Решения системы уравнений методом Гаусса

Министерство образования  и науки Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова»

Экономический факультет

Кафедра информационных систем

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине: «Создание прикладного программного обеспечения в среде программирования Turbo Pascal. Решение системы линейных уравнений методом Гауса.».

 

 

 

             Выполнил: студент 2 курса

            группы ЭК-05-12

            Алексеев Р.О.

           Проверил: Митрофанов Е.П.

 

 

 

Чебоксары

2013

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИИ

ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный университет имени И.Н.Ульянова»

Экономический факультет

Кафедра Информационных систем

                                                             РЕЦЕНЗИЯ

на курсовую работу

по дисциплине: Программирование

специальность: бизнес-информатика

курс 2,  группа ЭК-05-12

Алексеев Роман Олегович

Тема: «Создание прикладного программного обеспечения в среде программирования Turbo Pascal.Решение системы линейных уравнений методом Гауса.»

Достоинства работы _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Недостатки работы__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Оценка____________________________________________________________

              (балл, на доработку и др.)

Преподаватель_____________________________________________________

               (Ф.И.О., подпись)

Дата__________________________________________                                                        

                                                СОДЕРЖАНИЕ

 

1.   Введение………………………………………………………………………………………………………4

1. Описание математических  методов решения систем линейных  уравнений.

1.1 Метод Гаусса……………………………………………………………………………………………….5

1.2 Матричный  метод……………………………………………………………7

1.3 Вычисление  определителей второго и третьего  порядка…………………..9

2. Язык программирования  Паскаль.

2.1 Структура программы……………………………………………………….11

        2.2 Описание переменных………………………………………………………13

2.3 Основные  конструкции языка………………………………………………16

           2.4 Структуры данных…………………………………………………………..19

3. Программа………………………………………………………………….....20

Заключение.

        Список используемых источников и литературы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                             Введение

Последние десятилетия  характеризуются бурным развитием  вычислительной техники. Расширяются  области применения вычислительных машин и совершенствуются методы их использования. Созданы универсальные языки программирования и разработаны мощные операционные системы.

Сейчас невозможно представить себе какую-либо область  деятельности, обходящуюся без применения компьютерной техники. Компьютеры используются при проведении различных инженерных расчетов, при решении экономических задач, в процессе управления производством, при получении оценок производственных ситуаций и во многих других случаях.

Системы линейных уравнений появляются почти в  каждой области прикладной математики. В некоторых случаях эти системы уравнений непосредственно составляют ту задачу, которую необходимо решать, в других случаях задача сводится к такой системе.

Чтобы быстро справится  с решением системы линейных уравнений, можно воспользоваться средствами вычислительной техники - составить программу на языке программирования.

В данной курсовой работе рассматривается возможность  решения систем линейных уравнений  матричным способом и методом  Гаусса с помощью программы, созданной  на языке Паскаль.

 

1. Описание математических методов решения систем линейных уравнений

                                   1.1 Метод Гаусса

Идея метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных. Алгоритм решения  системы уравнений этим методом  проследим на примере.

Пример 1.

Выбирается  ведущее уравнение с коэффициентом при х₁, равным 1. В нашем примере ведущим уравнением будет второе. Систему лучше переписать, поставив это уравнение на первое место:

Умножаем первое уравнение на 6 и вычитаем из полученного  второе, чтобы исключить из второго  неизвестное х₁. Первое уравнение записываем, а на место второго - результат вычитания.

Затем первое уравнение  умножим на 3 и складываем с третьим  уравнением. Тогда получаем систему

 Или

первое уравнение  переписываем без изменения, а второе умножаем на 7 и вычитаем из него третье уравнение, умноженное на 15, чтобы избавиться от х₂ в третьем уравнении. При этом второе записываем без изменения, на месте третьего - результат вычитания. Тогда

Из третьего следует х₃ =-3, подставим его во второе, получим х₂ = - 2. Далее подставим найденные х₂ и х₃ в первое уравнение, получим х₁ = 1.

Решение системы: х₁ = 1, х₂ = - 2, х₃= - 3.

Примечание: если система уравнений не содержит уравнения  с коэффициентом 1 при х₁, тогда исключение х₁ из второго и третьего достигается умножением сначала первого на коэффициент второго, а второго на коэффициент первого. Затем умножаем первое на коэффициент третьего, а третье на коэффициент первого. Таким образом при вычитании исключаем х₁.

 

                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                            

                         1.2 Матричный метод

Запишем систему линейных 3 уравнений с 3 неизвестными

Составим матрицу из коэффициентов  при неизвестных

А =

Введем в рассмотрение матрицы - столбцы для неизвестных  и свободных членов:

Х = ; В = .

Тогда систему (2) можно переписать в матричной форме

АХ=В

Умножив это уравнение  на слева, получим , откуда = или

Следовательно, матрица - решение Х находится как произведение на В.

Пример 2. Решить систему  уравнений матричным методом

Решение: определитель матрицы

А=

∆=-1, значит, существует обратная матрица  .

Матрица - столбец  при неизвестных:

Х =

Матрица - столбец  из свободных членов:

В =

Тогда решение  запишется в виде

= =

Откуда следует, х₁ = 1; х₂ = 0; х₃ = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3 Вычисление определителей второго и третьего порядка

Число (а₁₁ а₂₂ - а₁₂ а₂₁) называется определителем второго порядка и обозначается символом

Определитель  второго порядка содержит две  строки и два столбца. Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ называются элементами определителя. Диагональ определителя, на которой расположены числа а₁₁, а₂₂ - главная, а элементы а₁₂, а₂₁ составляют побочную диагональ.

