Задачи по "Теории вероятностей с решениями"

Задача 8. Случайные приращения цен акций двух компаний за день x и h имеют совместное распределение, заданное таблицей:

x               h	-1	+1
-1	0,3	0,2
+1	0,1	0,4

 

Найти коэффициент корреляции.

Решение.Прежде всего вычисляем Mxh=0,3-0,2-0,1+0,4=0,4. Далее находим частные законы распределения x и h:

 

x               h	-1	+1	px
-1	0,3	0,2	0,5
+1	0,1	0,4	0,5
ph	0,4	0,6

 

Определяем Mx=0,5-0,5=0; Mh=0,6-0,4=0,2; Dx=1; Dh=1–0,2²=0,96; cov(x,h)=0,4. Получаем

.

Задача 9. Случайные приращения цен акций двух компаний за день имеют дисперсии Dx=1 и Dh=2, а коэффициент их корреляции r=0,7. Найти дисперсию приращения цены портфеля из 5 акций первой компании и 3 акций второй компании.

Решение. Используя свойства дисперсии, ковариации и определение коэффициента корреляции, получаем:

.

Задача 10. Распределение двумерной случайной величины задано таблицей:

 

h\x	1	3	4	8
3	0,15	0,06	0,25	0,04
6	0,30	0,10	0,03	0,07

Найти условное распределение  и условное математическое ожидание h  при x=1.

Решение. Условное математическое ожидание  равно

.

Из условия задачи найдем распределение составляющих h  и x (последний столбец и последняя строка таблицы).

h\x	1	3	4	8	Ph
3	0,15	0,06	0,25	0,04	0,50
6	0,30	0,10	0,03	0,07	0,50
Px	0,45	0,16	0,28	0,11	1

Поскольку , то условные вероятности находятся по формулам

, ,

а искомое условное математическое ожидание равно   .

 

6. Непрерывные  случайные величины

 

Задача 1. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

Определить константу C, построить функцию распределения F_x(x) и вычислить вероятность .

Решение. Константа C находится из условия В результате имеем:

   откуда C=3/8.

Чтобы построить функцию распределения F_x(x), отметим, что интервал [0,2] делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: Рассмотрим каждый из этих интервалов. В первом случае (когда x<0)  вероятность события (x<x) вычисляется так:

 

так как плотность x на полуоси равна нулю. Во втором случае

Наконец, в последнем  случае, когда x>2,

 

так как плотность  обращается в нуль на полуоси .

Итак, получена функция  распределения 

Следовательно,

 

Задача 2. Для случайной величины x из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Решение.

Далее,

 и значит,

Задача 3. Пусть задана случайная величина . Вычислить вероятность .

Решение. Здесь и . Согласно указанной выше формуле, получаем:

 

7. Функции от  случайных величин. Формула свертки

Задача 1. Случайная величина x равномерно распределена на отрезке [0, 2]. Найти плотность случайной величины .

Решение.

 Из условия задачи следует,  что 

Далее, функция  является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке [0, 2] и имеет обратную функцию , производная которой равна Кроме того, , . Следовательно,

Значит,

Задача 2. Пусть двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника . Вычислить вероятность неравенства x>h.

Решение. Площадь указанного треугольника равна (см. рис. 7.1). В силу определения двумерного равномерного распределения совместная плотность случайных величин x, h равна

Событие соответствует множеству на плоскости, т.е. полуплоскости. Тогда вероятность

 

Рис. 7.1.

 

На полуплоскости B совместная плотность равна нулю вне множества и 1/2 – внутри множества . Таким образом, полуплоскость B разбивается на два множества: и . Следовательно, двойной интеграл по множеству B представляется в виде суммы интегралов по множествам и , причем второй интеграл равен нулю, так как там совместная плотность равна нулю. Поэтому

.

      

Если задана совместная плотность  распределения  случайной пары (x,h), то плотности и составляющих x и h называются частными плотностями и вычисляются по формулам:

Для непрерывно распределенных случайных  величин с плотностями р_x(х), р_h(у) независимость означает, что при любых х и у выполнено равенство

.

Задача 3. В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектора x и h.

Решение. Вычислим частные плотности и . Имеем:

Аналогично,

Очевидно, что в нашем случае , и потому случайные величины x и h  зависимы.

