Аппроксимация функции методом наименьших квадратов с помощью MathCAD и электронных таблиц Microsoft EXCEL

 

Министерство образования Российской Федерации

Национальный минерально-сырьевой университет (Горный)

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

по дисциплине                                    Информатика

^{(наименование  учебной дисциплины  согласно  учебному плану)}

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

Тема:               Аппроксимация функции методом  наименьших квадратов 

 

 

 

Автор: студент  гр.     НД-11-2            _______________                / Посохов А.А./

                          ^{(подпись)                               (Ф.И.О.)}

 

 

 

ОЦЕНКА: _____________

 

Дата:

ПРОВЕРИЛ

 

Руководитель  проекта     доцент_            ________________           /Чиргин А.В./

                 ^{(должность)        (подпись)                                            (Ф.И.О.)}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cанкт - Петербург

2012

 

Министерство образования  Российской Федерации
Национальный минерально-сырьевой университет (Горный)
		УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой   Доц. Маховиков А.Б.      /_________ / "___"__________2012г.

 

 

Кафедра Информатики и  компьютерной технологии

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

по дисциплине __________________Информатика_______________

^{(наименование  учебной дисциплины  согласно учебному  плану)}

 

ЗАДАНИЕ

 

студенту группы :            НД-11-2                                                Посохов А.А.

        ^{(шифр группы)                                                      (Ф.И.О.)}

1.Тема проекта: Аппроксимация  функции методом наименьших квадратов  с помощью MathCAD и электронных таблиц Microsoft EXCEL.

2.Исходные данные: Вариант №12, табличные данные.

3.Содержание пояснительной записки: пояснительная записка включает в себя задание на выполнение курсовой работы, титульный лист, аннотацию, оглавление, введение, собственно текст пояснительной записки, заключение, список используемой литературы.

4. Перечень графического материала: графики функций.

5. Срок сдачи законченного проекта: 01.12.2012 год.

Руководитель проекта      доцент                                                  / Чиргин А.В./

                                                       (должность)                       (подпись)                                            (Ф.И .О.)

 

Дата выдачи задания: 24.09.2012 г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аннотация.

 

Пояснительная записка представляет собой отчёт о выполнении курсовой работы. В ней рассматриваются вопросы построения эмпирических формул методом наименьших квадратов (МНК) средствами пакета Microsoft Excel  и решение данной задачи в MathCAD , Delphi. По окончании выполнения работы необходимо решить, каким методом задача решается лучше всего, а также определить каким средством это легче сделать: посредством Microsoft Excel или MathCAD, Delphi.

Страниц 33, таблиц 9, рисунков 4, приложений 6.

 

 

Summary.

The explanatory note represents the report on performance of course work. In it (her) questions of construction of empirical formulas by a method of least squares means of package Microsoft Excel and MathCAD, Delphi. Upon termination of performance of work it is necessary to solve, what method the problems solved in the best way end also to define what means it more easy to make: by means of Microsoft Excel or MathCAD, Delphi .

Pages33, tables 9, figures 4, appendices 6.

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

 

Введение.

 

Целью курсовой работы является углубление знаний по информатике, развитие и закрепление навыков работы с табличным процессором Microsoft Excel и MathCAD.

Специалисты в области автоматизации технологических процессов и производств имеют дело с большим объёмом экспериментальных данных, для обработки которых используется компьютер.

При рассмотрении различных задач  в этой области возникает, в частности, необходимость выявления некоторых эмпирических закономерностей, решения систем уравнений, первичной статической обработки экспериментальных данных.

Для решения многих задач, исходные данные и полученные результаты вычислений которых могут быть представлены в табличной форме, используют табличные процессоры (электронные таблицы) и, в частности, MS Excel. Имеется также множество инженерных задач, для решения которых требуется применить язык программирования.

Для решения поставленных задач  был использован математический редактор MathCad, для отладки программы и сравнения результатов – MS Excel, для создания отчёта – MS Word. Табличный и текстовый редактор взяты из пакета MS Office.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Постановка задачи.

 

1. Используя метод  наименьших квадратов функцию  , заданную таблично, аппроксимировать

а) многочленом первой степени  ;

б) многочленом второй степени  ;

в) экспоненциальной зависимостью .

2. Для каждой зависимости  вычислить коэффициент детерминированности.

3. Вычислить коэффициент корреляции (только в случае а).

4. Для каждой зависимости построить  линию тренда.

5. Используя функцию  ЛИНЕЙН вычислить числовые характеристики  зависимости  от .

6. Сравнить свои вычисления  с результатами, полученными при  помощи функции ЛИНЕЙН.

7. Сделать вывод, какая  из полученных формул наилучшим  образом аппроксимирует функцию  .

8. Написать программу на одном  из языков программирования и сравнить результаты счета с полученными выше.

 

2.Общие сведения

 

Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и у , которые получены в результате измерений.