Определитель 3-го порядка содержит три строки и  три столбца:

Для вычисления определителя третьего порядка существует несколько способов.

Рассмотрим  метод вычисления определителя разложением  по элементам первой строки.

Введем понятие  минора и алгебраического дополнения.

Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием  той строки и того столбца в которых этот элемент расположен. Обозначается М_{ij (}i - номер строки, j - номер столбца).

Например, минором  элемента а₁₂ является определитель

Алгебраическим  дополнением данного элемента определителя называется его минор, умноженный на (-1) ^i+j. Алгебраические дополнения обозначаются буквами А_ij, и тогда А_y= (-1) ^i+j M_y.

Определитель  вычисляется так:

= .

Так же можно  разложить определитель по любой  строке или столбцу.

Изложенный  метод применим к вычислению определителей 4-го и т.д. порядков.

Пример3. Вычислить определитель разложением по элементам первой строки

Решение: Элементы первой строки

а₁₁ = 1, а₁₂ = 2, а₁₃ = - 2.

А₁₁ = (-1) ¹⁺¹. М₁₁= =4+1=5.

М₁₁ получили, вычеркнув первую строку и первый столбец.

А₁₂ = (-1) ¹⁺². М₁₂= - = - (8+3) = - 11.

М₁₂ получили, вычеркнув первую строку и второй столбец.

А₁₃ = (-1) ¹⁺³. М₁₃ = = 2-3 = - 1.

М₁₃ получили, вычеркнув первую строку и третий столбец.

Окончательно

= 1.5+2. (-11) - 2. (-1) = - 15

 

                     2. Язык программирования Паскаль

                          2.1 Структура программы

Язык Паскаль, начиная  с момента своего создания Н. Виртом в 1971г., играет особую роль м в практическом программировании, и в его обучении. С непревзойденной четкостью  в нем реализованы принципы структурного программирования. Трансляторы для программ, написанных на Паскале, разработаны для различных компьютеров и в настоящее время имеют множество разновидностей. Они являются компиляторами, обрабатывающими разработанные программистами тексты программ.

Существует много версий языка Паскаль. Различия между ними порой весьма велики. Так, базовая  версия Вирта имеет многократно  меньше возможностей, чем версия Турбо-Паскаль 7.0. (первая, фактически - язык для обучения будущих программистов, а вторая - орудие профессиональных разработчиков прикладного программного обеспечения) Тем не менее, это версии одного языка.

Любая Паскаль - программа  является текстовым файлом с собственным  именем и с расширением. pas. Паскаль - программа имеет вид последовательности символов латинских и русских букв, арабских цифр, знаков операций, скобок, знаков препинания и некоторых дополнительных символов. В нем можно выделить описания данных и операторы, описывающие действия, которые надо выполнить машине над этими данными.

Схематически программа представляется в виде последовательности восьми разделов:

заголовок программы;

описание внешних модулей, процедур и функций;

описание меток;

описание констант;

описание типов переменных;

описание переменных;

описание функций и  процедур;

раздел операторов.

Каждый раздел начинается со служебного слова, назначение которого зафиксировано в Паскале  так, что его нельзя употреблять  для других целей. Так например, описание заголовка начинается со служебного слова program, описание констант -const, описание переменных - var, раздел операторов начинается с begin. Программа заканчивается служебным словом end, после которого ставится точка. Описания величин и операторы друг от друга отделяются знаком "точка с запятой".

 

                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                     2.2 Описание переменных

Для обозначения величин  используются имена. Они состоят  из латинских букв и цифр, причем первым символом должна быть буква.

Постоянные величины (константы) чаще всего бывают числовыми или  символьными. Значения символьных констант заключаются в апострофы.

Постоянные величины описываются  в разделе констант по схеме:

Const <имя> = < константа>

Данные, обрабатываемые программой, могут быть различных  типов (числовые, символьные, строки, массивы  и т.д.). Тип определяет область допустимых значений, а также операции и функции, применяемые к величинам этого типа. В Паскале имеется несколько встроенных простых типов со стандартными именами.

Группа типов, значения каждого из которых можно  перечислить в некотором списке - скалярные типы. Для них определен порядковая функция ord (x) - номер значения х в списке; функция pred (x) -значение в списке, предшествующее х, и succ (x) - значение в списке, следующее за х.

Упорядоченный тип - это тип, значения которого упорядочены в обычном смысле.

Переменные  описываются в раздел описания переменных по схеме:

Var <список имен переменных>: <тип>

Имена в списке разделяются запятой. В этом разделе  может быть описано несколько  переменных разного типа, например:

Var a,b,c,: real; k, i: integer; p: Boolean;

Над целыми величинами (тип integer) определены арифметические операции: * (умножение), div (деление нацело), mod (вычисление остатка от деления), +, - (сложение и вычитание); операции перечислены в порядке старшинства. Целый результат дают некоторые стандартные функции (аргумент заключается в круглые скобки):

 

Abs (x) Sqr (x) Trunk (x) Round (x) Random (x)

-абсолютная  величина целого хж квадрат значения х; целая часть  вещественной величины х; целое число, полученное из вещественного ч по правилу округления; случайное целое  число из интервала от 0 до х

 

Над вещественными  величинами определены операции: *, +, -, /, а также стандартные функции, при вещественном или целом аргументе: abs (x), sqr (x), sin (x), cos (x), ln (x), sqrt (x) - квадратный корень из х, int (x) - целая часть из х, random - случайное число от 0 до 1. Указанные операции и функции дают вещественный результат.