Конечно-элементное моделирование, проектирование конструкции лотка ПЛ-750, статические нагрузки, программный комплекс Ansysworkbench

На рисунке 2 приведен пример расположения элементов приспособления.

 

 

Рисунок 2 - Пример расположения элементов приспособления

Контур плиты прямоугольной  формы строится по четырем точкам – Р₁(X_min, Y_min), P₂(X_min,Y_max), P₃(X_max, Y_max), P₄(X_max, Y_min), где X_min, X_max – соответственно абсциссы крайней правой и крайней левой точек привалочных граней, а Y_min, Y_max – ординаты самой верхней и самой нижней точек. Результат построения приведен на рисунке 3.

 

Рисунок 3

Если построить корпус таким  же образом, но в другой системе координат (рисунок 4), можно получить лучший вариант конструкции. Какая система координат наиболее выгодна? В примере, приведенном на рисунке 4, начало системы координат находится где-то рядом с геометрическим центром элементов приспособления. Кроме того, ось Y расположена так, что все элементы удалены от нее на минимальное расстояние.

 

Рисунок 4

Таким образом, можно сформулировать следующие требования к системе  координат корпуса:

Начало системы совпадает с  геометрическим центром привалочных  граней функциональных элементов;

Одна из осей направлена так, что  суммарное расстояние привалочных  граней до нее минимально

Координаты геометрического центра привалочных граней определяются как  средние арифметические значения координат  точек этих граней:

. (1)

Линию, наименее удаленную от привалочных  граней можно определить как собственный вектор ковариационной матрицы точек этих граней.

Эти точки можно считать значениями многомерной случайной величины. Ковариационная матрица случайной многомерной величины — квадратная симметричная матрица. Размерность этой матрицы равна размерности величины. На главной диагонали матрицы должны быть дисперсии компонент величины. Элементы матрицы вне диагонали — ковариации между компонентами. Один из главных векторов такой матрицы совпадает с прямой, наименее удаленной от всех значений случайной величины, в нашем случае – от всех точек привалочных граней.

Корпусная плита плоская. Поэтому  достаточно двух координат. Дисперсия  каждой координаты – сумма квадратов отклонения координат от средних значений. Средние значения уже найдены (выражение (1)) – это координаты геометрического центра. В этот центр можно перенести начало системы координат. Тогда дисперсия каждой координаты – просто сумма квадратов координат отдельных точек. Ковариация координат – сумма произведений координат точек. Таким образом, ковариационная матрица для множества точек привалочных граней будет выглядеть следующим образом:

, (2)

где x_i, y_i - координаты отдельной точки, n – количество точек.

Для ковариационной матрицы А собственным вектором будет такой вектор v, для которого выполняется условие:

 (3)

где λ – постоянный коэффициент. То есть, собственный вектор, будучи умноженным на матрицу, не меняет своего направления, а только длину. Коэффициент λ при этом является собственным числом.

Собственными числами ковариационной матрицы являются корни уравнения:

 (4)

где Е – единичная матрица.

Ковариационная матрица описана  выражением (2). Его следует подставить вместо А в выражение (4). В результате получится выражение:

,

которое после преобразований будет  выглядеть следующим образом:

. (5)

Определитель квадратной матрицы 2×2 можно вычислить как разность произведений диагональных элементов:

.

Подстановка этого выражение в  выражение (5), раскрытие скобок и  приведение подобных дает квадратное уравнение:

. (6)

Вводятся следующие обозначения:

.

Уравнение (6) должно иметь два корня:

. (7)

Эти корни и являются собственными числами матрицы (2).

Собственные векторы определяются исходя из выражения (3), представленного  в матричной форме::

, (8)

где v^x и v^y – координаты собственного вектора.

Выражение (8) дает систему уравнений:

. (9)

Выражение v^x через v^y в первом уравнении преобразует систему следующим образом:

Такая система дает множество решений, сохраняется только соотношение ^x/v^y. Это вполне соответствует векторной природе искомого объекта: длина может быть произвольной, а направление – постоянно. Поэтому значением v^y можно задаться, а v^x определять исходя из него

 (10)

Подставляя в выражение (10) полученные собственные числа λ₁ и λ₂ (8) по очереди, можно получить две пары значений координат собственного вектора. Эти координаты и геометрический центр (1) – следует использовать для установки системы координат перед проектированием корпуса.

3. ИНТЕРФЕЙС ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ

1. Программные средства расстановки установочных элементов

2. Программные средства расстановки элементов по схеме установки

3. Программные средства формирования корпуса приспособления

Заключение

Литература

Приложения