При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений и в результате получается таблица значений :

x	x1	x1		xi		Xn
у	y1	y1		yi		Yn

 

Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых x, (независимая величина) задается экспериментатором, а у, получается в результате опыта. Поэтому эти значения у,будем называть эмпирическими или опытными значениями.

Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но ее аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача - найти эмпирическую формулу

y = f (x; a₁,a₂,...,a_m),                                                                  (1)

(где a₁,a₂,...,a_m - параметры), значения которой при x = x, возможно мало отличались бы от опытных значений у, (i = 1,2,...,п).

Обычно указывают класс функций ( например, множество линейных, степенных, показательных и т.п. ) из которого выбирается функция f (x) , и далее определяются наилучшие значения параметров.

Если в эмпирическую формулу (1) подставить исходные x,, то получим теоретические значения

Y^T_i = f (x_i;  a₁, a₂…… a_m), где i = 1,2,...,n .

Разности y_i^T – у_i, называются отклонениями и представляют собой расстояния по вертикали от точек M_i до графика эмпирической функции.

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами a₁,a₂,...,a_m считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции

               (2) 

будет минимальной.

Поясним геометрический смысл метода наименьших квадратов.

Каждая пара чисел (x_i,y_i) из исходной таблицы определяет точку M_i на плоскости XOY . Используя формулу (1) при различных значениях коэффициентов a₁,a₂,...,a_m можно построить ряд кривых, которые являются графиками функции (1). Задача состоит в определении коэффициентов a₁,a₂,...,a_m таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали от точек M_i (x_i,y_i) до графика функции (1) была наименьшей (рис.1).

Рис.1

 

Построение эмпирической формулы  состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение ее наилучших параметров.

Если неизвестен характер зависимости  между данными величинами x и y , то вид эмпирической зависимости является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Удачный выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от знаний исследователя в предметной области, используя которые он может указать класс функций из теоретических соображений. Большое значение имеет изображение полученных данных в декартовых или в специальных системах координат (полулогарифмической, логарифмической и т.д.). По положению точек можно примерно угадать общий вид зависимости путем установления сходства между построенным графиком и образцами известных кривых.

Определение наилучших коэффициентов a₁,a₂,...,a_m входящих в эмпирическую формулу производят хорошо известным аналитическими методами.

Для того, чтобы найти набор коэффициентовa a₁,a₂…..a_m, которые доставляют минимум функции S, определяемой формулой (2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных – равенство нулю частных производных.

В результате получим нормальную систему  для определения коэффициентов a_i (i = 1,2,...,m):

…………  ₍₃₎

 
Таким образом, нахождение коэффициентов a_i сводится к решению системы (3). Эта система упрощается, если эмпирическая формула (1) линейна относительно параметров a_i, тогда система (3) - будет линейной.

Линейная зависимость

Конкретный вид системы (3) зависит  от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1). В случае линейной зависимости y = a₁ + a₂x система (3) примет вид:

                                                                                (4)

Эта линейная система может быть решена любым известным методом (методом Гаусса, простых итераций, формулами Крамера).

Квадратичная зависимость

 

В случае квадратичной зависимости y = a₁ + a₂x + a₃x² система (3) примет вид:

        (5) 

Экспоненциальная зависимость

 

В ряде случаев в качестве эмпирической формулы берут функцию в которую  неопределенные коэффициенты входят нелинейно. При этом иногда задачу удается линеаризовать т.е. свести к линейной. К числу таких зависимостей относится экспоненциальная зависимость

y = a₁* e^a2x   (6)

где a₁ и a₂, неопределенные коффициенты.

Линеаризация достигается путем  логарифмирования равенства (6), после  чего получаем соотношение

ln y = ln a₁ + a₂x (7)

Обозначим ln у и ln a_x соответственно через t и c , тогда зависимость (6) может быть записана в виде t = a₁ + a₂х, что позволяет применить формулы (4) с заменой a₁ на c и у_i на t_i

Элементы теории корреляции

 

График восстановленной функциональной зависимости у(х) по результатам измерений (х_i,у_i), i = 1,2,K ,n называется кривой регрессии. Для проверки согласия построенной кривой регрессии с результатами эксперимента обычно вводят следующие числовые характеристики: коэффициент корреляции (линейная зависимость), корреляционное отношение и коэффициент детерминированности. При этом результаты обычно группируют и представляют в форме корреляционной таблицы. В каждой клетке этой таблицы приводятся численности n_iJ- тех пар (х,у), компоненты которых попадают в соответствующие интервалы группировки по каждой переменной. Предполагая длины интервалов группировки (по каждой переменной) равными между собой, выбирают центры х_i (соответственно у_i) этих интервалов и числа n_iJ- в качестве основы для расчетов.

Коэффициент корреляции является мерой  линейной связи между зависимыми случайными величинами: он показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена одна из величин в виде линейной функции от другой.