Двойственность в линейном программировании

Отчет по устойчивости изображен  на рис. 4.1.6. Он состоит из двух таблиц.

Отчет по устойчивости

 

Изменяемые ячейки

Ячейка Имя Результат Норир. Значение градиент

$B$8 Перем Пр1 86 0

$C$8 Перем Пр2 0 -22,8

$D$8 Перем Пр3 268 0

 

Ограничения

Ячейка Имя Результат. Лагранжа значение Множитель

$G$2 Рес 1 Расход 271,6 0

$G$3 Рес 2 Расход 310 20

$G$4 Рес 3 Расход 2200 4,4

Рис. 4.1.6

 

Таблица «изменяемые  ячейки» показывает значения переменных, которые уже имеются в таблице EXCEL. Столбец «нормируемый градиент» показывает, как влияет увеличение переменных на единицу на величину целевой функции. Таблица «ограничения» содержит важную информацию в столбце «Лагранжа множители». Эти величины в литературе имеют различные названия: объективно обусловленные оценки (О.О.О.) по Л. Канторовичу, двойственные оценки по Д. Данцигу, оптимальные цены, теневые цены и другие. В дальнейшем будем называть их наиболее распространенным именем – двойственные оценки и обозначать – v_i, где i – номер ограничения. В данном примере v₁ = 0, v₂ = 20,0, v₃ = 4,4. Отчет по пределам показан на рис. 4.1.7.

 

Отчет по пределам

Ячейка Целевое Значение имя

$G$6 Цены ЦФ 15880

 

Ячейка Изменяемое Значение имя	Нижний Целевой предел результат	Нижний Целевой предел результат
$B$8 Перем Пр1 86	0 10720	86 15880
$C$8 Перем Пр2 0	0 15880	0 15880
$D$8 Перем Пр3 268	0 5160	268 15880

Рис. 4.1.7.

 

В этом отчете уже в  третий раз дается значение целевой  функции 15880, в пятый раз значение переменных (х₁ = 86, х₂ = 0, х₃ = 268). Нижний предел для всех переменных = 0, так, установлены ограничения по переменным. Верхний предел равен соответственно 86, 0 и 268, так устанавливают ограничения по ресурсам. Целевой результат показывает значение целевой функции при соответствующих значениях переменных. Если х₁ = 0, то ЦФ = 10720 и т.д.

Запишем математическую модель рассмотренной задачи в общем  виде:

 

 

Пусть:

В-бюджет, т.е. количество денег, которое можно израсходовать на приобретение ресурсов для производства продукции, а s_i – рыночная цена i-го ресурса. Тогда единственное ограничение по ресурсам будет выглядеть следующим образом:

 

.

 

Смысл этого ограничения - нельзя израсходовать ресурсов на сумму больше, чем В.

Здесь:  - расход i-го ресурса в натуральном выражении по j-му технологическому способу;

- расход i-го ресурса в натуральном выражении по всем способам;

- суммарная цена i-го ресурса, израсходованного по всем способам;

- суммарная цена всех ресурсов по всем технологическим способам.

Решим задачу на максимум продукции с ограничением по бюджету. За основу возьмем электронную модель на рис. 4.1.3. и дополним ценами ресурсов s_i и бюджетом В (рис. 4.1.8)

 

Рис. 4.1.8

 

Дополнительные величины:

H2:H4 – цены ресурсов (задаются);

I2:I4 – издержки (вычисляются);

I2 = G2*H2;

I3:I4 – копируется из I2;

H6 = 5000 – бюджет (задается);

I6 – издержки всего (вычисляются);

I6 = СУММ (I2:I4).

Ограничения:

B8:D8 0 – неотрицательности переменных;

I6 H6 – совокупные издержки не больше бюджета.

Будет получено решение

x₁ = 0; x₂ = 0; x₃ = 409,84.

v = 3,08 – двойственная оценка ограничения по бюджету – увеличение бюджета на единицу увеличивает валовой продукт на 3,28.

Если ограничения по ресурсам в модели имеют смысл  и не больше ( ) и не меньше ( ), причем все величины ( ) не отрицательные, то в общем случае вывод о существовании или отсутствии допустимого плана сделать нельзя. Все зависит от конкретных значений величин и . Возможен случай, когда для некоторого k-го ресурса установлено такое ограничение , что оно не может быть выполнено из-за других ограничений. Тогда нет ни одного допустимого плана.

 

Заключение

 

В результате проделанной  работы был рассмотрен теоретический материал, посвященный решению двойственных задач линейного программирования, и процесс их решения был автоматизирован, с помощью программы MS Excel.

Результатом работы над  курсовым проектом является программа  для решения задач линейного  программирования с помощью двойственного симплекс-метода.

 

Список используемой литературы

1. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. «Наука», 1980 г.
2. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. «Финансы и статистика», 1998 г.
3. Математическое моделирование в задачах. Белолипецкий В.М., Шокин Ю.И.
4. Математическое Белолипецкий В.М.