Основы контрольных карт Шухарта

Основы контрольных  карт Шухарта  
      
     Карта Шухарта требует данных, получаемых выборочно из процесса через примерно равные интервалы. Интервалы могут быть заданы либо по времени (например ежечасно), либо по количеству продукции (каждая партия). Обычно каждая подгруппа состоит из однотипных единиц продукции или услуг с одними и теми же контролируемыми показателями, и все подгруппы имеют равные объемы. Для каждой подгруппы определяют одну или несколько характеристик, таких как среднее арифметическое подгруппы и размах подгруппы R или выборочное стандартное отклонение .

Карта Шухарта - это график значений определенных характеристик подгрупп в зависимости от их номеров. Она  имеет центральную линию (CL), соответствующую эталонному значению характеристики. При оценке того, находится ли процесс в статистически управляемом состоянии, эталонным обычно служит среднее арифметическое рассматриваемых данных. При управлении процессом эталонным служит долговременное значение характеристики, установленное в технических условиях, или ее номинальное значение, основанное на предыдущей информации о процессе, или намеченное целевое значение характеристики продукции или услуги. Карта Шухарта имеет две статистические определяемые контрольные границы относительно центральной линии, которые называются верхней контрольной границей (UCL) и нижней контрольной границей (LCL) (рисунок 1). 
      
   

              

                Рисунок 1 - Вид контрольной карты      

 
      
     Контрольные границы на карте Шухарта  находятся на расстоянии 3σ от центральной линии, гдеσ- генеральное стандартное отклонение используемой статистики. Изменчивость внутри подгрупп является мерой случайных вариаций. Для получения оценкиσвычисляют выборочное стандартное отклонение или умножают выборочный размах на соответствующий коэффициент. Эта мера не включает межгрупповых вариаций, а оценивает только изменчивость внутри подгрупп. 
      
     Границы ±3σуказывают, что около 99,7% значений характеристики подгрупп попадут в эти пределы при условии, что процесс находится в статистически управляемом состоянии. Другими словами, есть риск, равный 0,3% (или в среднем три на тысячу случаев), что нанесенная точка окажется вне контрольных границ, когда процесс стабилен. Употребляется слово "приблизительно", поскольку отклонения от исходных предположений, таких как вид распределения данных, будут влиять на значения вероятности. 
      
     Некоторые консультанты предпочитают вместо множителя, равного 3, значение 3,09, чтобы обеспечить номинальное значение вероятности 0,2% (в среднем два вводящих в заблуждение наблюдения на тысячу), но Шухарт выбрал число 3, чтобы не давать поводов к рассмотрению точных вероятностей. Аналогично некоторые консультанты применяют фактические значения вероятностей для карт, основанных на ненормальных распределениях, таких как карты размахов и долей несоответствий, и в этом случае в карте Шухарта также используют границы на расстоянии ±3σвместо вероятностных пределов, упрощая эмпирическую интерпретацию. 
      
     Вероятность того, что нарушение границ в самом деле случайное событие, а не реальный сигнал, считается столь малой, что при появлении точки вне границ следует предпринять определенные действия. Так как действие предпринимается именно в этой точке, то 3σконтрольные границы иногда называются "границами действий". 
      
     Часто на контрольной карте границы проводят еще и на расстоянии 2σ. Тогда любое выборочное значение, попадающее за границы 2σ, может служить предостережением о грозящей ситуации выхода процесса из состояния статистической управляемости. Поэтому границы ±2σиногда называют "предупреждающими". 
      
     При применении контрольных карт возможны два вида ошибок: первого и второго рода. 
      
     Ошибка первого рода возникает, когда процесс находится в статистически управляемом состоянии, а точка выскакивает за контрольные границы случайно. В результате неправильно решают, что процесс вышел из состояния статистической управляемости, и делают попытку найти и устранить причину несуществующей проблемы. 
      
     Ошибка второго рода возникает, когда рассматриваемый процесс не управляем, а точки случайно оказываются внутри контрольных границ. В этом случае неверно заключают, что процесс статистически управляем и упускают возможность предупредить рост выхода несоответствующей продукции. Риск ошибки второго рода - функция трех факторов: ширины контрольных границ, степени неуправляемости и объема выборки. Их природа такова, что можно сделать лишь общее утверждение о величине ошибки. 
      
     Система карт Шухарта учитывает только ошибки первого рода, равные 0,3% в пределах границ 3σ. Поскольку в общем случае непрактично делать полную оценку потерь от ошибки второго рода в конкретной ситуации, а удобно произвольно брать малый объем подгруппы (4 или 5 единиц), целесообразно использовать границы на расстоянии ±3σи сосредоточивать внимание в основном на управлении и улучшении качества самого процесса. 
      
     Если процесс статистически управляем, контрольные карты реализуют метод непрерывной статистической проверки нулевой гипотезы о том, что процесс не изменился и остается стабильным. Но поскольку значение конкретного отклонения характеристики процесса от цели, которое могло бы привлечь внимание, обычно нельзя определить заранее, как и риск ошибки второго рода, и объем выборки не рассчитывается для удовлетворения соответствующего уровня риска, то карту Шухарта не стоит рассматривать с точки зрения проверки гипотез [2, 3]. Шухарт подчеркивал именно эмпирическую полезность контрольных карт для установления отклонений от состояний статистической управляемости, а не их вероятностную интерпретацию. Некоторые пользователи применяют кривые оперативных характеристик как средства для интерпретации проверок гипотез. 
      
