Гармонические колебания в линейных электрических цепях

 

Рисунок 5 - Векторная диаграмма  выполнения второго закона

Кирхгофа в контурах цепи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Расчет  частотных характеристик цепи

 

Первоочередная  задача расчета частотных характеристик  – получить аналитическое выражение  для комплексного коэффициента передачи цепи по напряжению, по которому в дальнейшем рассчитываются АЧХ и ФЧХ цепи.

Поскольку частотные  свойства цепи не зависят от типа источника  электрической энергии, подключенного  к ее входу, а определяются лишь частотными свойствами элементов и топологией цепи, полагаем, что на входе по прежнему действует исходный источник напряжения, частота колебаний которого теперь может быть установлена любой (рисунок 6).

 

Рисунок 6 - Комплексная схема замещения  цепи

 

Комплексный коэффициент передачи цепи рассчитывается по формуле:

 

 

где Umвх и Umвых - комплексные амплитуды входного и выходного напряжений в установившемся режиме. Используя комплексную схему замещения цепи, выразим комплексные амплитуды Umвх и Umвых   через комплексную амплитуду входного тока Im1. Получаем согласно закона Ома:

Umвх=Im1Z1+    Umвых=

тогда:   
 
упростим:    

подставив значения комплексных сопротивлений и упростив, придем к следующей формуле:

 

модуль этого выражения:

 

и его аргумент:

 

упростив получим:  

Для того, чтобы найти граничные частоты полосы пропускания, необходимо вычислить максимальное значение коэффициента передачи по напряжению Kmax(ω), так как граничная частота определяется как частота, на которой коэффициент передачи по напряжению равен относительно максимального значения (3дБ). Для этого мы находим производную от K(ω) и приравниваем ее к нулю. Решение этого уравнения и есть экстремум функции K(ω).

 

получим:   
 
или   

подставив в формулу получим:

 

упростив получаем:   

То есть, граничные частоты находятся  из условия 

или   

записываем  

В результате решения данного уравнения  с помощью системы компьютерной математики MathCAD получаем четыре корня, из которых нас интересуют только действительные и положительные. Имеем полосу пропускания от 6.4251kHz   до 70.087kHz,  график АЧХ имеет вид представленный на рисунке 7.

 

 

Рисунок 7 – Амплитудно-частотная характеристика

 

 

 

 

 

 

Расчет фазовых характеристик  цепи.

 

 

Рисунок 8 – Фазо-частотная характеристика цепи

Выборочные значения АЧХ и ФЧХ  цепи в диапазоне частот приведены  в таблице 2

Таблица 2 – Результаты расчета выборочных значений АЧХ и ФЧХ

Частота f, кГц	1	2	6	10	18	24	40	68	94	170
АЧХ K(f)	0,04	0,09	0,25	0,29	0,33	0,33	0,30	0,23	0,19	0,11
ФЧХ φ(f),º	81,93	74,07	-39,5	28,82	6,29	-4,7	-24,2	-43,9	-54,4	-69,1

 

Для исследования влияния нагрузки на АЧХ цепи, рассчитаем АЧХ для  цепи с подсоединенным к выходным клеммам сопротивлением  Zн   (рисунок 9):

Рисунок 9 – Комплексная схема замещения цепи,

      нагруженной на сопротивление

 

Напряжение на входных клеммах  можно выразить как

 

Напряжение на элементе Z3 равно

 

Тогда напряжение на выходных клеммах  можно определить как

 

 

Отсюда комплексный коэффициент  передачи цепи по напряжению

 

после упрощения получим

 

 

Принимая, что сопротивление нагрузки чисто активно и равно  и подставляя значения, получим

 

 

преобразуя, это выражение получаем

 

 

 

Рисунок 10 – АЧХ цепи нагруженной на сопротивление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 Проверка основных расчетных  результатов посредством имитационного  моделирования

 

Для проведения проверки основных расчетных результатов  посредством имитационного моделирования  необходимо воспользоваться схемотехническим симулятором. Наиболее распространенным и простым в использовании  является схемотехнический симулятор «Electronics Workbench». Кроме того, ранее этот симулятор использовался мной при выполнении лабораторных работ.

Изобразим схему  цепи в симуляторе, задействовав идеализированные модели элементов. Ко входу подключим источник напряжения. Его параметр «Voltage» установим равным 0,707 В, что соответствует действующему значению требуемого напряжения (амплитуда колебаний при этом составит 1 В). Параметр Frequency = 47,746 кГц. Параметр Phase установим 90º (рисунок 11).

Измерения проведем посредством двухлучевого цифрового осциллографа, подключенного одним концом ко входу, а вторым к выходу цепи (рисунок 11).

Рисунок 11 – Цепь смоделированная в «Electronics Workbench»

Запустив  симулятор, получим осциллограммы  сигналов входного и выходного напряжений (рисунок 12). АЧХ и ФЧХ цепи можно рассчитать по измеренным значениям амплитуд напряжений или измерить по графикам в симуляторе.

 

 

Рисунок 12

 

Так АЧХ на установившейся частоте будет равно:

 

Найдем ФЧХ. Измерим в установившемся режиме сдвиг во времени  мс. Из рисунка 12 видно, что напряжение на выходе запаздывает по фазе, значит абсолютное значение сдвига фаз на установившейся частоте будет со знаком минус.

Далее измерим  период колебаний 20.944 мс (рисунок 13).

 

Рисунок 13

 

Абсолютное  значение сдвига фаз на заданной частоте  можно вычислить по формуле 

   учитывая знак получим φ(f)=-22.5

Таким способом необходимо рассчитать значения АЧХ  и ФЧХ в нескольких значениях  частоты, достаточных для качественного  построения графиков. Другой, более  удобный способ, показан на рисунке 14, где посредством встроенных приложений симулятора «Electronics Workbench» автоматически строятся графики АЧХ и ФЧХ цепи, по которым с помощью подвижных меток снимаются значения АЧХ и ФЧХ в любых точках заданного диапазона частот. Найдем значение АЧХ на границе полосы пропускания для чего измеренное максимальное значение K(f) разделим на  , получим:

 

Рисунок 14

Измерим полосу пропускания (рисунок 14). Для чего, по графику определим частоты среза f1=5.926 кГц, f2=67.138 кГц. Получим измеренное значение 61.211кГц.

 

Заключение

 

В ходе выполнения курсовой работы был проведен численный  расчет амплитуд и начальных фаз  токов во всех ветвях цепи и напряжений на всех элементах методом комплексных  амплитуд. Результаты расчета представлены в таблице 1. Построены векторная  диаграмма токов в узле цепи (рисунок 4) и напряжений в контурах (рисунок 5). Проведена проверка первого и  второго законов Кирхгофа для  всех узлов и контуров схемы цепи.

Получены аналитические выражения  для комплексного коэффициента передачи цепи: 

амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) цепи: 

и фазо-частотной  (ФЧХ) характеристики цепи: 

Посредством пакета программ «MathCAD» рассчитаны численные значения АЧХ и ФЧХ цепи на большом интервале частот, выборочные результаты расчета отображены в таблице 2. Построены и проанализированы их графики (рисунок 7,8). Определены граничные частоты полосы пропускания: f1=6.42 кГц, f2=70.08kHz.

Методом имитационного  моделирования в схемотехническом симуляторе «Electronics Workbench» проверены результаты, полученные расчетным путем: f1=5.926 кГц, f2=67.138 кГц, получили измеренное значение полосы пропускания 61.211кГц , близкое по значению к расчетному 63.662кГц.

Экспериментально  проверили (измерили) расчетные АЧХ  и ФЧХ цепи (рисунок 14), получили значения близкие к ним. Это означает, что расчеты проведены верно. Задание выполнено полностью, в соответствии с техническим заданием руководителя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

1 Радиотехнические  цепи и сигналы. Гоноровский И. С. 1986г.

2 Радиотехнические  цепи и сигналы. Каганов В.И. 2004 г.

3 Основы  теории цепей. Попов В.П. 2003г.

4 Расчет  и моделирование цепей на ПК. Фриск В.В. 2006 г.