что гиперболический тангенс хуже описывает кривую намагничивания, чем гиперболический синус. Так как выражения, приведенные выше , являются нечетными функциями, то они могут быть использованы для расчета магнитных цепей как с постоянным, так и с переменным полем.

Вывод: В расчетной практике часто требуется достаточно быстро и точно обработать полученные эмпирические результаты, в своей работе я рассмотрел более удобные по применению аналитические выражения, применимые для данной проблемы, т.к. для результатов, полученных в лаборатории, более удобно применить аналитические зависимости.