     Когда наносимое значение выходит за любую из контрольных границ или серия значений проявляет необычные структуры, (раздел 7), состояние статистической управляемости подвергается сомнению. В этом случае надо исследовать и обнаружить неслучайные (особые) причины, а процесс можно остановить или скорректировать. Как только особые причины найдены и исключены, процесс снова готов к продолжению работы. При возникновении ошибки первого рода можно не найти никакой особой причины. Тогда считают, что выход точки за границы представляет собой достаточно редкое случайное явление при нахождении процесса в статистически управляемом состоянии. 
      
     Если контрольную карту процесса строят впервые, то часто оказывается, что процесс статистически неуправляем. Контрольные границы, рассчитанные на основе данных такого процесса, будут иногда приводить к ошибочным заключениям, поскольку они могут оказаться слишком широкими. Следовательно, прежде чем устанавливать постоянные параметры контрольных карт, надо привести процесс в статистически управляемое состояние.

х-карта 
      
     В некоторых ситуациях для управления процессами невозможно либо непрактично иметь дело с рациональными подгруппами. Время или стоимость, требуемые для измерения при одиночном наблюдении, столь велики, что проведение повторных наблюдений даже не рассматривают. Это обычно происходит, когда измерения дорогостоящие (например при разрушающем контроле) или выход продукции все время относительно однороден. В других ситуациях нельзя получить более одного значения, например показание прибора или значение характеристики партии исходных материалов, поэтому приходится управлять процессом на основе индивидуальных значений. 
      
     При использовании карт индивидуальных значений рациональные подгруппы для обеспечения оценки изменчивости внутри партии не применяют и контрольные границы рассчитывают на основе меры вариации, полученной по скользящим размахам обычно двух наблюдений. Скользящий размах - это абсолютное значение разности измерений в последовательных парах, т.е. разность первого и второго измерений, затем второго и третьего и т.д. На основе скользящих размахов вычисляют средний скользящий размах, который используют для построения контрольных карт. Также по всем данным вычисляют общее среднее . В таблице 3 приведены формулы расчета контрольных границ для карт индивидуальных значений.

 
     Таблица  - Формулы контрольных  границ для карт индивидуальных значений

 

 

При использовании карт индивидуальных значений необходимо учитывать следующее: 
          

а) карты индивидуальных значений не столь чувствительны к изменениям процесса, как - и R-карты; 
          

б) при интерпретации карт индивидуальных значений следует проявлять осторожность, если распределение процесса не является нормальным; 
          

в) карты индивидуальных значений не оценивают повторяемость процесса от изделия к изделию, и поэтому  в некоторых случаях лучше  использовать обычные- и R -карты с малыми объемами выборочных подгрупп (от 2 до 4), даже если это приведет к увеличению интервала между подгруппами. 
 

Пример 

Процент влажности для 10 последовательных выборок молочного  порошка 
     

Наименование показателя	Значение для подгруппы
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ВлажностьX, %	2,9	3,2	3,6	4,3	3,8	3,5	3,0	3,1	3,6	3,5
Скользящий размах		0,3	0,4	0,7	0,5	0,3	0,5	0,1	0,5	0,1

 

      
 
,

 

.      

Линии контрольной карты  для скользящих размахов : 
      
     центральная линия = 0,38; 
      
    = 3,267 х 0,38 = 1,24; 
      
   = 0 х 0,038 (т.к. n< 7,LCLотсутствует). 
      
     Значения множителейD₃иD₄берутся из таблицы 2 для n= 2 . Поскольку карта размахов демонстрирует статистически управляемое состояние, можно построить контрольную карту индивидуальных значений. 
      
     Линии контрольной карты индивидуальных значений X: 
      
     центральная линия: = 3,45;         

 

 

       = 3,45 + (2,66 х 0,38) = 4,46;     

= 3,45 - (2,66 х 0,38) = 2,44. 
      
     Формулы для контрольных границ и значение коэффициента даны в таблицах 3, 4. Контрольные карты приведены на рисунке 8. Они показывают, что процесс находится в состоянии статистической управляемости. 

 

 

U-карта

 

В карте данного типа строится график относительной частоты дефектов, то есть отношения числа обнаруженных дефектов к n - числу проверенных единиц продукции (здесь n обозначает, например, число футов длины трубы, объем партии изделий). В отличие от C-карты, для построения карты данного типа не требуется постоянство числа единиц проверяемых изделий, поэтому ее можно использовать при анализе партий различного объема.

  

Пример

u-Карта. Число несоответствий  на единицу 
      
     На заводе по производству шин каждые полчаса контролировали 15 шин и записывали общее число несоответствий и их число на единицу. Было решено применить -карту для числа несоответствий на единицу, чтобы определить состояние процесса. Данные приведены в таблице

 

Завод по производству шин. Число несоответствий на единицу (единицы  проверялись по 14 подгруппам, объемом  n= 15 каждая). 
    

 

Среднее значений u подсчитывалось из таблицы 13 делением общего числа несоответствий (из ряда c -значений) на общее число проконтролированных единиц (т.е. 14 х 15). 
      .     

 
u-Карта: 
      
     центральная линия: = 0,26; 
       
   
     (т.к. отрицательные значения невозможны, нижняя граница отсутствует). 
      
     Данные и контрольные линии нанесены на рисунке 14. Карта показывает, что процесс находится в состоянии статистической управляемости.