Надежность, контроль диагностика и эксплуатацияЭВМ

 

Решение.

T0 = 100 часов

Вероятность безотказной  работы элемента p_i вычислим по формуле

p_i = ;

Получим следующие результаты:

№	1	2	3	4	5
pi	0.905	0.819	0.741	0.670	0.549

 

На схемевидно, что элементы 3 и 5 образуют подсистему, которая является

параллельнойструктурой, и, следовательно, ее параметры можно рассчитать с помощью формулы:

 

P_par = 1 - ;

Таким образом, вероятность безотказной работы данной подсистемы составляет:  
P_3,5= 1 – (1 – P₃)(1 – P₅) = 0.898;

Аналогичным способом преобразуем  и рассчитаем вероятность безотказной  работы для элементов 2 и 4

P_2,4= 1 – (1 – P₂)(1 – P₄) = 0.940;

 

Произведя замену в исходной схеме на эквивалентные по надежности элементы, получим систему, в которой  Эл₁, Эл_2,4 и Эл₆, Эл_3,5 попарно последовательно объединены в два блока. Между собой эти блоки соединены параллельно. Воспользовавшись формулой для последовательных соединений, рассчитаем вероятность безотказной работы для эквивалентных элементов Эл_{1, 2, 4} и Эл_{3, 5, 6}

P_serial = ;

P_{1, 2, 4} = 0.851;

P_{3, 5, 6} = 0.545;

Произведем еще одну замену и получим два параллельно  соединенных элемента Эл_{1, 2, 4} и Эл_{3, 5, 6}. Рассчитаем общую вероятность безотказной работы системы:

P_{1, 2, 3, 4, 5, 6} = 0.932;

Таким образом, вероятность  безотказной работы системы за указанный  период работы составляет  P_{1, 2, 3, 4, 5, 6} = 0.932.

Рассчитаем наработку  системы на отказ, используя следующие  формулы:

• для последовательной структуры:

T_serial= ;

• для параллельной структуры:

T_par= ;

T_{3, 5} = = 408.333;

λ_{3, 5} = = 2.449×10^-3;

T_{2, 4} = = 583.333;

λ_{2, 4} = = 1.714×10^-3;

T_{1, 2, 4} = = 269.231; λ_{1, 2, 4} = = 3.714×10^-3;

T_{3, 5, 6} = = 118.357;  λ_{3, 5, 6} = = 8.449×10^-3;

 

T_{1, 2, 3, 4, 5, 6} = = 305.373;

Задача  №5

Надежность последовательно-параллельных систем при смешанном резервировании.

Постановка задачи:

Заданы структура схемы, тип резерва, массив значений интенсивностей отказов элементов и оперативное  время работы. Предполагается, что  распределение отказов элементов  – экспоненциальное. Значения характеристик  представлены в размерности 1×10^-3 час^-1. Оперативное время: t₀=10 часов.

Необходимо:

• Оценить время T_c наработки на отказ и вероятность P_c(t₀) безотказной работы системы.

 

Индивидуальное  задание.

 

Схема 1, числовые значения вариант  1.

 

 

 

№	1	2	3	4	5	6
λ, 1×10-3 час-1	1	2	3	4	5	6

 

 

 

 

 

Решение.

Так как в данном случае все резервные элементы являются ненагруженными, то произведя замену в исходной схеме на эквивалентные элементы, получим систему,в которой 3 блока (Эл_1,2, Эл_2,3, Эл_5,6), которые соединены параллельно. Воспользовавшись соответствующей формулой, произведем расчет:

T_{x, y}=;

T_{1, 2} = = 3.333×10³;

T_{3, 4} = = 1.429×10³;

T_{5, 6} = = 0.909×10³;

Суммарное

T_{1, 2, 3, 4, 5, 6} =5.671×10³;

Воспользуемся формулой для расчета вероятности отказа при экспоненциальном распределении:

q_i= 1 –

В результате получился массив значений q_i:

i	1	2	3	4	5	6
q, 10-3	0.999	1.998	2.996	3.992	4.988	5.982

 

Вероятности отказа системы:

q_{1, 2} = 1 - (1-q₁) ×(1-q₂) = 2.996×10^-3;

q_{3, 4}= 1 - (1-q₃) ×(1-q₄) = 6.976×10^-3;

q_{5, 6}= 1 - (1-q₅) ×(1-q₆) = 11×10^-3;

q_{1, 2, 3, 4, 5, 6} = = 7.62×10^-8;

Задача  №6

Оценка надежности систем сложной структуры

Постановка задачи:

Заданы структура системы, оперативное время t₀, вектор λхарактеристик элементовсистемы. Предполагается, что закон функционирования элементов системы -экспоненциальный.

