Линейное программирование: постановка задач и графическое решение. Общая задача линейного программирования

Таким образом, для того, чтобы обеспечить минимум затрат (26 коп. в день), необходимо дневной рацион составить из 2 кг корма 1 и 3 кг корма 2.

2.3. Обобщение графического  метода решения задач линейного  программирования.

Вообще, с помощью графического метода может быть ре-шена задача линейного программирования, система ограниче-ний которой содержит n неизвестных и m линейно независи-мых уравнений, если N и M связаны соотношением N – M = 2.

Действительно, пусть поставлена задача линейного программирования.

Найти минимальное значение линейной функции Z = С1х1+С2х2+... +СNxN при ограничениях

a11x1 + a22x2 + ... + a1NХN = b1

(2.3)a21x1 + a22x2 + ... + a2NХN = b2

. . . . . . . . . . . . . . .

aМ1x1 + aМ2x2 + ... + aМNХN = bМ

xj 0 (j = 1, 2, ..., N)

где все уравнения линейно независимы и выполняется cоотношение N - M = 2.

Используя метод Жордана-Гаусса, производим M исключений, в результате которых базисными неизвестными оказались, например, M первых неизвестных х1, х2, ..., хM, а свободными - два последних: хМ+1, и хN, т. е. система ограничений приняла вид

x1 + a1,М+1xМ+1 + a1NХN = b1

(2.4)x2 + a2,М+1xМ+1 + a2NХN = b2

. . . . . . . . . . . .

xМ + aМ, М+1x2 + aМNХN = bМ

xj 0 (j = 1, 2, ..., N)

С помощью уравнений преобразованной системы выражаем линейную функцию только через свободные неизвестные и, учитывая, что все базисные неизвестные - неотрицательные: хj 0 (j = 1, 2, ..., M), отбрасываем их, переходя к системе ограничений, выраженных в виде неравенств. Таким образом, окончательно получаем следующую задачу.

Найти минимальное значение линейной функции Z = СМ+1хМ+1+СNxN при ограничениях

a1,М+1xМ+1 + a1NХN b1

a2,М+1xМ+1 + a2NХN b2

. . . . . . . . . .

aМ,М+1xМ+1 + aМNХN bМ

xМ+1 0, хN 0

Преобразованная задача содержит два неизвестных; решая ее графическим методом, находим оптимальные значения xМ+1 и хN, а затем, подставляя их в (2.4), находим оптимальные значения х1, х2, ..., хM.

Пример.

Графическим методом найти оптимальный план задачи ли-нейного программирования, при котором линейная функция Z = 2х1 - х2 + х3 - 3х4 + 4х5 достигает максимального значения при ограничениях

х1 - х2 + 3х3 - 18х4 + 2х5 = -4

2х1 - х2 + 4х3 - 21х4 + 4х5 = 2

3х1 - 2х2 + 8х3 - 43х4 + 11х5 = 38

xj 0 (j = 1, 2, ..., 5)

Решение.

Используя метод Жордана-Гаусса, произведем три полных исключения неизвестных х1, х2, х3. В результате приходим к системе

х1 + х4 - 3х5 = 6

х2 + 7х4 + 10х5 = 70

х3 - 4х4 + 5х5 = 20

Откуда x1 = 6 – х4 + 3x5, х2 = 70 – 7х4-10х5, х3 = 20 + 4х4 -5х5.

Подставляя эти значения в функцию и отбрасывая в системе базисные переменные, получаем задачу, выраженную только через свободные переменные х4 и х5: найти максимальное значение линейной функции Z = 6х4 + 15х5 – 38 при ограничениях

х4 - х5 6

7х4 + 10х5 70

- 4х4 + 5х5 20

х4 0, х5 0.

Построим многогранник решений и линейную функцию в системе координат х4Ох5(рис. 2.5). Из рис. 2.5 заключаем, что линейная функция принимает максимальное значение в угловой точке В, которая лежит на пересечении прямых 2 и 3. В результате решения системы

7х4 + 10х5 = 70

4х4 + 5х5 = 20

находим: х4 = 2, х5 = 28/5. Максимальное значение функции Zmax = -38 + 12 + 84 = 58.

Для отыскания оптимального плана исходной задачи подставляем найденные значения х4 и х5. Окончательно получаем: х1 = 104/5, х2 = 0, х3 = 0, х4 = 2, х5 = 28/5.

 

 

                   ЛИТЕРАТУРА

1. Математические методы анализа экономики /под ред. А.Я.Боярского. М.,Изд-во Моск. Ун-та, 1983

2. А.И.Ларионов, Т.И.Юрченко “Экономико-математические методы в планировании: Учебник – М.: Высш.школа, 1984

3. Ашманов С.А. “Линейное программирование”,- М.: 1961