Побитовые логические операции

Побитовые логические операции

Ряд источников по языкам низкого уровня называет побитовые логические операции просто логическими,^[1][2] но в терминологии программирования на языках высокого уровня в названиях битовых операций присутствуют прилагательные битовый, побитовый (например: «побитовое логическое И», оно же «побитовое умножение»), поразрядный.

В некоторых языках программирования названия операторов, соответствующих логическим и побитовым логическим операциям, похожи. Кроме того, язык программирования может допускать неявное приведение числового типа к логическому и наоборот. В таких языках программирования необходимо внимательно следить за использованием логических и побитовых операций, перемешивание которых может привести к ошибкам. Например, в C++ результатом выражения «2 && 1» (логическое И) является булево значение true, а результатом выражения «2 & 1» (побитовое И) — целое 0.

[править] Побитовое отрицание (NOT)

Побитовое отрицание (или побитовое НЕ, или дополнение) — это унарная операция, действие которой эквивалентно применению логического отрицания к каждому биту двоичного представления операнда. Другими словами, на той позиции, где в двоичном представлении операнда был 0, в результате будет 1, и, наоборот, где была 1, там будет 0. Например:

НЕ	01
	10

 

[править] Побитовое И (AND)

Побитовое И — это бинарная операция, действие которой эквивалентно применению логического И к каждой паре битов, которые стоят на одинаковых позициях в двоичных представлениях операндов. Другими словами, если оба соответствующих бита операндов равны 1, результирующий двоичный разряд равен 1; если же хотя бы один бит из пары равен 0, результирующий двоичный разряд равен 0.

Пример:

И	0011
	0101
	0001

 

[править] Побитовое ИЛИ (OR)

Побитовое ИЛИ — это бинарная операция, действие которой эквивалентно применению логического ИЛИ к каждой паре битов, которые стоят на одинаковых позициях в двоичных представлениях операндов. Другими словами, если оба соответствующих бита операндов равны 0, двоичный разряд результата равен 0; если же хотя бы один бит из пары равен 1, двоичный разряд результата равен 1.

Пример:

ИЛИ	0011
	0101
	0111

 

[править] Сложение по модулю два (XOR)

Основная статья: Сложение по модулю два

Сложение по модулю два (или двухместная операция исключающее ИЛИ) — это бинарная операция, результат действия которой равен 1, если число складываемых единичных битов нечетно, если же их число четно, то результат равен 0.

Пример:

Искл. ИЛИ	0011
	0101
	0110

Первое русское название операции обусловлено тем, что результат  данной операции отличается от результата «ИЛИ» только в одном случае из 4 случаев входа — обоих 1 (случай одновременной истинности аргументов «исключается»). Ещё в русской грамматике значение данной логической связки передаётся союзом «либо».

Второе  название — тем, что действительно является сложением в кольце вычетов по модулю два, из чего следуют некоторые интересные свойства. Например, в отличие от вышеописанных «И» и «ИЛИ», данная операция является обратимой, или инволютивной: .

В компьютерной графике «сложение по модулю два» применяется при выводе спрайтов на картинку — повторное её применение убирает спрайт с картинки. Благодаря инволютивности эта же операция нашла применение в криптографии как простейшая реализация идеального шифра (шифра Вернама). «Сложение по модулю два» также может использоваться для обмена двух переменных, используя алгоритм обмена при помощи исключающего ИЛИ.

 

Запись может быть префиксной («польская запись») — знак операции ставится перед операндами, инфиксной — знак операции ставится между операндами и постфиксной — знак операции ставится после операндов. При числе операндов более 2-х префиксная и постфиксная записи экономичнее инфиксной записи. Чаще всего встречаются следующие варианты записи: 
^ a ≠ b,

В таблице символов Юникод есть символ для сложения по модулю 2 (CIRCLED PLUS) — U+2295 (⊕).

[править] Свойства

 
 
 
a ≡ b (операция равнозначности или сравнения по модулю)

[править] Булева алгебра

В булевой алгебре сложение по модулю 2 — это функция двух, трёх и более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества . Результат также принадлежит множеству . Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений может использоваться любая другая пара подходящих символов, например или или «ложь», «истина», но при этом необходимо доопределять старшинство, например, .

Таблицы истинности:

• для бинарного сложения по модулю 2 (применяется в двоичных полусумматорах):

Правило: результат равен  , если оба операнда равны; во всех остальных случаях результат равен .

• для тернарного сложения по модулю 2 (применяется в двоичных полных сумматорах):

X	Y	Z	⊕(X,Y,Z)
0	0	0	0
1	0	0	1
0	1	0	1
1	1	0	0
0	0	1	1
1	0	1	0
0	1	1	0
1	1	1	1

 

[править] Программирование

В языках C/C++ (а также Java, C#, Ruby, PHP, JavaScript и т. д.) битовая операция поразрядного дополнения обозначается символом "^», в языках Паскаль, Delphi, Ada — зарезервированным словом xor, в языке ассемблера — одноимённой логической командой. При этом сложение по модулю 2 выполняется для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

если
a =
b =
то
a ^ b =

Выполнение операции исключающее «или» для значений логического типа (true, false) производится в разных языках программирования по-разному. Например, в Delphi используется встроенный оператор XOR (пример: условие1 xor условие2). В языке C, начиная со стандарта C99, оператор «^» над операндами логического типа возвращает результат применения логической операции XOR. В С++ оператор «^» для логического типа bool возвращает результат согласно описанным правилам, для остальных же типов производится его побитовое применение.

[править] Связь с естественным языком

В естественном языке операция «сложение  по модулю» эквивалентна двум выражениям: 
1. «результат истинен (равен 1), если A не равно B (A≠B)»; 
2. «если A не равно B (A≠B), то истина (1)». 
Часто указывают на сходство между сложением по модулю 2 и конструкцией «либо … либо …» в естественном языке. Составное утверждение «либо A, либо B» считается истинным, когда истинно либо A, либо B, но не оба сразу; в противном случае составное утверждение ложно. Это в точности соответствует определению операции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как , а «ложь» как .

Эту операцию нередко сравнивают с дизъюнкцией потому, что они очень похожи по свойствам, и обе имеют сходство с союзом «или» в повседневной речи. Сравните правила для этих операций:

1. истинно, если истинно или , или оба сразу.
2. истинно, если истинно или , но не оба сразу.

Операция  исключает последний вариант («оба сразу») и по этой причине называется исключающим «ИЛИ». Операция включает последний вариант («оба сразу») и по этой причине иногда называется включающим «ИЛИ». Неоднозначность естественного языка заключается в том, что союз «или» может применяться в обоих случаях.

 

ЗАПОМНИТЕ СЛЕДУЮЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Функция "И" равна единице, если равны единице ВСЕ ее аргументы. Функция "ИЛИ" равна единице, если равен единице ХОТЯ БЫ один аргумент. Функция "ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ" (XOR) равна единице, если равен единице ТОЛЬКО один ее аргумент.