Необходимо

• используя метод минимальных путей и минимальных сечений, найти диапазоны значений величин  P, Т оценки вероятности безотказной работы и наработки на отказ системы.

Оперативное время для  всех вариантов одинаково, t₀ = 10 час.

Индивидуальное  задание.

Вектора λхарактеристик:

для номера K λi = K • 10-3 час-1 , i=1.....8, K = 5.

Структура:

 

 

 

 

 

Решение.

Проанализировав исходную структуру, определим множество различных  путей R и множество минимальных сеченийS

R = {(1, 3), (2, 4), (1, 7, 6), (2, 8, 6), (5, 7, 3), (2, 8, 4), (1, 7, 8, 4), (2, 8, 7, 3)};

S = {(1, 2, 5), (3, 6, 4), (1, 7, 6, 4), (2, 8, 6, 3), (6, 1, 7, 8, 4), (2, 8, 7, 3, 8), (5, 7, 3, 4, 8)};

λ = 5 × 10^-3, t₀ = 10;

Ввиду того, что закон  распределения экспоненциальный:

p_i=; p = 0.951;

q_i= 1 – p_i;     q = 0.049;

Для вычисления нижней границы  воспользуемся формулой:

P_min=;

p_i – вероятность того, что в i-ом сечении работоспособен как минимум один элемент, рассчитывается по формуле:

p_i= 1-

S_j – подмножество элементов, принадлежащих i-му минимальному сечению

p_j – вероятность безотказной работы j-го элемента системы.

Таким образом:

P_min= (1 – q²)³×(1 – q³)⁴×(1 – q⁴)² = 0.992;

 

Для вычисления верхней границы  воспользуемся формулой:

P_max=1 - ;

p_k – вероятностьбезотказной работы всех элементов k-го пути;

p_m –вероятность работы m-го элемента k-го пути;

p_kрассчитывается по формуле:

p_k= 1 - ;

P_max = (1 – p³)²×(1 – q⁴)²×(1 – q⁵)³ = 0.999;

Таким образом, надежность системы  находится в диапазоне значений  
0.992<P< 0.999;

Задача  №7

Постановка задачи:

Вычислить вероятность безотказной  работы P_c системы со структурой и параметрами, заданными в предыдущем задании, логико-вероятностным методом. Сравнить полученный результат с граничными оценками, полученными в предыдущем задании.

Индивидуальное  задание.

Структура и числовые значения берутся из предыдущего задания.

Решение.

Представим функцию предыдущего  задания в дизъюнктивной нормальной форме множеством минимальных путей

R(х) = x₁ х₃ V х₂х₄V х₅х₆ V х₁x₇х₆ V х₂x₈х₆ V х₅x₇х₃ V х₅x₈х₄ V х₁x₇х₈х₄V х₂x₈х₇x₃

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

 

Для вычисления Р_с необходимо R(х) представить в ортогональной форме R_ort, т.е. в виде множества непересекающихся интервалов.

И соответствии с матрицей представленной на рисунке выше имеем:

 

 

 

Для вычисления P = Вер{R_ort = 1}, достаточно в формуле х_i заменить на р_i, на q_i, конъюнкцию - на произведение и дизъюнкцию - на сумму. Проделав это, получим:

 

Возьмем данные из предыдущего задания: 
p_i=p=0,951;q=0,049;

 

Сравнивая полученный результат с данными из предыдущего задания

0.992< 0.99974<  0.99999

Наглядно видно, что оно попадает в диапазон между верхней и нижней границей.Что и требовалось.