Числовые характеристики для случайного вектора (x,h) можно вычислять с помощью следующей общей формулы. Пусть — совместная плотность величин x и h, а y(х,у) — функция двух аргументов, тогда

.

В частности,

Задача 4. В условиях предыдущей задачи вычислить .

Решение. Согласно указанной выше формуле имеем:

.

Представив треугольник  в виде

,

 двойной интеграл можно  вычислить как повторный:

Задача 5. Пусть x и h — независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметром . Вычислить плотность суммы .

Решение. Поскольку x и h распределены по показательному закону с параметром , то их плотности равны

Следовательно,

 

Поэтому

Если x<0, то в этой формуле аргумент функции отрицателен, и поэтому .  Следовательно, Если же , то имеем:

Таким образом, мы получили ответ:

Задача 6. Двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника . Найти условное распределение x при условии h=y  и функцию регрессии j_x|h(y).

Решение. Как было показано ранее (см. задачи 2 и 3),

  и  

Поделив первую плотность  на вторую, получаем условную плотность:

Таким образом, речь идет о равномерном распределении  на промежутке (0, 2–y). Функцию регрессии вычисляем как математическое ожидание равномерного распределения. Получаем  j_x|h(y)=(2–y)/2, 0<y<2. 

 

8. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема

 

Задача 1. В 400 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов будет меньше 20.

Решение. Число успехов в этих испытаниях распределено по закону Бернулли, поэтому среднее число успехов равно Мx=np=400×0,8=320, а дисперсия Dx=npq=400×0,8×0,2=64. Тогда в силу неравенства Чебышева имеем:

Вычислим эту же вероятность  с помощью приближенной (интегральной) формулы Муавра-Лапласа:

Задача 2. В продукции цеха детали отличного качества составляют 50%. Детали укладываются в коробки по 200 шт. в каждой. Какова вероятность того, что число деталей отличного качества в коробке отличается от 100 не более, чем на 5?

Решение. Пусть x_i - случайное число деталей отличного качества в i-ой коробке, тогда при n=200, p=q=1/2 получим:

 

Задача 3. Используя условия задачи 1, указать, в каких границах с вероятностью 0,997 находится число деталей отличного качества в коробке.

Решение. По таблице функции Лапласа при условии находим u=3, и следовательно, S_n лежит в пределах  , т.е. число деталей отличного качества в коробке с вероятностью 0,997 находится в пределах 100 ± 21.

Задача 3. Используя условия задачи 1, определить, сколько деталей надо взять, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, можно было утверждать, что число деталей отличного качества среди них не менее 100.

Решение. Обозначим . Используя нормальное приближение, получаем

.

Отсюда  , а из таблицы 2 и свойств функции Лапласа получаем неравенство . Обозначив , с учетом p=q=1/2, приходим к квадратному неравенству х² –2,3х–200³0, решая которое, получаем n³236.

Можно предложить и другой метод. А  именно, пусть x_i – число деталей, которые пришлось перебрать, чтобы найти i-ую деталь отличного качества (включая ее саму). Случайные величины имеют геометрическое распределение с параметром p=1/2. Можем вычислить Mx=1/p=2, Dx=(1-p)/p²=2. Используя ЦПТ, получаем неравенство

,

откуда следует n³200+14,14×2,32=232,8 или, округляя, n³234.

Результаты получаются близкие, но первый метод более точен и  потому предпочтительней. Вторым методом лучше пользоваться, если нужно определить границы, в которых лежит неизвестное число деталей.

Задача 4. Доходы жителей города имеют математическое ожидание 10 тыс. руб. и среднее квадратическое отклонение 2 тыс. руб. (в месяц). Найти вероятность того, что средний доход 100 случайно выбранных жителей составит от 9,5 до 10,5 тыс. руб.

Решение. Переформулируем условие задачи для суммарного дохода: он должен составлять от 950 до 1050 тыс. руб. Используя ЦПТ, получаем:

Задача 5. Срок службы электрической лампы имеет показательное распределение с математическим ожиданием 1000 часов. Найти вероятность того, что средний срок службы для 100 ламп составит не менее 900 часов.

Решение. Примем для простоты 1000 часов за единицу времени. Вспомним числовые характеристики показательного распределения: Мx= , Dx= . Отсюда следует, что среднее квадратическое отклонение совпадает с математическим ожиданием (и оба они здесь равны единице). Переформулируя условие задачи для суммарного срока службы и используя ЦПТ, получаем: